Μαθηματική Εκπαίδευση & Τεχνολογία

Στη δίνη ενός κόλουρου

14 07 2022

Σπανίως μία παράγραφος μ’ έχει βάλει σε τόσους μπελάδες όσους αυτή που ακολουθεί, που βρίσκεται στην 143η σελίδα του σημαίνοντος βιβλίου Πώς να το λύσω του György Pólya:

[…] θεωρούμε έναν ορθό κυκλικό κόλουρο κώνο. Καλούμε
R την ακτίνα της κάτω βάσης,
r την ακτίνα της πάνω βάσης,
h το ύψος του κόλουρου,
S την παράπλευρη επιφάνεια του κόλουρου κώνου.
Αν δίνονται τα R, r, h τότε το S προφανώς παραδιορίζεται. Βρίσκουμε την έκφραση

$S=\pi (R+r) \sqrt{(R-r)^2}+h^2$

Το πρώτο θέμα που ανέκυψε είναι γλωσσολογικής φύσεως. Ομολογώ πως συνειδητοποίησα ότι χρησιμοποιείται το ρήμα παραδιορίζεται και όχι προσδιορίζεται -όπως θα περίμενε κανείς- προτού δοθεί ο τύπος που συνδέει τα τέσσερα μεγέθη, μόλις την τέταρτη φορά που διάβασα την παράγραφο. Τις τρεις προηγούμενες διάβαζα προσδιορίζεται χωρίς την παραμικρή υποψία πως αυτό που διάβαζα δεν ήταν αυτό που έβλεπα. Ίδε ένα μάθημα ζωής που χωρά ολόκληρο σε μια σελίδα! Σε πλείστες όσες περιστάσεις όσα «διαβάζουμε» δεν είναι σε καμία περίπτωση αυτά που «βλέπουμε». Η μεροληψία, οι ιδεολογικές πεποιθήσεις και το κοινωνικοοικονομικό μας υπόβαθρο στρεβλώνουν ανεπανόρθωτα την αντίληψή μας για τον κόσμο. Εξάλλου, όπως μ’ αρέσει να λέω, αλήθεια δεν είναι παρά το χρονικά διυλισμένο μετείκασμα του γεγονότος. Συνειρμικά μου έρχεται στο νου το μεγαλειώδες φιλμ Ρασομόν του Ακίρα Κουροσάβα, στο οποίο δίνονται από τέσσερα πρόσωπα ισάριθμες αντικρουόμενες εξιστορήσεις του ίδιου γεγονότος. Αφήνοντας όμως κατά μέρος τους συνειρμούς, επανέρχομαι στο ρήμα παραδιορίζομαι, που δεν το ήξερα. Έκανα, λοιπόν, μία έρευνα στο διαδίκτυο για να εντοπίσω τη σημασία του. Το μόνο σχετικό αποτέλεσμα που εμφάνισε η μηχανή αναζήτησης αφορούσε τον παραδιορισμό, που αποτελεί ένα είδος επιρρηματικού προσδιορισμού, ο οποίος δεν είναι μέρος του κατηγορήματος και μπορεί να είναι διαθεσιακός, μεταγλωσσικός κλπ. Υποψιάζομαι, λοιπόν, πως ο δαίμων του τυπογραφείου εμφιλοχώρησε στη σελίδα, μετατρέποντας τον προσδιορισμό σε παραδιορισμό. Θεώρησα το πρώτο θέμα, λήξαν.

Το δεύτερο ζήτημα αφορούσε την έκφραση του εμβαδού S της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου. Πριν πω οτιδήποτε άλλο, οφείλω να προειδοποιήσω τον αναγνώστη πως η συγκεκριμένη έκφραση είναι λανθασμένη. Απ’ ό,τι φαίνεται, ο δαίμων χτύπησε δις σε δύο σειρές του κειμένου. Αυτό, ωστόσο, δεν το ήξερα όταν διάβαζα για πρώτη φορά την παράγραφο. Ακόμη κι αν στο παρελθόν είχα συναντήσει σε κάποιο εγχειρίδιο τον τύπο που εκφράζει το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου, δεν τον θυμόμουν. Η επιθυμία να κατασκευάσω (δεν είπα «να ανακαλύψω», οπότε μάλλον καταλαβαίνει κανείς την αριστοτελική μου προδιάθεση) τον τύπο μού γεννήθηκε αυτοστιγμεί. Βέβαια, λίγες σελίδες παρακάτω δίνεται η ορθή μορφή της έκφρασης, κάτι που οπωσδήποτε επιτείνει την επιθυμία και την καθιστά αδήριτη ανάγκη, αφού ο εντοπισμός της μίας και μοναδικής ορθής έκφρασης είναι πλέον απαραίτητος. Παρεμπιπτόντως, το εν λόγω παράδειγμα δίνεται στην παράγραφο με τίτλο Έλεγχος με κριτήριο τη διάσταση, τον οποίο έλεγχο περνάει ακόμη και η λανθασμένη μορφή, μιας που οι διαστάσεις (μονάδες μέτρησης των εμπλεκόμενων μεγεθών) στα δύο μέλη της ισότητας συνάδουν: $\textrm{cm}^2=1 \cdot \textrm{cm} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2}+\textrm{cm}^2$ .

Αρχικά υπολόγισα το εμβαδόν με τη βοήθεια κατάλληλου ολοκληρώματος, μιας που ο κόλουρος κώνος είναι επιφάνεια εκ περιστροφής (θα αναφερθώ παρακάτω σε αυτήν τη μέθοδο), αφού ξύπνησα όμως την επομένη από έναν βαθύ μεσημεριανό ύπνο, μια γεωμετρική λύση με επισκέφτηκε αμέσως μόλις άνοιξα τα μάτια μου. Τέτοιες στιγμές, όταν αποτελέσματα αναδύονται αίφνης ενώ έχω πάψει να ασχολούμαι με το πρόβλημα καθαυτό, μου έρχεται στο μυαλό το ιδιότυπο βιβλίο του Robert Pirsig Το Ζεν και η τέχνη της συντήρησης της μοτοσυκλέτας. Σε αυτό διάβασα για τη συνήθεια του Poincaré να μην ασχολείται με οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα για περισσότερες από δύο ώρες. Βλέπετε, είχε την πεποίθηση πως ο νους ασχολείται υποσυνείδητα με τα προβλήματα που του θέτουμε, κι αφού τα επεξεργαστεί επαρκώς, σε ανύποπτο χρόνο, παρουσιάζει τα αποτελέσματά του εν είδει αποκαλύψεως. Βέβαια, καλό είναι να μην ξεχνούμε πως ο Poincaré ήταν μεγαλοφυής. Ειρήσθω εν παρόδω, ο Pirsig αναφέρεται στη συνήθεια του Poincaré προκειμένου να βοηθήσει στην προοικονομία του έργου του. Αργότερα, αφήνει ανοικτά κάποια πολύ σημαντικά ερωτήματα αισθητικής φύσεως, αναφορικά με τη μεταφυσική της ποιότητας, στα οποία όλως παραδόξως βρήκα πολύ πειστικές απαντήσεις στο βιβλίο του John Dewey Δημοκρατία και Εκπαίδευση· το πιο σημαντικό βιβλίο για την εκπαίδευση που έχω διαβάσει εισέτι. Το γεγονός ότι το βιβλίο του Dewey εκδόθηκε πενήντα οκτώ χρόνια πριν από αυτό του Pirsig, φανερώνει είτε ότι ο Pirsig δεν είχε διαβάσει τον Dewey, είτε ότι δεν βρήκε τόσο πειστικά τα επιχειρήματά του όσο τα βρήκα εγώ.

Η γεωμετρική λύση, λοιπόν, είναι απλούστατη εάν ανάγει κανείς τον υπολογισμό της επιφάνειας του κόλουρου κώνου σε ένα απλούστερο πρόβλημα, αυτό του υπολογισμού της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου. Το παρακάτω σχήμα επεξηγεί γιατί η παράπλευρη επιφάνεια ενός κόλουρου κώνου ισούται με τη διαφορά των επιφανειών δύο κώνων.

Οπότε, έχουμε ένα σημείο εκκίνησης. Πρωτίστως πρέπει να υπολογίσουμε την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, με δεδομένα την ακτίνα ρ της βάσης του και το ύψος του υ. Το ανάπτυγμα μίας τέτοιας επιφάνειας είναι ένας κυκλικός τομέας με ακτίνα ίση με την ακμή λ του κώνου και μήκος ίσο με την περίμετρο της κυκλικής βάσης. Αυτό προκύπτει αν αναλογιστεί κανείς πως η κορυφή του ορθού κώνου απέχει από κάθε σημείο της περιμέτρου της βάσης απόσταση ίση με την ακμή λ του κώνου.

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ακτίνας λ και γωνίας α rad είναι

$\frac{1}{2}\alpha \lambda ^2$ .

Μένει να εκφράσουμε τη γωνία α και την ακμή λ του κώνου με τη βοήθεια της ακτίνας και του ύψους του. Το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το ύψος του κώνου, την ακτίνα της βάσης και την ακμή του, δίνει:

$\lambda ^2= \rho ^2 + \upsilon ^2$ .

Η γωνία α προκειμένου να υπολογιστεί, πρέπει να παρατηρήσουμε πως το μήκος του αντίστοιχου τόξου της είναι στην ουσία η περίμετρος της κυκλικής βάσης του κώνου, άρα:

$\alpha \lambda = 2 \pi \rho$ ,

απ’ όπου προκύπτει

$\alpha = \frac{2 \pi \rho}{\sqrt{\rho ^2 + \upsilon ^2}}$ .

Είμαστε έτοιμοι να δώσουμε έναν τύπο για την παράπλευρη επιφάνεια E του κώνου

$E=\frac{1}{2} \frac{2 \pi \rho}{\sqrt{\rho ^2 + \upsilon ^2}}(\rho ^2 + \upsilon ^2)=\pi \rho \sqrt{\rho ^2 +\upsilon ^2}$ .

Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα προκειμένου να αφαιρέσουμε τις κατάλληλες επιφάνειες, ώστε να προκύψει αυτή του κόλουρου κώνου.

