Στη δίνη ενός κόλουρου

14 07 2022

Σπανίως μία παράγραφος μ’ έχει βάλει σε τόσους μπελάδες όσους αυτή που ακολουθεί, που βρίσκεται στην 143η σελίδα του σημαίνοντος βιβλίου Πώς να το λύσω του György Pólya:

[…] θεωρούμε έναν ορθό κυκλικό κόλουρο κώνο. Καλούμε
R την ακτίνα της κάτω βάσης,
r την ακτίνα της πάνω βάσης,
h το ύψος του κόλουρου,
S την παράπλευρη επιφάνεια του κόλουρου κώνου.
Αν δίνονται τα R, r, h τότε το S προφανώς παραδιορίζεται. Βρίσκουμε την έκφραση

$S=\pi (R+r) \sqrt{(R-r)^2}+h^2$

Το πρώτο θέμα που ανέκυψε είναι γλωσσολογικής φύσεως. Ομολογώ πως συνειδητοποίησα ότι χρησιμοποιείται το ρήμα παραδιορίζεται και όχι προσδιορίζεται -όπως θα περίμενε κανείς- προτού δοθεί ο τύπος που συνδέει τα τέσσερα μεγέθη, μόλις την τέταρτη φορά που διάβασα την παράγραφο. Τις τρεις προηγούμενες διάβαζα προσδιορίζεται χωρίς την παραμικρή υποψία πως αυτό που διάβαζα δεν ήταν αυτό που έβλεπα. Ίδε ένα μάθημα ζωής που χωρά ολόκληρο σε μια σελίδα! Σε πλείστες όσες περιστάσεις όσα «διαβάζουμε» δεν είναι σε καμία περίπτωση αυτά που «βλέπουμε». Η μεροληψία, οι ιδεολογικές πεποιθήσεις και το κοινωνικοοικονομικό μας υπόβαθρο στρεβλώνουν ανεπανόρθωτα την αντίληψή μας για τον κόσμο. Εξάλλου, όπως μ’ αρέσει να λέω, αλήθεια δεν είναι παρά το χρονικά διυλισμένο μετείκασμα του γεγονότος. Συνειρμικά μου έρχεται στο νου το μεγαλειώδες φιλμ Ρασομόν του Ακίρα Κουροσάβα, στο οποίο δίνονται από τέσσερα πρόσωπα ισάριθμες αντικρουόμενες εξιστορήσεις του ίδιου γεγονότος. Αφήνοντας όμως κατά μέρος τους συνειρμούς, επανέρχομαι στο ρήμα παραδιορίζομαι, που δεν το ήξερα. Έκανα, λοιπόν, μία έρευνα στο διαδίκτυο για να εντοπίσω τη σημασία του. Το μόνο σχετικό αποτέλεσμα που εμφάνισε η μηχανή αναζήτησης αφορούσε τον παραδιορισμό, που αποτελεί ένα είδος επιρρηματικού προσδιορισμού, ο οποίος δεν είναι μέρος του κατηγορήματος και μπορεί να είναι διαθεσιακός, μεταγλωσσικός κλπ. Υποψιάζομαι, λοιπόν, πως ο δαίμων του τυπογραφείου εμφιλοχώρησε στη σελίδα, μετατρέποντας τον προσδιορισμό σε παραδιορισμό. Θεώρησα το πρώτο θέμα, λήξαν.

Το δεύτερο ζήτημα αφορούσε την έκφραση του εμβαδού S της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου. Πριν πω οτιδήποτε άλλο, οφείλω να προειδοποιήσω τον αναγνώστη πως η συγκεκριμένη έκφραση είναι λανθασμένη. Απ’ ό,τι φαίνεται, ο δαίμων χτύπησε δις σε δύο σειρές του κειμένου. Αυτό, ωστόσο, δεν το ήξερα όταν διάβαζα για πρώτη φορά την παράγραφο. Ακόμη κι αν στο παρελθόν είχα συναντήσει σε κάποιο εγχειρίδιο τον τύπο που εκφράζει το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου, δεν τον θυμόμουν. Η επιθυμία να κατασκευάσω (δεν είπα «να ανακαλύψω», οπότε μάλλον καταλαβαίνει κανείς την αριστοτελική μου προδιάθεση) τον τύπο μού γεννήθηκε αυτοστιγμεί. Βέβαια, λίγες σελίδες παρακάτω δίνεται η ορθή μορφή της έκφρασης, κάτι που οπωσδήποτε επιτείνει την επιθυμία και την καθιστά αδήριτη ανάγκη, αφού ο εντοπισμός της μίας και μοναδικής ορθής έκφρασης είναι πλέον απαραίτητος. Παρεμπιπτόντως, το εν λόγω παράδειγμα δίνεται στην παράγραφο με τίτλο Έλεγχος με κριτήριο τη διάσταση, τον οποίο έλεγχο περνάει ακόμη και η λανθασμένη μορφή, μιας που οι διαστάσεις (μονάδες μέτρησης των εμπλεκόμενων μεγεθών) στα δύο μέλη της ισότητας συνάδουν: $\textrm{cm}^2=1 \cdot \textrm{cm} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2}+\textrm{cm}^2$ .