Το μοναδικό πρόβλημα είναι πως το ύψος x του μικρού κώνου, δεν έχει ακόμη εκφραστεί με τη βοήθεια των δοσμένων μεγεθών R, r και h. Η συμβουλή που δίνω στους μαθητές της Γ Λυκείου όταν λύνουν γεωμετρικά προβλήματα είναι: να αναζητάτε όμοια τρίγωνα. Εδώ έχουμε δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα, αυτά που σχηματίζονται από τα ύψη των δύο κώνων και τις ακτίνες των βάσεών τους. Οπότε προκύπτει η αναλογία:

$\frac{x}{r}=\frac{x+h}{R}$ ,

απ’ όπου παίρνουμε ότι

$x=\frac{hr}{R-r}$ .

Ονομάζουμε Ε₁ το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του μεγάλου κώνου και Ε₂ αυτό του μικρού. Η επιφάνεια S του κόλουρου κώνου είναι S = E₁ – E₂, με

$E_1=\pi R \sqrt{R^2+ (x+h)^2}$ και $E_2=\pi r \sqrt{r^2 + x^2}$ ,

δηλαδή:

$S=\pi R \sqrt{R^2 + \left( \frac{hr}{R-r} + h \right)^2} - \pi r \sqrt{r^2 + \left( \frac{hr}{R-r} \right)^2}$ .

Έκανα τις πράξεις σε μια χαρτοπετσέτα.

Έτοιμη η έκφραση! Το εμβαδόν S της παράπλευρης επιφάνειας κόλουρου κώνου με ακτίνες βάσεων R, r και ύψος h, είναι:

$S=\pi (R+r) \sqrt{(R-r)^2+h^2}$

Ας προσπαθήσουμε τώρα να καταλήξουμε στην έκφραση με τη χρήση ολοκληρωτικού λογισμού. Η επιφάνεια από περιστροφή γύρω από τον άξονα x, όπως είναι ο κόλουρος κώνος του παρακάτω σχήματος, είναι γνωστό από το Λογισμό μίας μεταβλητής πως έχει εμβαδό

$S=2 \pi \int_a^b{|\textrm{f}(x)| \sqrt{1+[\textrm{f}\,'(x)]^2}\, \textrm{d}x}$ .

Για μία απόδειξη αυτού του τύπου μπορείτε να ανατρέξετε στην παράγραφο 7.4 Εμβαδόν μιας επιφάνειας του εξαιρετικού εγχειριδίου Διανυσματικός Λογισμός των Jerold Marsden και Antony Tromba.

Αν τώρα λάβουμε υπόψη πως η συνάρτηση με γραφική παράσταση την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (0,r) και (h,R) είναι η

$\textrm{f}(x)=\frac{R-r}{h} x + r$ ,

παίρνουμε:

$S=2\pi \int_0^h{\left( \frac{R-r}{h} x+r \right) \sqrt{1+ \left( \frac{R-r}{h} \right)^2} \, \textrm{d}x}$

Προκύπτει:

$S=2 \pi \sqrt{\frac{(R-r)^2+h^2}{h^2}} \left[ \frac{R-r}{h} \cdot \frac{x^2}{2}+rx \right]_0^h$

Δηλαδή:

$S=2 \pi \sqrt{\frac{(R-r)^2+h^2}{h^2}} \left[ \frac{R-r}{h} \cdot \frac{h^2}{2}+rh \right]$

Λίγες πράξεις αργότερα, εμφανίζεται το ίδιο αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξαμε με τη χρήση Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Το εμβαδόν S της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου δίνεται από την έκφραση:

$S=\pi (R+r) \sqrt{(R-r)^2+h^2}$ .

Αναφορές
Marsden, J. και Tromba, A. (2001) Διανυσματικός Λογισμός. 6η έκδοση. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Polya, G. (1998) Πώς να το λύσω. 2η έκδοση. Αθήνα: Εκδόσεις Καρδαμίτσα.
Ντιούϊ, Τ. (2016) Δημοκρατία και Εκπαίδευση. Αθήνα: Εκδόσεις Ηριδανός.
Πίρσιγκ, Ρ. (1994) Το Ζεν και η τέχνη της συντήρησης της μοτοσυκλέτας. Αθήνα: Εκδόσεις Κάκτος.

Σχόλια : Leave a Comment »
Ετικέτες: επιφάνεια, κόλουρος, κώνος
Kατηγορίες : Χωρίς κατηγορία

Βουνά πέρα απ’ τα βουνά

20 07 2021

Ένα βράδυ του Δεκέμβρη του 2015 έβαλα στο YouTube να παίζει το Reflektor των Arcade Fire. Εκείνη την περίοδο το άκουγα πολύ συχνά. Κατόπιν, επέτρεψα στον αλγόριθμο του YouTube να επιλέγει τραγούδια για ‘μένα και λίγα λεπτά αργότερα άκουσα για πρώτη φορά το Sprawl II (Mountains Beyond Mountains). Στην περιγραφή του βίντεο, η μπάντα είχε αφήσει το παρακάτω σημείωμα (μεταφράζω):

Αγαπητοί φίλοι,
εμπνευστήκαμε αυτό το τραγούδι από το βιβλίο Mountains Beyond Mountains … Εάν δεν το έχετε διαβάσει μπορείτε να το βρείτε εδώ (http://www.amazon.com/dp/0812980557/?…), ή στο βιβλιοπωλείο της γειτονιάς σας. Ή εάν θέλετε να δώσετε κάτι στον Partners in Health -τον οργανισμό για τον οποίο μιλάει το βιβλίο- πηγαίνετε εδώ (https://donate.pih.org/page/contribut…).
Με αγάπη, Arcade Fire
ox

Αρχικά έκανα μία αναζήτηση στα ελληνικά βιβλιοπωλεία για τον μεταφρασμένο τίτλο. Δεν απέδωσε καρπούς. Κανείς δεν είχε μεταφράσει το βιβλίο. Αναγκάστηκα λοιπόν να ακολουθήσω τον υπερσύνδεσμο και να παραγγείλω ένα αντίτυπο στην αγγλική γλώσσα. Όταν λίγες ημέρες αργότερα έκλεισα το βιβλίο, είχα συγκινηθεί, γελάσει, θαυμάσει, απορήσει, αλλά κυρίως εμπνευστεί περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη ιστορία είχα διαβάσει ποτέ.

Αν αναρωτιέστε τι πραγματεύεται το βιβλίο, είναι μάλλον η κατάλληλη στιγμή να δώσω κάποια στοιχεία. Ο συγγραφέας Tracy Kidder (βραβείο Πούλιτζερ, Εθνικό βραβείο βιβλίου ΗΠΑ, βραβείο Robert F. Kennedy, κ.ά.) παρακολούθησε από κοντά για σειρά ετών και κατέγραψε τη συγκλονιστική ζωή του λοιμωξιολόγου Δρ. Πολ Φάρμερ. Από το πανεπιστημιακό νοσοκομείο Μπρίγκχαμ στη Βοστόνη, μέχρι το κεντρικό οροπέδιο της πολύπαθης Αϊτής, από τις παραγκουπόλεις της Λίμας στο Περού μέχρι της φυλακές της Σιβηρίας, ο Φάρμερ εργάζεται υπέρ των φτωχών του κόσμου, προσπαθώντας να τους προσφέρει πρόσβαση στην υγεία και αξιοπρεπείς συνθήκες διαβίωσης. Οι συνδέσεις ανάμεσα στον πλούτο, την ένδεια, την πολιτική, τον καθημερινό βίο, τις αποφάσεις των ιθυνόντων, τις ζωές των κατατρεγμένων αναδεικνύονται αριστοτεχνικά σε ένα κείμενο που καθιστά προσιτές και σχετικές με την καθημερινή ζωή επιστήμες όπως η ιατρική, η εθνολογία, η μηχανική, η πολιτική οικονομία και θεωρήσεις, όπως η θεολογία της απελευθέρωσης, ο σοσιαλισμός ή ο φιλελευθερισμός. Ο Φάρμερ είναι μία αδιαμφισβήτητη διάνοια, αλλά και ένας άνθρωπος των έργων. Έχοντας επιφέρει τεράστιες βελτιώσεις σε ένα τμήμα της Αϊτής, στο φτωχότερο μέρος της φτωχότερης χώρας του δυτικού ημισφαιρίου, ενέπνευσε μέσα από τις σελίδες του βιβλίου του Kidder εκατομμύρια ανθρώπους. Το Βουνά πέρα απ’ τα βουνά έχει ενταχθεί στις λίστες κοινών αναγνωσμάτων πολλών κολεγίων των ΗΠΑ. Είναι η ιστορία ενός πραγματικού ήρωα, που κατάφερε να ξεπεράσει τα εθνικά όρια της χώρας του και να δομήσει μία συνεκτική θέαση της ύπαρξης με επίκεντρο τον άνθρωπο.

Μια εύστοχη περιγραφή του βιβλίου δίνεται στο οπισθόφυλλο:

Στο επίκεντρο του Βουνά πέρα απ’ τα βουνά στέκει ο Πολ Φάρμερ. Ιατρός, καθηγητής του πανεπιστημίου Χάρβαρντ, καταξιωμένος λοιμωξιολόγος, ανθρωπολόγος, αποδέκτης της υποτροφίας ΜακΆρθουρ για ιδιοφυΐες, Ρομπέν των Δασών παγκοσμίου κλάσεως, ο Φάρμερ μεγάλωσε σ’ ένα λεωφορείο και σε μια βάρκα, ενώ στην ιατρική σχολή ανακάλυψε την κλίση του: να διαγιγνώσκει και να θεραπεύει λοιμώδη νοσήματα και να φέρνει τα σωτήρια εργαλεία της σύγχρονης ιατρικής σε εκείνους που τα έχουν μεγαλύτερη ανάγκη. Αυτό το υπέροχο βιβλίο δείχνει πώς η ριζική αλλαγή δύναται να προωθηθεί σε καταστάσεις που φαντάζουν ανυπέρβατες, καθώς επίσης πώς μπορεί να δομηθεί μια ζωή γεμάτη νόημα. Καθώς ο Φάρμερ ― έξοχος, χαρισματικός, γοητευτικός, πρωτοπόρος στην παγκόσμια υγεία, αλλά και κλινικός ιατρός που βρίσκει χρόνο για κατ’ οίκον επισκέψεις στη Βοστόνη και στα βουνά της Αϊτής ― καταρρίπτει συμβάσεις προκειμένου να καταστεί λυσιτελής.

Το Βουνά πέρα απ’ τα βουνά μας ταξιδεύει από το Χάρβαρντ στην Αϊτή, το Περού, την Κούβα, και τη Ρωσία, καθώς ο Φάρμερ αλλάζει γνώμη και πρακτική μέσω της προσήλωσής του στη φιλοσοφία πως “το μόνο πραγματικό έθνος είναι η ανθρωπότητα”. Επιστρατεύει τη συνδρομή του ιδρύματος Γκέιτς, του Τζορτζ Σόρος, του Παγκόσμιου Οργανισμού Υγείας και άλλων στην αποστολή του να θεραπεύσει τον κόσμο. Στην καρδιά αυτού του βιβλίου βρίσκεται το παράδειγμα ενός βίου που βασίζεται στην ελπίδα και στην κατανόηση της αλήθειας του αϊτινού αποφθέγματος “Πέρα απ’ τα βουνά υπάρχουν βουνά”: καθώς επιλύεις ένα πρόβλημα, ένα άλλο παρουσιάζεται, κι έτσι συνεχίζεις προσπαθώντας να επιλύσεις κι αυτό.

Νομίζω πως είχα αποφασίσει ότι θα το μετέφραζα πριν καν το τελειώσω. Επειδή δεν είχα την παραμικρή ιδέα πώς γίνονται αυτές οι δουλειές, έψαξα λιγάκι στο ίντερνετ. Η καλύτερη συμβουλή που διάβασα ήταν: κάνε τη μετάφραση σου και κατόπιν αναζήτησε εκδότη. Εκ των υστέρων, αποδείχτηκε πως τα πράγματα δεν λειτουργούν ακριβώς έτσι στον κόσμο των εκδόσεων. Όντας, ωστόσο, παντελώς άσχετος με τον χώρο, η παραίνεση μου είχε φανεί τότε πολύ λογική. Ξεκινάω λοιπόν, κατόπιν διακόπτω για ένα μεγάλο διάστημα, μόνο για να αποφασίσω αμετάκλητα αργότερα πως η μετάφραση αυτή πρέπει να ολοκληρωθεί. Κι αυτό γιατί ένα τέτοιο βιβλίο έχει τη δύναμη να εμπνεύσει τους νέους να αναλάβουν δράση, να επιφέρουν την αλλαγή, να αγαπήσουν την επιστήμη, να κοπιάσουν και να προσπαθήσουν για κάτι δικό τους.

Μιας που είμαι παντελώς άσχετος με την ιατρική ορολογία, προκειμένου να αποδώσω τις έννοιες και τους όρους του βιβλίου διάβασα ιατρικά άρθρα ―μέχρι κι ένα άρθρο του 1914 για τον υπόστροφο πυρετό― μηχανική φραγμάτων, πολιτική, οικονομία, θεολογία, το μυθιστόρημα του Γκράχαμ Γκρην Οι Θεατρίνοι, καθώς και σωρεία λεξικών αγγλικής, κρεολής, γαλλικής, κ.ά. Παρακολούθησα τη Μελωδία της Ευτυχίας και περίμενα υπομονετικά την Αλίκη Βουγιουκλάκη να τραγουδήσει “Πάχνη της νύχτας, γατάκια χνουδάτα”, αλλά και Το κλαμπ με τις Λωλές.

Κι αφού έγιναν όλα αυτά, ήρθε η ώρα να αναζητήσω εκδότη. Μετά από εξαντλητικά πολλές επαφές, αρνητικές απαντήσεις και απογοητεύσεις ο Μανόλης Δεληγιαννάκης, ιδιοκτήτης του εκδοτικού οίκου δίαυλος, συμφώνησε να εκδώσει τη μετάφραση (ίσως είναι το κατάλληλο μέρος να τον ευχαριστήσω που έκανε το όνειρό μου πραγματικότητα, καθώς επίσης για τον επαγγελματισμό του, την υπομονή του και τον τρόπο με τον οποίο μεταχειρίστηκε το κείμενο).

Το Βουνά πέρα απ’ τα βουνά λοιπόν κυκλοφορεί από χτες. Μπορείτε να το παραγγείλετε εδώ. Σας παροτρύνω να το διαβάσετε, να το προτείνετε στους φίλους σας, στους συναδέλφους σας, και κυρίως στους μαθητές σας. Και μην ξεχάσετε να μου αφήσετε ένα σχόλιο, για να μου πείτε πώς σας φάνηκε.

Σχόλια : Leave a Comment »

Kατηγορίες : Χωρίς κατηγορία

Ασύγχρονη τηλεκπαίδευση σε τρία βήματα

22 01 2021

Σε μία κατάτμηση του σκληρού δίσκου του φοιτητικού μου υπολογιστή (ο οποίος σκονίζεται ακόμη σε μία αποθήκη) είχα εγκαταστήσει το λειτουργικό σύστημα SuSE Linux 6.2 το οποίο είχε, ακόμη και για τα δεδομένα της εποχής, ένα υποτυπώδες παραθυρικό περιβάλλον (έτρεχε το KDE, ακρωνύμιο του K Desktop Environment). Όταν εκείνο φόρτωνε, μετά την εισαγωγή της εντολής startx στη γραμμή εντολών, η οθόνη άδειαζε μυστηριωδώς. Η επιφάνεια εργασίας μεταμορφωνόταν σε μια ηλεκτρονική τούνδρα∙ κανένα εικονίδιο δε διέκοπτε το αχανές της. Ο χρήστης όφειλε να κάνει ο ίδιος τα πάντα. Ακόμη και να κατασκευάσει το εικονίδιο που θα επέτρεπε την προσπέλαση των περιεχομένων μιας δισκέτας ή κάποιου CD. Επέλεγες λοιπόν ένα εικονίδιο, το αποθήκευες στην επιφάνεια εργασίας, κι έπειτα ανέθετες την εντολή που ήθελες να τρέξει το λειτουργικό σου σύστημα κάθε φορά που έκανες διπλό κλικ επάνω του (η εντολή που σου επέτρεπε να διαχειριστείς τα αρχεία μιας δισκέτας ήταν, αν θυμάμαι καλά, mount /dev/fd για παράδειγμα) ώστε να έχεις πρόσβαση στα περιεχόμενα του αποθηκευτικού μέσου. Το παραθυρικό περιβάλλον ήταν σαν ένα έπιπλο IKEA, έπρεπε να το στήσεις μόνος σου πριν το χρησιμοποιήσεις.

Πέρασαν κάμποσα χρόνια από τότε, όλα έγιναν πιο εύκολα και με κάποια πικρία οφείλω να παραδεχτώ πως η γοητεία ξεθώριασε. Τα λειτουργικά συστήματα πλέον διατείνονται πως είναι εξοπλισμένα με εξαιρετικά εργαλεία που δίνουν τη δυνατότητα στο χρήστη να εκτελέσει πλήθος σύγχρονων λειτουργιών, χωρίς να χρειάζεται να εγκαταστήσει ούτε μία εφαρμογή. Τον τελευταίο καιρό σκεφτόμουν να ετοιμάσω μία σειρά από βίντεο στα οποία θα έλυνα ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων, εξηγώντας στοιχεία της λύσης και παραθέτοντας κάποιες μεθόδους ευρετικής. Έτσι, αναλογίστηκα πως τα βίντεο αυτά θα αποτελούσαν μία πρώτης τάξεως ευκαιρία να ελέγξω την ισχύ της πρότασης. Θα μπορούσα άραγε να καταγράψω και να επεξεργαστώ, έστω και υποτυπωδώς, τα όσα ενδιαφέροντα εκτυλίσσονταν στην οθόνη του υπολογιστή μου χρησιμοποιώντας αποκλειστικά προεγκατεστημένο λογισμικό των Windows 10; Λοιπόν, η απάντηση είναι καταφατική! Για να δούμε.

One Note for Windows 10

Όταν χρησιμοποίησα πρώτη φορά αυτό το ψηφιακό σημειωματάριο έμεινα έκπληκτος με τις δυνατότητές του. Μπορεί κανείς να σχεδιάσει με τη γραφίδα, να εισάγει κείμενο (ακόμη και μαθηματικό κείμενο), ιστοσελίδες, εικόνες, βίντεο, applet φτιαγμένα στη GeoGebra (!), ηχογραφήσεις και όλα αυτά να τα διαμοιραστεί με τους μαθητές διαμέσου του υπολογιστικού νέφους, στους οποίους δύναται να δώσει δικαιώματα ανάγνωσης ή επεξεργασίας του σχετικού τετραδίου. Το OneNote είναι το λογισμικό που χρησιμοποιώ και για τα εξ αποστάσεως μαθήματά μου. Έχει αποδειχθεί εξαιρετικό μέχρι στιγμής, αν εξαιρέσουμε κάποια μικροπροβληματάκια.

Xbox Game Bar

Μπορεί να είναι ένα εργαλείο των Windows 10 που αφορά κατά κύριο λόγο όσους παίζουν παιχνίδια στον υπολογιστή τους, ωστόσο έχει τη δυνατότητα να καταγράφει ό,τι συμβαίνει στην οθόνη του υπολογιστή σας, ακόμη κι αν δεν παίζετε. Πιέστε το συνδυασμό των πλήκτρων Windows + G για να εκκινήσει η λειτουργία, κατόπιν Windows + Alt + R, και φώτα, κάμερα, πάμε!

Φωτογραφίες για τα Windows 10

Ο τίτλος της εφαρμογής είναι ελαφρώς παραπλανητικός. Μπορεί να ονομάζεται «Φωτογραφίες» για τα Windows 10, εντούτοις παρέχει τη δυνατότητα στο χρήστη να επεξεργαστεί, στοιχειωδώς ομολογουμένως, ακόμη και βίντεο. Εντοπίστε πού αποθηκεύτηκε στο σκληρό σας δίσκο η εγγραφή μέσω του Xbox Game Bar και με δεξί κλικ στο αρχείο ανοίξτε το με τις «Φωτογραφίες». Κάντε κλικ στο κουμπί «Επεξεργασία και Δημιουργία» κι επιλέξτε «Δημιουργία βίντεο με κείμενο». Θα μεταφερθείτε σε μία εφαρμογή η οποία θα σας δώσει τη δυνατότητα να προσθέσετε κείμενο ή τρισδιάστατα εφέ στο βίντεο, να συρράψετε, να αποκόψετε, να προσθέσετε τίτλους, μουσική υπόκρουση και να εξάγετε το αποτέλεσμα με την ποιότητα που επιθυμείτε.