Αρχικά υπολόγισα το εμβαδόν με τη βοήθεια κατάλληλου ολοκληρώματος, μιας που ο κόλουρος κώνος είναι επιφάνεια εκ περιστροφής (θα αναφερθώ παρακάτω σε αυτήν τη μέθοδο), αφού ξύπνησα όμως την επομένη από έναν βαθύ μεσημεριανό ύπνο, μια γεωμετρική λύση με επισκέφτηκε αμέσως μόλις άνοιξα τα μάτια μου. Τέτοιες στιγμές, όταν αποτελέσματα αναδύονται αίφνης ενώ έχω πάψει να ασχολούμαι με το πρόβλημα καθαυτό, μου έρχεται στο μυαλό το ιδιότυπο βιβλίο του Robert Pirsig Το Ζεν και η τέχνη της συντήρησης της μοτοσυκλέτας. Σε αυτό διάβασα για τη συνήθεια του Poincaré να μην ασχολείται με οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα για περισσότερες από δύο ώρες. Βλέπετε, είχε την πεποίθηση πως ο νους ασχολείται υποσυνείδητα με τα προβλήματα που του θέτουμε, κι αφού τα επεξεργαστεί επαρκώς, σε ανύποπτο χρόνο, παρουσιάζει τα αποτελέσματά του εν είδει αποκαλύψεως. Βέβαια, καλό είναι να μην ξεχνούμε πως ο Poincaré ήταν μεγαλοφυής. Ειρήσθω εν παρόδω, ο Pirsig αναφέρεται στη συνήθεια του Poincaré προκειμένου να βοηθήσει στην προοικονομία του έργου του. Αργότερα, αφήνει ανοικτά κάποια πολύ σημαντικά ερωτήματα αισθητικής φύσεως, αναφορικά με τη μεταφυσική της ποιότητας, στα οποία όλως παραδόξως βρήκα πολύ πειστικές απαντήσεις στο βιβλίο του John Dewey Δημοκρατία και Εκπαίδευση· το πιο σημαντικό βιβλίο για την εκπαίδευση που έχω διαβάσει εισέτι. Το γεγονός ότι το βιβλίο του Dewey εκδόθηκε πενήντα οκτώ χρόνια πριν από αυτό του Pirsig, φανερώνει είτε ότι ο Pirsig δεν είχε διαβάσει τον Dewey, είτε ότι δεν βρήκε τόσο πειστικά τα επιχειρήματά του όσο τα βρήκα εγώ.

Η γεωμετρική λύση, λοιπόν, είναι απλούστατη εάν ανάγει κανείς τον υπολογισμό της επιφάνειας του κόλουρου κώνου σε ένα απλούστερο πρόβλημα, αυτό του υπολογισμού της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου. Το παρακάτω σχήμα επεξηγεί γιατί η παράπλευρη επιφάνεια ενός κόλουρου κώνου ισούται με τη διαφορά των επιφανειών δύο κώνων.

Οπότε, έχουμε ένα σημείο εκκίνησης. Πρωτίστως πρέπει να υπολογίσουμε την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, με δεδομένα την ακτίνα ρ της βάσης του και το ύψος του υ. Το ανάπτυγμα μίας τέτοιας επιφάνειας είναι ένας κυκλικός τομέας με ακτίνα ίση με την ακμή λ του κώνου και μήκος ίσο με την περίμετρο της κυκλικής βάσης. Αυτό προκύπτει αν αναλογιστεί κανείς πως η κορυφή του ορθού κώνου απέχει από κάθε σημείο της περιμέτρου της βάσης απόσταση ίση με την ακμή λ του κώνου.

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ακτίνας λ και γωνίας α rad είναι

$\frac{1}{2}\alpha \lambda ^2$ .

Μένει να εκφράσουμε τη γωνία α και την ακμή λ του κώνου με τη βοήθεια της ακτίνας και του ύψους του. Το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το ύψος του κώνου, την ακτίνα της βάσης και την ακμή του, δίνει:

$\lambda ^2= \rho ^2 + \upsilon ^2$ .

Η γωνία α προκειμένου να υπολογιστεί, πρέπει να παρατηρήσουμε πως το μήκος του αντίστοιχου τόξου της είναι στην ουσία η περίμετρος της κυκλικής βάσης του κώνου, άρα:

$\alpha \lambda = 2 \pi \rho$ ,

απ’ όπου προκύπτει

$\alpha = \frac{2 \pi \rho}{\sqrt{\rho ^2 + \upsilon ^2}}$ .