Αυτή η απλή ακολουθία ενεργειών θα σας δώσει τη δυνατότητα να παράγετε περιεχόμενο, έτοιμο να το μοιραστείτε με τους μαθητές όλου του πλανήτη, αφού το ανεβάσετε στην πλατφόρμα της προτίμησής σας. Δείτε παρακάτω ένα από τα βίντεο της επίλυσης μιας άσκησης της τράπεζας θεμάτων, στην οποία εισήγαγα ένα δυναμικό σχήμα κατασκευασμένο στη GeoGebra (ειρήσθω εν παρόδω, κάθε φορά που ακούω τον εαυτό μου σκέφτομαι να ξεκινήσω μαθήματα φωνητικής).

Σχόλια : Leave a Comment »
Ετικέτες: τράπεζα θεμάτων, εκπαιδευτικό βίντεο
Kατηγορίες : Εκπαίδευση & Τεχνολογία

Ο Ευκλείδης του Byrne

23 02 2020

Στα 1874 ο Ιρλανδός πολιτικός μηχανικός και συγγραφέας Oliver Byrne δημοσιεύει σε συνεργασία με τον εκδότη William Pickering το «έγχρωμο» βιβλίο του των Στοιχείων του Ευκλείδη. Το καινοτόμο εκπαιδευτικό εγχείρημα είναι μία εκδοχή των έξι πρώτων βιβλίων των Στοιχείων του Ευκλείδη, στο οποίο όλες οι αποδείξεις των γεωμετρικών θεωρημάτων δίδονται ως έγχρωμες γραφικές επεξηγήσεις.

*Η απόδειξη του Πυθαγoρείου Θεωρήματος στο βιβλίο του Byrne*

Η απρόσκοπτη αντικατάσταση του λόγου με τη χρωματική αναπαράσταση μου φέρνει αναπόδραστα στο νου την πλατωνική προσέγγιση στη γεωμετρική οντολογία. Στο έκτο βιβλίο της Πολιτείας του Πλάτωνα, ο Σωκράτης εξηγεί στο Γλαύκωνα πώς ενεργούν όσοι καταπιάνονται με τη Γεωμετρία και τις συναφείς τέχνες:

Θα γνωρίζεις λοιπόν πως […] χρησιμοποιούν ορατά είδη και κάνουν τους συλλογισμούς τους με βάση αυτά, αν και δεν συλλογίζονται αυτά, αλλά εκείνα τα οποία απεικονίζουν, γιατί κάνουν τους συλλογισμούς τους για το καθαυτό τετράγωνο και για την καθαυτό διάμετρο και όχι γι’ αυτή που σχεδιάζουν […] (510e)

Αφήνοντας κατά μέρος τις μεταφυσικές προεκτάσεις που απαντώνται στο πλατωνικό κείμενο κι εστιάζοντας στη συλλογιστική, διαπιστώνει κανείς πως στον Ευκλείδη του Byrne το χρώμα υποκαθιστά το λόγο, ώστε το επιφαινόμενο να συμπέσει με το νοητό, το σημαίνον με το σημαινόμενο. Σ’ αυτό το συναρπαστικό ανάγνωσμα, η λέξη ως δομικό στοιχείο της νόησης εγκαταλείπεται και αντ’ αυτής χρησιμοποιείται το χρώμα, ήτοι η έκταση. Η Γεωμετρία εμφανίζεται αποκαθαρμένη από τη συμβολική σκευή της, για να αναδειχθεί εκ νέου, με ένα μοναδικό τρόπο, ως η επιστήμη του χώρου.

Ίσως γι’ αυτό πολλοί σύγχρονοι σχολιαστές να εντοπίζουν ομοιότητες ανάμεσα στο βιβλίο του Byrne και το σχεδιαστικό ύφος των αρχιτεκτονικών ρευμάτων του bauhaus ή του νεοπλαστικισμού, ενδεχομένως όμως όλες αυτές να είναι εκ των υστέρων προβολές. Εντούτοις, οφείλω να παραδεχτώ πως το βιβλίο φαίνεται να είναι μια προεικόνιση κάποιας σύνθεσης του Μοντριάν.

Εδώ και καιρό γνωρίζω πως το βιβλίο κυκλοφορεί πλέον σε ανατυπώσεις του εκδοτικού οίκου TASCHEN και μπορεί κανείς να το προμηθευτεί από καταστήματα του εξωτερικού. Πριν λίγες μέρες όμως, υπήρξα ανέλπιστα τυχερός. Εντόπισα στο διαδίκτυο μια online μορφή του βιβλίου, που αποτελεί πόνημα του σχεδιαστή ιστοσελίδων Nicholas Rougeux. Ο Rougeux όχι μόνο διατήρησε τους αυθεντικούς γλύφους του κειμένου, αλλά προσέδωσε και τη δυνατότητα διάδρασης του αναγνώστη με αυτό, με τη χρήση svg γραφικών. Το αποτέλεσμα μπορείτε να δείτε και να διαχειριστείτε αν περιηγηθείτε στην ιστοσελίδα του. Κάντε δώρο στον εαυτό σας μια επίσκεψη σ’ αυτό το εξαιρετικό δημιούργημα ή ακόμη και μία από τις αφίσες που διατίθενται στο site του Rougeux.

Σημ.: Χρησιμοποίησα τη μετάφραση της Πολιτείας του Πλάτωνα των εκδόσεων ΚΑΚΤΟΣ.

Σχόλια : Leave a Comment »
Ετικέτες: Byrne, Ευκλείδης, Στοιχεία, Rougeux
Kατηγορίες : Χωρίς κατηγορία

Ο δεσμώτης των προσομοιοτήτων

3 01 2018

Η δυνατότητα της εκπαίδευσης να καταστεί μια θετικότητα διανοίγεται τη στιγμή που η ίδια εκλαμβάνεται ως αναδιπλασιασμός της μάθησης. Όταν στο πεδίο της μάθησης συμπεριληφθεί ο ίδιος της ο εαυτός, δηλαδή όταν συγκλίνουμε στον ισχυρισμό ότι είναι δυνατό να μάθει κανείς πώς μαθαίνει, ακριβώς τότε μία δεύτερη διάσταση διαπλάθεται στο εκπαιδευτικό γίγνεσθαι που τέμνει κάθετα τον άξονα της εισέτι ιστορικής του εξέλιξης. Σε αυτή τη νέα διάσταση η σκοπιμότητα της εκπαιδευτικής πράξης αναθεωρείται, οι ρόλοι των εμπλεκομένων στην εκπαιδευτική διαδικασία επανεξετάζονται, η εκπαιδευτική ρητορική καθώς και η σχετική με την εκπαίδευση ρητορική αναδομείται ώστε να αντανακλά τις συντελούμενες αλλαγές· ακόμη και η πολιτική της εκπαίδευσης ανασκευάζεται στο πολύπλοκο πλαίσιο ιστορικώς καινοφανών αναγκαιοτήτων, όπως της δια βίου μάθησης που αναδύεται μετά την εφεύρεση του αναδιπλασιασμού – καταδεικνύοντας βέβαια την οικονομική μόχλευση της εκπαίδευσης, αλλά που τόσο άκομψα φενακίζεται κατά τον παραλληλισμό της με την διηνεκή νοητική λειτουργία – ή της ειδικής αγωγής, που φαίνεται να αντλούν τη δυνατότητά τους από την ίδια τη θετικότητα της εκπαίδευσης, τη δυνατότητά της να αποτελεί ένα αυτόνομο (αυτόνομο όχι ως προς το σχετισμό του με άλλες επιστήμες, αλλά ως προς τη δυνατότητα κάποιου συγκερασμού θετικοτήτων που αποσκοπεί στη διατύπωση μιας νέας, οριοθετημένης θετικότητας) γνωστικό πεδίο.

Η εφεύρεση του αναδιπλασιασμού έχει συμβάλει καίρια στη διαμόρφωση της σύγχρονης σκέψης σχετικά με την εκπαίδευση, σηματοδοτώντας τη μετεξέλιξή της από ένα εξωτερικό γεγονός σε μια συμμετοχική διεργασία. Η εκπαίδευση δηλαδή θεωρείται πλέον ως μία διαδικασία, δεν αποτελεί πια ένα συμβάν. Υπό αυτό το πρίσμα, ο μαθητής εμπλέκεται ενεργά στην κατασκευή του γνωσιακού του οικοδομήματος. Ενώ, ο λειτουργικός χώρος στον οποίο κινείται ο εκπαιδευτικός μαθηματικός δεν εξαντλείται στην ιδιότητά του να αποτελεί μέλος της μαθηματικής κοινότητας, συνεπώς να αποτελεί τον καίριο επικυρωτή της επιστημονικής ορθότητας των προτάσεων, υποθέσεων, αποφάνσεων κλπ. που διατυπώνονται στην τάξη, αλλά μετεξελίσσεται σε αυτόν του ενορχηστρωτή μιας διαδικασίας. Συμπερασματικά, ισχυρίζομαι ότι ο εκπαιδευτικός μαθηματικός οφείλει να κατασκευάζει ένα μαθησιακό περιβάλλον συντονισμένο με τον αναδιπλασιασμό της μάθησης, υποστηρίζοντας τους μαθητές στην κατασκευή του προσωπικού τους μαθηματικού οικοδομήματος, επικυρώνοντας την επιστημονική ορθότητά του αλλά και πλαισιώνοντας τη διαδικασία σε συνάφεια με θετικότητες που καθιστούν και την ίδια την εκπαίδευση μία θετικότητα, όπως για παράδειγμα η νευροεπιστήμη, ή η γνωστική ψυχολογία.

Ενδεχομένως όλες αυτές οι διατυπώσεις να είναι περιττές ή αυτονόητες ως ένα βαθμό, αυτό όμως δε σημαίνει σε καμία περίπτωση ότι η καθημερινή πρακτική του εκπαιδευτικού είναι συντονισμένη με αυτές. Πέρα από τις όποιες πρακτικές δυσκολίες δεν επιτρέπουν στον εκπαιδευτικό να λειτουργήσει ως ενορχηστρωτής της μαθησιακής διαδικασίας, ή την ιδεοληψία των πολιτικών να ασχημονούν εις βάρος της εκπαίδευσης (πάντα θυμάμαι κάτι πολύ εύστοχο που είχα διαβάσει, ότι η εκπαίδευση είναι εξαιρετικά σημαντική για να την αφήσουμε στα χέρια των πολιτικών, υπό αυτό το πρίσμα γράφω εδώ όλες αυτές τις σκέψεις), εντοπίζω τρία είδη προσομοιοτήτων που επικαλούνται οι εκπαιδευτικοί και τείνουν να δυσχεραίνουν τη δυνατότητα της εκπαίδευσης να καταστεί μία θετικότητα η οποία δύναται να ενημερώσει την πρακτική και να αλλάξει την υφή και το ηχόχρωμα της τάξης των μαθηματικών.

Πρώτη, η προσομοιότητα ανάμεσα στην παραγωγή των μαθηματικών και τη διδασκαλία τους. Σύμφωνα με αυτήν την τοποθέτηση, μαθαίνει κανείς μαθηματικά αν έρθει σε επαφή με τον τρόπο που εργάζονται οι επαγγελματίες μαθηματικοί. Ο Papert έχει επινοήσει μια υπέροχη μεταφορά σχετικά με αυτήν την προσομοιότητα. Είχε γράψει πως ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαραγκός είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαραγκό στην πράξη της μαραγκοσύνης. Κατ’ αναλογία ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαθητής είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαθητή (σημ: τον ίδιο το δάσκαλο) στην πράξη της μάθησης. Η ένστασή μου είναι διττή. Από τη μία σκέφτομαι πως πράγματι, καλοί μαραγκοί γίνονται αυτοί που μαθητεύουν δίπλα σε καλούς μαραγκούς, αλλά ανάθεμα αν βγήκε ποτέ καλός μαραγκός παρακολουθώντας τον αρχιμάστορα να συναρμολογεί έπιπλα ΙΚΕΑ. Κάπως έτσι νιώθω για τους δασκάλους των μαθηματικών στη χώρα μας. Ανοίγουμε τα τόσο άτσαλα συρραμμένα αλμανάκ μαθηματικών γνώσεων που αποκαλούμε εγχειρίδια και συμβουλευόμενοι το φύλλο οδηγιών, αυτούς τους τσελεμεντέδες επίλυσης ασκήσεων που αποκαλούμε βοηθήματα, συναρμολογούμε επιλύοντας ασκήσεις. Όποιος καταφέρει να συναρμολογήσει τα πιο περίπλοκα τραπεζάκια του καφέ είναι ο καλύτερος δάσκαλος. Ο πιο επιδέξιος συναρμολογητής! Αναρωτιέμαι αν τελικά θέλω να είμαι συναρμολογητής ή δάσκαλος, μιας που διατηρώ τις επιφυλάξεις μου ως προς το πόσο ή εάν η επίλυση ασκήσεων όπως γίνεται στο ελληνικό σχολείο διατηρεί κάποια σχέση αναλογίας με τη δραστηριότητα των επαγγελματιών μαθηματικών. Από την άλλη, η ίδια η διαδικασία παραγωγής μαθηματικών είναι απογυμνωμένη, ως επί το πλείστον, από τη συνιστώσα του μαθητή. Αν τελικά η εκπαίδευση των μαθηματικών αντιστοιχούσε στην τήρηση μιας αυστηρής αναλογίας ανάμεσα στην παραγωγή και τη μάθηση, η αναγωγή της εκπαίδευσης σε μία θετικότητα θα ήταν μάταιη ή παράδοξη. Όλος ο διάλογος γύρω από τη διδακτική θα ήταν ένα σύνολο αφόρητων αδολεσχιών (μένει λοιπόν να αποδειχθεί ότι δεν είναι). Επιπροσθέτως, θα μπορούσε να ισχυριστεί κανείς ότι οι πιο δεινοί μαθηματικοί θα ήταν αυτομάτως και οι καλύτεροι δάσκαλοι, κάτι που είναι καταφανώς άτοπο.

Η δεύτερη προσομοιότητα, που εντοπίζεται ανάμεσα στη μαθηματική αφήγηση και τη διδασκαλία, έχει βαθιές ρίζες που διατρέχουν την καταγεγραμμένη ιστορία μέχρι τη στιγμή που διαφαίνεται η δυνατότητα των ίδιων των μαθηματικών να αποτελέσουν μία θετικότητα. Η ιδέα εδώ είναι ότι η διδασκαλία οφείλει να ακολουθεί το φορμαλισμό των μαθηματικών κειμένων και ότι μόνο μία τέτοια προσομοιότητα χρήζει ή δύναται να εξασφαλίσει την επιστημονικότητα της διδασκαλίας. Υποθέτω πως αυτή η βαθιά ριζωμένη πεποίθηση μας ανοσοποιεί απέναντι στη στείρα παρουσίαση εννοιών, ορισμών, θεωρημάτων, πορισμάτων, λυμένων παραδειγμάτων – κατ’ αυτή τη σειρά – καθώς απογυμνώνεται το πραγματευόμενο αντικείμενο από την ιστορική του εξέλιξη, το συγκείμενο της αρχικής του ανάδυσης ως άξιο μελέτης, ή τη συνάφεια με άλλα πολιτισμικά ή τεχνολογικά τεχνουργήματα. Μία τέτοια προσέγγιση καθιστά τα μαθηματικά, τουλάχιστον στα μάτια της πλειονότητας των μαθητών, ένα βασανιστικά εξωπραγματικό σύνολο σχεδόν απροσπέλαστης γνώσης. Ταυτοχρονικά, η διδασκαλία των μαθηματικών ολισθαίνει σε ένα στείρο ωφελιμισμό, ο οποίος έρχεται σε πλήρη αντίφαση με την επίκτητη αυτοαναφορικότητά της.

Η τρίτη προσομοιότητα ανάμεσα στο αναμνησιακό φορτίο του δασκάλου και τη διδασκαλία έχει διττή φύση. Αφορά αφενός την αναστροφή κάποιας επιτυχημένης μαθησιακής τακτικής του ίδιου του δασκάλου σε μία, νοούμενη ως αυτοδίκαια επιτυχημένη, διδακτική τακτική. Αφετέρου, αναφέρεται στη μιμητική που αντλεί διδακτικά παραδείγματα από το αναμνησιακό φορτίο του δασκάλου το οποίο δομήθηκε την περίοδο που ο ίδιος ήταν μαθητής. Ισχυρίζομαι λοιπόν, ότι οφείλουμε να διαχειριζόμαστε το αναμνησιακό φορτίο του δασκάλου ως μια ακατέργαστη επιστημονική υπόθεση που ενοικεί στο χώρο κάποιας διδασκαλίας, ή μιας διδακτικής, ή ακόμα και της παιδαγωγικής. Είναι πραγματικά δύσκολο – αφού φαίνεται να αντιβαίνει στη βαθιά ριζωμένη εξελικτική μας παρόρμηση να επαναλαμβάνουμε τις διαδικασίες που έχουμε ακολουθήσει ώστε να ολοκληρώσουμε μία ενέργεια που έχει καταγραφεί ως επιτυχής στο νευρωνικό μας δίκτυο – και απαιτεί τη συνεχή επαγρύπνηση του εκπαιδευτικού να το απορρίπτει αυτοστιγμεί όταν απειλεί να γενικευθεί σε μια καθολική θετικότητα, χωρίς καμία παιδαγωγική εξέταση. Συνεπώς, αφού πρωτίστως αναλυθεί και διατυπωθεί ως υπόθεση, οφείλει να ελεγχθεί· μόνον τότε θα μπορούσε να της αποδοθεί το πρόσημο μιας αξιολογικής κρίσης. Όταν εντοπισθούν οι δυνάμεις και οι αδυναμίες της, αποτυπωθούν οι εξαιρέσεις της, στο μέτρο του δυνατού ποσοτικοποιηθούν οι παράμετροί της, αναλυθεί το εκπαιδευτικό της αποτύπωμα (και όλο αυτό το επιστημονικό πρόγραμμα βέβαια, δεν μπορεί παρά να υλοποιηθεί στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής πράξης), μόνο τότε θα είμαστε σε θέση να τη μετατοπίσουμε δικαιωματικά από την προσωπική σφαίρα ενός νομοτελειακά φθαρμένου αναμνησιακού στον τόπο που τέμνονται η προσωπική και η κοινή μαθησιακή διαδικασία, στον κοινό τόπο της τάξης.

Η παραπάνω ομαδοποίηση είναι προϊόν μιας κάποιας ανασκόπησης που έγινε σε διαλόγους που διεξήχθησαν στο διαδίκτυο ή εκ του σύνεγγυς και κοινό παρονομαστή είχαν την αλλαγή στην εκπαιδευτική πρακτική. Οι εκπαιδευτικοί τείνουν να ανασκαλεύουν την επιχειρηματολογική τους φαρέτρα ώστε να αρθρώσουν ένα λόγο που να θεμελιώνεται στις φιλοσοφικές, παιδαγωγικές και επιστημονικές (ή επιστημονίζουσες) πεποιθήσεις τους κάθε φορά που επιθυμούν είτε να επικυρώσουν, είτε να αντιταχθούν της αλλαγής. Κάτι τέτοιο είναι ενδεικτικό των ισχυρών αντικρουόμενων δυνάμεων που συνοδεύουν οποιαδήποτε προτεινόμενη μεταστροφή στην εκπαιδευτική πρακτική. Εδώ λοιπόν, προσπαθώ να σημειώσω πώς θεμελιώνονται οι δυνάμεις που πρόσκεινται της συντήρησης ενός μοντέλου που, κατά την άποψή μου, έχει πλέον αποδειχθεί ανεπιτυχές.

Εν κατακλείδι, θέλω να εξηγήσω πως είναι βαθιά μου πεποίθηση ότι αν καταφέρουμε να στοχαστούμε θεμελιωδώς σχετικά με την τάξη των μαθηματικών, έχοντας ως κύριο γνώμονά μας το μαθητή και την αναμφίλεκτη αναγκαιότητα να εισαχθεί στον κόσμο της λογικής σκέψης, που τόσο επιτακτικά οριοθετεί το μαθηματικό οικοδόμημα, θα έχουμε καταφέρει να ενεργήσουμε πολιτικά, πράττοντας και εκφέροντας λόγο, με γνώμονα την ευδαιμονία των μαθητών μας και τη δική μας, δικαιολογώντας έτσι, έστω και στοιχειωδώς, την εκούσια συναρμογή μας σε αυτόν τον κοινωνικό σχηματισμό, έχοντας ενεργήσει ως πολίτες και δάσκαλοι. Υπό αυτό το πρίσμα εκφράζω τούτες τις σκέψεις που με απασχολούν τον τελευταίο καιρό. Καλό βράδυ και καλή χρονιά σε όλους!