Είμαστε έτοιμοι να δώσουμε έναν τύπο για την παράπλευρη επιφάνεια E του κώνου

$E=\frac{1}{2} \frac{2 \pi \rho}{\sqrt{\rho ^2 + \upsilon ^2}}(\rho ^2 + \upsilon ^2)=\pi \rho \sqrt{\rho ^2 +\upsilon ^2}$ .

Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα προκειμένου να αφαιρέσουμε τις κατάλληλες επιφάνειες, ώστε να προκύψει αυτή του κόλουρου κώνου.

Το μοναδικό πρόβλημα είναι πως το ύψος x του μικρού κώνου, δεν έχει ακόμη εκφραστεί με τη βοήθεια των δοσμένων μεγεθών R, r και h. Η συμβουλή που δίνω στους μαθητές της Γ Λυκείου όταν λύνουν γεωμετρικά προβλήματα είναι: να αναζητάτε όμοια τρίγωνα. Εδώ έχουμε δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα, αυτά που σχηματίζονται από τα ύψη των δύο κώνων και τις ακτίνες των βάσεών τους. Οπότε προκύπτει η αναλογία:

$\frac{x}{r}=\frac{x+h}{R}$ ,

απ’ όπου παίρνουμε ότι

$x=\frac{hr}{R-r}$ .

Ονομάζουμε Ε₁ το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του μεγάλου κώνου και Ε₂ αυτό του μικρού. Η επιφάνεια S του κόλουρου κώνου είναι S = E₁ – E₂, με

$E_1=\pi R \sqrt{R^2+ (x+h)^2}$ και $E_2=\pi r \sqrt{r^2 + x^2}$ ,

δηλαδή:

$S=\pi R \sqrt{R^2 + \left( \frac{hr}{R-r} + h \right)^2} - \pi r \sqrt{r^2 + \left( \frac{hr}{R-r} \right)^2}$ .

Έκανα τις πράξεις σε μια χαρτοπετσέτα.

Έτοιμη η έκφραση! Το εμβαδόν S της παράπλευρης επιφάνειας κόλουρου κώνου με ακτίνες βάσεων R, r και ύψος h, είναι:

$S=\pi (R+r) \sqrt{(R-r)^2+h^2}$

Ας προσπαθήσουμε τώρα να καταλήξουμε στην έκφραση με τη χρήση ολοκληρωτικού λογισμού. Η επιφάνεια από περιστροφή γύρω από τον άξονα x, όπως είναι ο κόλουρος κώνος του παρακάτω σχήματος, είναι γνωστό από το Λογισμό μίας μεταβλητής πως έχει εμβαδό

$S=2 \pi \int_a^b{|\textrm{f}(x)| \sqrt{1+[\textrm{f}\,'(x)]^2}\, \textrm{d}x}$ .

Για μία απόδειξη αυτού του τύπου μπορείτε να ανατρέξετε στην παράγραφο 7.4 Εμβαδόν μιας επιφάνειας του εξαιρετικού εγχειριδίου Διανυσματικός Λογισμός των Jerold Marsden και Antony Tromba.

Αν τώρα λάβουμε υπόψη πως η συνάρτηση με γραφική παράσταση την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (0,r) και (h,R) είναι η

$\textrm{f}(x)=\frac{R-r}{h} x + r$ ,

παίρνουμε:

$S=2\pi \int_0^h{\left( \frac{R-r}{h} x+r \right) \sqrt{1+ \left( \frac{R-r}{h} \right)^2} \, \textrm{d}x}$

Προκύπτει:

$S=2 \pi \sqrt{\frac{(R-r)^2+h^2}{h^2}} \left[ \frac{R-r}{h} \cdot \frac{x^2}{2}+rx \right]_0^h$

Δηλαδή:

$S=2 \pi \sqrt{\frac{(R-r)^2+h^2}{h^2}} \left[ \frac{R-r}{h} \cdot \frac{h^2}{2}+rh \right]$

Λίγες πράξεις αργότερα, εμφανίζεται το ίδιο αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξαμε με τη χρήση Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Το εμβαδόν S της παράπλευρης επιφάνειας του κόλουρου κώνου δίνεται από την έκφραση:

$S=\pi (R+r) \sqrt{(R-r)^2+h^2}$ .

Αναφορές
Marsden, J. και Tromba, A. (2001) Διανυσματικός Λογισμός. 6η έκδοση. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Polya, G. (1998) Πώς να το λύσω. 2η έκδοση. Αθήνα: Εκδόσεις Καρδαμίτσα.
Ντιούϊ, Τ. (2016) Δημοκρατία και Εκπαίδευση. Αθήνα: Εκδόσεις Ηριδανός.
Πίρσιγκ, Ρ. (1994) Το Ζεν και η τέχνη της συντήρησης της μοτοσυκλέτας. Αθήνα: Εκδόσεις Κάκτος.

Ενέργειες

Information

Ημερομηνία : 14/07/2022
Ετικέτες: επιφάνεια, κόλουρος, κώνος
Kατηγορίες : Χωρίς κατηγορία

Μαθηματική Εκπαίδευση & Τεχνολογία