Σχόλια : Leave a Comment »

Kατηγορίες : Γενικά και Αόριστα

Χωριό που φαίνεται

4 02 2016

Σήμερα έπεσε στα χέρια μου μια άσκηση από το Γ2 τεύχος του βιβλίου Μαθηματικών Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών του Βασίλη Παπαδάκη (εκδόσεις Σαββάλα) που με προβλημάτισε αρκετά, θα εξηγήσω παρακάτω γιατί. Τη δούλεψα κάμποση ώρα και κατέληξα σε ένα συμπέρασμα του οποίου η απλότητα το καθιστά όμορφο, ή έτσι τουλάχιστο θέλω να πιστεύω. Η ομορφιά του είναι αυτή που με ώθησε να ξαναγράψω στο ιστολόγιο τούτο το άρθρο μετά από σχεδόν δύο χρόνια σιωπής (εδώ καχάστε ελεύθερα). Αρχικά παραθέτω την εκφώνηση της άσκησης, ή τουλάχιστον το κομμάτι που με απασχολεί:

Το πρόβλημα

Δίνεται (παραγωγίσιμη) συνάρτηση $\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ :

$\mathrm{f}^3(x) + \mathrm{f}(x) = 8x^3-12x^2+8x-2$

Το ζητούμενο εδώ είναι να βρεθούν τα όρια $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\mathrm{f}(x)$ .

Μια λύση

Η λύση που προτείνει ο συγγραφέας είναι εξαιρετικής κομψότητας. Βέβαια, σε σημεία της απαιτούνται ταχυδακτυλουργικά τα οποία θεωρώ ελάχιστοι μαθητές της Γ’ Λυκείου είναι σε θέση να φέρουν εις πέρας. Παρακάτω σκιαγραφώ τη λύση αυτή, ώστε να βγάλει τα δικά του συμπεράσματα ο αγαπητός αναγνώστης:

Εάν $x<0$ , επειδή σε προηγούμενο ερώτημα έχει αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $\mathrm{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , θα είναι: $\mathrm{f}(x)<\mathrm{f}(0)$ ή $\mathrm{f}(x)<-1$ , από την οποία συνάγεται ότι $\mathrm{f}^3(x)<\mathrm{f}(x)$ .

Προσθέτοντας την $\mathrm{f}^3(x)$ στα δύο μέλη της ανισότητας παίρνουμε:

$2\mathrm{f}^3(x)<\mathrm{f}^3(x)+\mathrm{f}(x)$
$\mathrm{f}^3(x)<4x^3-6x^2+4x-1$

Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει ότι $\lim_{x \rightarrow - \infty}\mathrm{f}^3(x)=-\infty$ , οπότε $\lim_{x \rightarrow -\infty}\mathrm{f}(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-\sqrt[3]{-\mathrm{f}^3(x)} ) =-\infty$ .

Όμοια εργάζεται κανείς εάν $x>0$ για να υπολογίσει το όριο στο $+\infty$ .

Άλλη μια λύση

Βλέποντας και ξαναβλέποντας τη δοθείσα συναρτησιακή σχέση, η Μικρή Φωνούλα Μέσα Μου (Μ.Φ.Μ.Μ.) έλεγε και ξανάλεγε ότι η συνάρτηση $\mathrm{f}$ δεν μπορεί παρά να είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση πρώτου βαθμού, την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε. Όπως καταλαβαίνει κανείς, κάτι τέτοιο θα καθιστούσε αχρείαστη την ταχυδακτυλουργική. Βέβαια, χωρίς απόδειξη όλα αυτά είναι λόγια του αέρα, οπότε σκαρφίστηκα τα παρακάτω.

Πρωτίστως εντόπισα την πολυωνυμική συνάρτηση $\mathrm{p}(x)$ για την οποία ισχύει: $\mathrm{p}^3(x) + \mathrm{p}(x) = 8x^3-12x^2+8x-2$ . Εύκολα υπολογίζει κανείς ότι $\mathrm{p}(x)=2x-1$ .

Έπειτα, υπέθεσα ότι η συνάρτηση $\mathrm{f}$ εκτός από την $\mathrm{p}$ , απαρτίζεται και από άλλα πράγματα. Μ’ άλλα λόγια γράφεται $\mathrm{f}(x)=\mathrm{p}(x) + \mathrm{n}(x)$ , όπου $\mathrm{n}(x)$ μια άλλη πραγματική συνάρτηση με εξωτικά συστατικά (παρατηρείστε ότι με τον τρόπο που είναι γραμμένη η $\mathrm{f}$ , θα μπορούσε κάλλιστα να μην περιέχει κανέναν όρο της $\mathrm{p}$ , αν οι αντίθετοί τους περιέχονταν στην $\mathrm{n}$ ). Σε αυτήν την περίπτωση θα είναι $\mathrm{f}^3(x)=\mathrm{p}^3(x)+3\mathrm{p}^2(x)\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}(x)\mathrm{n}^2(x)+\mathrm{n}^3(x)$ . Αν αντικαταστήσουμε την $\mathrm{f}$ και την $\mathrm{f}^3$ στη δοθείσα σχέση, παίρνουμε:

$\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}^2(x)\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}(x)\mathrm{n}^2(x)+\mathrm{n}^3(x)=0$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Η τελευταία σχέση όμως γράφεται πιο βολικά ως εξής:

$\mathrm{n}(x) (1+\frac{3}{4}\mathrm{p}^2(x)+[\frac{3}{2}\mathrm{p}(x)+\mathrm{n}(x)]^2)=0$

Απ’ όπου προκύπτει αυτό που περίμενα εξαρχής, ότι δηλαδή $\mathrm{n}(x)=0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Η συνάρτηση $\mathrm{f}$ λοιπόν δεν είναι άλλη από την πολυωνυμική $\mathrm{p}(x)=2x-1$ . Τα ζητούμενα όρια υπολογίζονται εύκολα τώρα.

Σκέψεις

Όταν πήρα στα χέρια μου την άσκηση, παρόλο που η Μ.Φ.Μ.Μ. μ’ έσπρωχνε να υπολογίσω τη συνάρτηση $\mathrm{f}$ για να κάνω τη ζωή μου πιο εύκολη, δίσταζα να το κάνω γιατί σε γενικές γραμμές δεν αντιμετωπίζουμε τέτοιου είδους ασκήσεις κατ’ αυτόν τον τρόπο. Δεν έχω δει ποτέ μέχρι τώρα σε βιβλία ή σε συζητήσεις στο διαδίκτυο να προτείνεται μια τέτοια λύση. Ακόμα κι εγώ ο ίδιος αρχικά άφησα στην άκρη αυτό που ένιωθα ότι πρέπει να δίνει την απάντηση για να ακολουθήσω τις μεθόδους που συνήθως χρησιμοποιούμε και διδάσκουμε όταν δουλεύουμε παρόμοια ζητήματα. Τι βαρετό! Πόσο απαξιωτική, απάνθρωπα ομοιογενοποιητική και καθόλου δημιουργική κατάντησε η ενασχόληση με την ξεχωριστά όμορφη τέχνη των μαθηματικών. Η διδασκαλία μας είναι ένας τσελεμεντές προς υποψήφιους επιστήμονες. Το μόνο που φτάσαμε να αποζητούμε είναι περισσότερες ασκήσεις και διαγωνίσματα για να εγκλωβίσουμε ακόμα περισσότερο τη σκέψη των μαθητών μας. Τα ανοιχτά προβλήματα εξοβελίστηκαν από το σχολείο, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής έγινε μια ευκαιρία για περισσότερα διαγωνίσματα και οι περισσότεροι μαθητές αντιμετωπίζουν σοβαρές δυσκολίες να αντιμετωπίσουν το παραμικρό πρόβλημα που απαιτεί στοιχειώδεις μαθηματικές δεξιότητες. Εν ολίγοις, την κάτσαμε!

Γι’ αυτούς που θα απορρίψουν τον τρόπο σκέψης μου ως ειδικό και μη εφαρμόσιμο σε γενικές γραμμές θα έλεγα ότι έχουν δίκιο. Θα έλεγα επίσης ότι μεγαλύτερη σημασία στα σχολικά μαθηματικά κατά την άποψή μου δεν έχει η εξωτερική επιβολή γενικών κανόνων, αλλά η διασκέδαση, η δημιουργικότητα και η εσωτερική σταδιακή δόμηση εννοιών, γενικοτήτων και κανόνων. Θα μπορούσε κανείς να αραδιάσει πολλά για να στηρίξει αυτή τη θέση, αλλά τελικά τι νόημα θα είχε κάτι τέτοιο;

Αυτά! Τα λέμε σε καναδυό χρόνια…

Σχόλια : 2 Σχόλια »

Kατηγορίες : Χωρίς κατηγορία

Πρόλογος

28 04 2014

113x160_p25626

Καλό μου παιδί, καλῶς ἦλθες στὴν Ε´ τάξι. Κι ὅπως βλέπω, δὲν εἶσαι μικρός, ὅπως εἶχα πληροφορηθῆ. Εἶσαι ἀρκετὰ καλὸς γιὰ συντροφιὰ μαζί μου. Καὶ πιστεύω ἐδῶ ποὐ ἦλθες νὰ περάσωμε καλά. Θὰ μάθης τόσα καινούργια πράγματα χρήσιμα γιὰ τὴ ζωή σου. Οἱ ἄλλες μου ἀδελφές, οἱ μικρότερες, ποὺ τόσο καλὰ σὲ συντρόφεψαν νὰ φτάσης ὡς ἐδῶ, ἀρκετὰ ἐφόδια σοῦ ἔδωσαν. Ξέρεις νὰ λύνης προβλήματα καὶ νὰ μὴ λαθεύης στὴ λύσι.

Ἔμαθες βέβαια να ψωνίζης στὸ μπακάλη, στὸ μανάβη, στὸ χαρτοπωλεῖο, τὸ κάθε τι, νὰ κάνης μόνος σου τοὺς λογαριασμοὺς καὶ νὰ μὴ γελιέσαι. Κι αὐτὸ τὸ χρωστᾶς στὸ καλὸ σχολεῖο, στοὺς καλούς σου δασκάλους καὶ στίς… ἀδελφοῦλες μου, τὶς ἀριθμητικὲς ποὺ γνώρισες στὴν κάθε τάξι. Ἀλλά, μικρέ μου φίλε, ἔχεις πολλὰ ἀκόμη νὰ μάθης. Πρέπει κι αὐτὰ νὰ τὰ μάθης. Εἶναι χρήσιμα γιὰ τὴ ζωή σου. Τὰ συναντᾶς σὲ κάθε βῆμα σου. Αὐτὸ τὸ καθῆκον, γιὰ τὴ φετεινή σου χρονιά, ἀνήκει σὲ μένα. Πρὶν ὅμως σὲ ὁδηγήσω στὸ δικό μου παλάτι, ποὺ θὰ ἰδῆς τόσα καὶ τόσα, θέλω νὰ θυμηθῆς ὅλα τὰ περασμένα. Στὶς διακοπές σου ἴσως νὰ λησμόνησες μερικά, γι᾽ αὐτὸ ἔλα νὰ ξαναθυμηθοῦμε ὅσα ἔμαθες. Μετὰ θ᾽ ἀνοιχτοῦν διάπλατες οἱ πόρτες τοῦ δικοῦ μου παλατιοῦ.

Καὶ πάλι καλῶς ἦλθες
Ἡ Ἀριθμητική σου
Τῆς Ε´.

Από την πρακτική ἀριθμητική Ε´ και ΣΤ´ Δημοτικού
των Θ. Αναγνωστόπουλου και Κ. Βοσταντζή
(Νέα συγχρονισμένη ἔκδοσις 1961)
Εκδόσεις «ΝΙΚΗ»

Σχόλια : Leave a Comment »
Ετικέτες: 1961, πρακτική αριθμητική, Αναγνωστόπουλου, Βοσταντζή
Kατηγορίες : Γενικά και Αόριστα

Ιστορικές μαθηματικές μονογραφίες

9 04 2014

La geometrie – Rene Descartes διάθεση εικόνας: Cornell University Library

Στα 1990 το Πανεπιστήμιο Cornell συνέπραξε με τη Xerox ώστε να ψηφιοποιηθούν τόμοι της βιβλιοθήκης του Πανεπιστημίου που βρισκόταν σε κακή κατάσταση. Με δεδομένο ότι τα πνευματικά δικαιώματα των μονογραφιών έχουν λήξει, το Πανεπιστήμιο διαθέτει online τα ψηφιοποιημένα έργα, στην ιστοσελίδα The Cornell University Library Historical Mathematics Monographs. Οι εκδόσεις των πονημάτων είναι γαλλικές, γερμανικές, αγγλικές, ιταλικές ή ρωσικές και χρονολογούνται από τα τέλη του 19ου μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα. Ανάμεσα στα ονόματα των συγγραφέων θα βρείτε και αυτά των Riemann, Poincaré, Lagrange, Bernoulli, Galois, Descartes. Αξίζει να σημειωθεί ότι το πανεπιστήμιο δίνει τη δυνατότητα στους αναγνώστες να αποκτήσουν αντίγραφα κάποιων έργων μέσω του Amazon με την υπηρεσία Print On Demand.

Σχόλια : Leave a Comment »
Ετικέτες: Cornell, Historical Math Monographs
Kατηγορίες : Γενικά και Αόριστα

Η τάξη ανάποδα (flipped clasroom)

13 03 2014

εικόνα: AJC1

Οι Lage, Platt και Treglia (2000) στην προσπάθειά τους να σχεδιάσουν ένα μάθημα Μικροοικονομίας στο Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι που να απευθύνεται σε φοιτητές όλων των μαθησιακών στιλ, καταφεύγουν στη χρήση πολυμέσων και αντιστρέφουν τη διδασκαλία τους. Αυτό σημαίνει ότι οι ενέργειες που παραδοσιακά λάμβαναν χώρα εντός της τάξης μετατέθηκαν εκτός και το αντίστροφο. Για παράδειγμα, η διάλεξη με την οποία παραδοσιακά ξεκινούσαν όλα τα μαθήματα δε γινόταν πλέον στην τάξη ή στο αμφιθέατρο, αλλά στο σπίτι ή στο εργαστήριο Η/Υ. Οι φοιτητές πριν από κάθε μάθημα καλούνταν να χρησιμοποιήσουν το διαδίκτυο, να παρακολουθήσουν βιντεοσκοπημένες διαλέξεις ή παρουσιάσεις powerpoint εμπλουτισμένες με ήχο. Τη θέση της διάλεξης κατά την ώρα του μαθήματος πήρε μία ολιγόλεπτη συνεδρία ερωτήσεων και απαντήσεων πάνω σε θέματα που οι φοιτητές είχαν ήδη παρακολουθήσει. Σε περίπτωση που οι φοιτητές δεν είχαν να θέσουν καμία ερώτηση, δεν αφιερώνονταν καθόλου χρόνος στη διάλεξη. Το μάθημα περνούσε αμέσως στη φάση των δραστηριοτήτων. Αυτές ήταν είτε οικονομικά πειράματα, είτε εργαστήρια στα οποία οι φοιτητές θα δούλευαν στην πράξη τις θεωρητικές έννοιες με τις οποίες είχαν έρθει σε επαφή πριν την ώρα του μαθήματος. Στο τέλος, οι φοιτητές χωρισμένοι σε μικρές ομάδες έδιναν τις απαντήσεις τους σε ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης που είχαν σχεδιαστεί από τους διδάσκοντες, τις οποίες τελικά παρουσίαζαν στο σύνολο των φοιτητών.

Η αλήθεια είναι ότι τα ευρήματα των Lage, Platt και Treglia από την αντιστροφή της διδασκαλίας τους ήταν μάλλον γενικά και αόριστα, ή για να το θέσω καλύτερα μη μετρήσιμα. Οι φοιτητές δήλωσαν ότι ήταν ευχαριστημένοι από τον τρόπο που διδάχθηκε το μάθημα και ότι θα ήθελαν να παρακολουθήσουν κι άλλα μαθήματα των οποίων η διδασκαλία θα βασιζόταν σε αυτό το εκπαιδευτικό παράδειγμα. Επιπροσθέτως, οι συγγραφείς έκαναν την υπόθεση ότι η αντεστραμμένη διδασκαλία θα μπορούσε να προσελκύσει περισσότερες φοιτήτριες στις σπουδές Οικονομικών, μιας που ήταν πολύ λιγότερες σε σχέση με τους άνδρες συναδέλφους τους.

Βέβαια, ο σχεδιασμός της διδασκαλίας, πέρα από την ανάγκη εξυπηρέτησης διάφορων μαθησιακών στιλ, αντλεί το θεωρητικό του υπόβαθρό από μία ή περισσότερες θεωρίες μάθησης. Η Alison King (1993) στο σημαίνον άρθρο της From Sage on the Stage to Guide on the Side (ελληνιστί: από σοφός επί σκηνής, οδηγός στο πλάι) συνδέει την κονστρουκτιβιστική θεώρηση με την αλλαγή στο ρόλο του εκπαιδευτικού από αυτόν που παρέχει τη γνώση σε αυτόν που δημιουργεί το κατάλληλο περιβάλλον ώστε οι μαθητές να ενεργήσουν με τη βοήθεια της νέας γνώσης, να αλληλεπιδράσουν με αυτή, να χειριστούν τις καινούριες ιδέες και να τις διασυνδέσουν με αυτές που έχουν ήδη. Ο ρόλος των μαθητών αλλάζει επίσης. Από τη νοητικά μη ενεργητική διαδικασία της συγγραφής σημειώσεων, ο μαθητής παίρνει το ρόλο του μαραγκού, ή του γλύπτη όπως χαρακτηριστικά αναφέρει η King,

που χρησιμοποιεί τη νέα πληροφορία και παλιότερες γνώσεις και εμπειρίες, μαζί με παλαιότερα αποκτηθέντα γνωστικά εργαλεία (όπως στρατηγικές μάθησης, αλγορίθμους και κριτική σκέψη) για να χτίσει καινούριες γνωστικές δομές και να αναδιατάξει την προϋπάρχουσα γνώση (σελ. 30).

Ο Eric Mazur, καθηγητής Φυσικής στο Harvard, που ανέπτυξε τη «διδασκαλία μεταξύ ομότιμων» (peer instruction) ισχυροποιεί αυτή τη διασύνδεση ανάμεσα στην αντίστροφη διδασκαλία και την κονστρουκτιβιστική θεώρηση, μεταθέτοντας τη διάλεξη εκτός τάξης και την εξάσκηση ή/και την επίλυση προβλημάτων εντός. Η διδασκαλία του ακολουθεί τα παρακάτω 7 βήματα:

Ο εκπαιδευτικός θέτει ερωτήματα με βάση τις απαντήσεις των μαθητών στην εργασία που τους ανατέθηκε πριν το μάθημα.
Οι μαθητές στοχάζονται επί των ερωτημάτων.
Οι μαθητές επεξεργάζονται τις προσωπικές τους απαντήσεις.
Ο εκπαιδευτικός εξετάζει τις απαντήσεις των μαθητών.
Οι μαθητές ανταλλάσσουν αναμεταξύ τους απόψεις, ιδέες και τις απαντήσεις τους.
Οι μαθητές επεξεργάζονται εκ νέου τις απαντήσεις τους.
Ο εκπαιδευτικός επανεξετάζει τις καινούριες απαντήσεις και αξιολογεί εάν χρειάζονται περαιτέρω εξηγήσεις προτού προχωρήσει στην επόμενη έννοια.

από τη Wikipedia

Δείτε σχετικά τις παρακάτω σημειώσεις από τη διάλεξη του Eric Mazur Βοηθώντας τους μαθητές να μάθουν: η τάξη ανάποδα και η διδασκαλία μεταξύ ομότιμων.

sketchnotes by Derek Bruff

Τι γίνεται όμως με τα αποτελέσματα; Έχουμε στοιχεία που να αποδεικνύουν ότι αυτή η μέθοδος βελτιώνει τις επιδόσεις των μαθητών; Ο Anant Agarwal, καθηγητής της επιστήμης των υπολογιστών στο ΜΙΤ, στην ομιλία του στο TED με θέμα Why massive open online courses (still) matter (ελληνιστί: γιατί τα ανοιχτά μαζικά διαδικτυακά μαθήματα (ακόμα) μας ενδιαφέρουν) αποκαλύπτει ένα πρώιμο, αλλά εκπληκτικό στοιχείο. Οι φοιτητές του πανεπιστημίου San Jose της Καλιφόρνια παραδοσιακά παρουσίαζαν ένα ποσοστό αποτυχίας της τάξης του 40-41% σε ένα συγκεκριμένο μάθημα ηλεκτρονικών. Μετά την αντιστροφή της διδασκαλίας του μαθήματος και την υιοθέτηση ενός υβριδικού μοντέλου μάθησης, το ποσοστό αποτυχίας έπεσε σε 9%. Δείτε το βίντεο παρακάτω:

Αν αποφασίσετε κι εσείς να δουλέψετε «ανάποδα», θα χρειαστεί να εξοπλιστείτε κατάλληλα ώστε να κατασκευάσετε τα δικά σας βίντεο-μαθήματα αλλά και να χρησιμοποιήσετε κατάλληλο λογισμικό για να κατασκευάσετε online υλικό υβριδικής μάθησης, όπως για παράδειγμα το eXe.

Αναφορές

King, A. 1993. From Sage on the Stage to Guide on the Side. College Teaching. 41(1), pp.30-35.
Lage, M. J. et al. 2000. Inverting the Classroom: A Gateway to Creating an Inclusive Learning Environment. Journal of Economic Education. 31(1), pp.30-43.

Σχόλια : 1 Comment »
Ετικέτες: flipped classroom, τάξη ανάποδα, αντίστροφη διδασκαλία
Kατηγορίες : Εκπαίδευση & Τεχνολογία

Πώς να φτιάξεις το δικό σου βίντεο-μάθημα

16 02 2014

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς μπορείτε να φτιάξετε τα δικά σας εκπαιδευτικά βίντεο σε στυλ Khan Academy με το μικρότερο δυνατό κόστος και κόπο. Θα δούμε τι χρειάζεστε σε hardware και software ώστε να ολοκληρώσετε τη διαδικασία. Ας ξεκινήσουμε με το hardware που θα χρειαστείτε.

Hardware

Pen Tablet
Το πιο σημαντικό περιφερειακό που θα χρειαστείτε είναι ένα pen tablet. Το pen tablet απαρτίζεται από μία επιφάνεια και μία γραφίδα. Η γραφίδα ουσιαστικά αντικαθιστά το ποντίκι σας. Για να κινήσετε το δείκτη στην οθόνη σας χρειάζεται να κρατάτε τη γραφίδα μερικά χιλιοστά πιο πάνω από την επιφάνεια, ενώ όταν ακουμπάτε τη γραφίδα στην επιφάνεια είναι σα να έχετε πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού σας. Για να κάνετε «δεξί κλικ» με τη γραφίδα σας, μπορείτε να προγραμματίσετε αντίστοιχα το κουμπάκι που βρίσκεται πάνω στη γραφίδα. Τα πιο ακριβά pen tablet είναι εφοδιασμένα με κουμπιά που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια, των οποίων τη λειτουργία μπορείτε εσείς να καθορίσετε. Έκανα μία μικρή έρευνα αγοράς και διαπίστωσα αμέσως ότι οι τιμές στα ελληνικά καταστήματα είναι εξωφρενικές. Αν θέλετε λοιπόν να αγοράσετε ένα pen tablet κοιτάξτε online καταστήματα του εξωτερικού. Στο βρετανικό site του amazon μπορείτε να βρείτε pen graphics tablets από £19,90 δηλαδή περίπου 24,50€.

Μικρόφωνο
Τα περισσότερα laptop είναι βέβαια εφοδιασμένα με μικρόφωνο, καθώς επίσης και η συντριπτική πλειοψηφία των webcams. Η επικοινωνία μέσω υπολογιστή με εργαλεία όπως το skype ή το ooVoo καθιστά το μικρόφωνο ένα απαραίτητο περιφερειακό. Τέτοια μικρόφωνα όμως είναι μάλλον ακατάλληλα για ηχογραφήσεις. Σκεφτείτε για παράδειγμα το μικρόφωνο του σταθερού σας τηλεφώνου· είναι υπεραρκετό για να μάθετε τα νέα της φίλης σας, αλλά σε καμία περίπτωση δε θα το χρησιμοποιούσατε για να ηχογραφήσετε το stairway to heaven! Επιπροσθέτως, ένα βίντεο με κακό ήχο είναι πολύ πιθανό να απωθήσει τους υποψήφιους θεατές του. Παίρνω για παράδειγμα τον εαυτό μου· κλείνω σχεδόν ενστικτωδώς όσα βιντεάκια δεν έχουν καλό ήχο στο youtube. Μήπως κάνετε κι εσείς το ίδιο; Αν είστε λοιπόν διατεθειμένοι να διαθέσετε περίπου 38€ για ένα usb μικρόφωνο (οι τιμές σε ελληνικά καταστήματα παραμένουν γελοίες), θα καταφέρετε να ηχογραφήσετε τη φωνή σας με εξαιρετική πιστότητα.

Software

Ψηφιακό «τετράδιο»
Αφού εγκαταστήσετε τους driver για το pen tablet σας, θα χρειαστείτε το κατάλληλο λογισμικό για να μπορέσετε να το χρησιμοποιήσετε. Τα περισσότερα pen tablets πωλούνται με ειδικό σχεδιαστικό λογισμικό, που θα σας επιτρέψει να μεταφέρετε στην οθόνη του υπολογιστή σας ό,τι σχεδιάζετε με τη γραφίδα. Αν αποφασίσετε να μη χρησιμοποιήσετε το λογισμικό που αγοράσατε με την ταμπλέτα σας, τότε υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις για όλα τα συστήματα. Για παράδειγμα, αν δουλεύετε σε windows μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το windows journal, σε ubuntu το jscribble και σε Mac OS το SketchBook Express. Να σημειώσω ότι συνήθως αυτό το λογισμικό επιτρέπει στο χρήστη να εισάγει και εικόνες, οπότε μπορείτε με ευκολία να κάνετε σχήματα ή γραφικές παραστάσεις στη GeoGebra, να τις εξάγετε ως png κι έπειτα να τις εισάγετε στο ψηφιακό σας σημειωματάριο. Μάλιστα, μπορείτε να σημειώνετε ακόμα και πάνω στην εικόνα που έχετε εισάγει. Δείτε, για παράδειγμα, την παρακάτω εικόνα στην οποία έχω εισάγει ένα σχήμα φτιαγμένο στη GeoGebra κι έπειτα έχω σημειώσει επάνω:

scribble

Screencast software
Με τον όρο screencast software περιγράφουμε το λογισμικό που έχει τη δυνατότητα να βιντεοσκοπεί όσα συμβαίνουν στην οθόνη του υπολογιστή σας. Σε αυτήν τη σελίδα της wikipedia μπορείτε να βρείτε μία αναλυτική σύγκριση 34 προγραμμάτων ως προς την άδεια χρήσης, το σύστημα στο οποίο τρέχουν, το φορμά των αρχείων που εξάγουν και άλλα. Το λογισμικό που χρησιμοποιώ εγώ προσωπικά και δε συμπεριλαμβάνεται στην προηγούμενη λίστα, είναι το screencast-o-matic. Αν επισκεφθείτε το site κάνοντας κλικ στον υπερσύνδεσμο, μπορείτε να ξεκινήσετε να βιντεοσκοπείτε την οθόνη του υπολογιστή σας σχεδόν αμέσως, πατώντας το κουμπί «Start recording». Το screencast-o-matic είναι ένα πολύ απλό εργαλείο που δε χρειάζεται να εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας, παρόλο που μπορείτε να το κάνετε αν θέλετε. Η δωρεάν έκδοση παρέχει μόνο βασικές λειτουργίες, όπως παύση της βιντεοσκόπησης, εξαγωγή σε avi, mp4 ή flv καθώς και απευθείας μεταφόρτωση στο κανάλι σας στο youtube σε HD. Βέβαια, η τελευταία δυνατότητα δε δούλεψε ποτέ, όσες φορές κι αν προσπάθησα να εισάγω τα στοιχεία του λογαριασμού μου στο youtube μέσω του screencast-o-matic, γι’ αυτό πάντα αποθηκεύω τοπικά τα βίντεο που φτιάχνω κι έπειτα τα ανεβάζω στο youtube. Σημειώστε επίσης ότι η δωρεάν έκδοση παράγει ένα διακριτικό υδατογράφημα στο τελικό βίντεο. Αφού φορτώσετε το screencast-o-matic, καθορίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που θέλετε να βιντεοσκοπήσετε, επιλέξτε αν θέλετε η εγγραφή να συλλαμβάνει ήχο ή όχι και πατήστε το κόκκινο κουμπάκι. Σε 3 – 2 – 1 γράφετε! Εδώ μπορείτε να βρείτε πολλά βίντεο που θα σας βοηθήσουν στα πρώτα σας βήματα με το screencast-o-matic, βέβαια πολλές από τις λειτουργίες που αναφέρονται εδώ αφορούν στην έκδοση pro του λογισμικού, η οποία κοστίζει $15 το χρόνο, δηλαδή περίπου 11€.

Μπορείτε να δείτε κάποια από τα βίντεο-μαθήματα που έχω φτιάξει κατά καιρούς στο προσωπικό μου κανάλι στο youtube. Αν βρήκατε χρήσιμο το άρθρο και πρόκειται να φτιάξετε τα δικά σας βίντεο-μαθήματα, αφήστε ένα σχόλιο με τις παρατηρήσεις σας ή/και τα link για τα δικά σας βίντεο.

Σχόλια : 6 Σχόλια »
Ετικέτες: βίντεο-μαθήματα
Kατηγορίες : Εκπαιδευτικά εργαλεία

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Κοινοποιήστε:

Hardware

Software

Κοινοποιήστε:

Σύνδεσμοι