Ο δεσμώτης των προσομοιοτήτων

3 01 2018

Η δυνατότητα της εκπαίδευσης να καταστεί μια θετικότητα διανοίγεται τη στιγμή που η ίδια εκλαμβάνεται ως αναδιπλασιασμός της μάθησης. Όταν στο πεδίο της μάθησης συμπεριληφθεί ο ίδιος της ο εαυτός, δηλαδή όταν συγκλίνουμε στον ισχυρισμό ότι είναι δυνατό να μάθει κανείς πώς μαθαίνει, ακριβώς τότε μία δεύτερη διάσταση διαπλάθεται στο εκπαιδευτικό γίγνεσθαι που τέμνει κάθετα τον άξονα της εισέτι ιστορικής του εξέλιξης. Σε αυτή τη νέα διάσταση η σκοπιμότητα της εκπαιδευτικής πράξης αναθεωρείται, οι ρόλοι των εμπλεκομένων στην εκπαιδευτική διαδικασία επανεξετάζονται, η εκπαιδευτική ρητορική καθώς και η σχετική με την εκπαίδευση ρητορική αναδομείται ώστε να αντανακλά τις συντελούμενες αλλαγές· ακόμη και η πολιτική της εκπαίδευσης ανασκευάζεται στο πολύπλοκο πλαίσιο ιστορικώς καινοφανών αναγκαιοτήτων, όπως της δια βίου μάθησης που αναδύεται μετά την εφεύρεση του αναδιπλασιασμού – καταδεικνύοντας  βέβαια την οικονομική μόχλευση της εκπαίδευσης, αλλά που τόσο άκομψα φενακίζεται κατά τον παραλληλισμό της με την διηνεκή νοητική λειτουργία – ή της ειδικής αγωγής, που φαίνεται να αντλούν τη δυνατότητά τους από την ίδια τη θετικότητα της εκπαίδευσης, τη δυνατότητά της να αποτελεί ένα αυτόνομο (αυτόνομο όχι ως προς το σχετισμό του με άλλες επιστήμες, αλλά ως προς τη δυνατότητα κάποιου συγκερασμού θετικοτήτων που αποσκοπεί στη διατύπωση μιας νέας, οριοθετημένης θετικότητας) γνωστικό πεδίο.

Η εφεύρεση του αναδιπλασιασμού έχει συμβάλει καίρια στη διαμόρφωση της σύγχρονης σκέψης σχετικά με την εκπαίδευση, σηματοδοτώντας τη μετεξέλιξή της από ένα εξωτερικό γεγονός σε μια συμμετοχική διεργασία. Η εκπαίδευση δηλαδή θεωρείται πλέον ως μία διαδικασία, δεν αποτελεί πια ένα συμβάν. Υπό αυτό το πρίσμα, ο μαθητής εμπλέκεται ενεργά στην κατασκευή του γνωσιακού του οικοδομήματος. Ενώ, ο λειτουργικός χώρος στον οποίο κινείται ο εκπαιδευτικός μαθηματικός δεν εξαντλείται στην ιδιότητά του να αποτελεί μέλος της μαθηματικής κοινότητας, συνεπώς να αποτελεί τον καίριο επικυρωτή της επιστημονικής ορθότητας των προτάσεων, υποθέσεων, αποφάνσεων κλπ. που διατυπώνονται στην τάξη, αλλά μετεξελίσσεται σε αυτόν του ενορχηστρωτή μιας διαδικασίας. Συμπερασματικά, ισχυρίζομαι ότι ο εκπαιδευτικός μαθηματικός οφείλει να κατασκευάζει ένα μαθησιακό περιβάλλον συντονισμένο με τον αναδιπλασιασμό της μάθησης, υποστηρίζοντας τους μαθητές στην κατασκευή του προσωπικού τους μαθηματικού οικοδομήματος, επικυρώνοντας την επιστημονική ορθότητά του αλλά και πλαισιώνοντας τη διαδικασία σε συνάφεια με θετικότητες που καθιστούν και την ίδια την εκπαίδευση μία θετικότητα, όπως για παράδειγμα η νευροεπιστήμη, ή η γνωστική ψυχολογία.

Ενδεχομένως όλες αυτές οι διατυπώσεις να είναι περιττές ή αυτονόητες ως ένα βαθμό, αυτό όμως δε σημαίνει σε καμία περίπτωση ότι η καθημερινή πρακτική του εκπαιδευτικού είναι σύντονη με αυτές. Πέρα από τις όποιες πρακτικές δυσκολίες δεν επιτρέπουν στον εκπαιδευτικό να λειτουργήσει ως ενορχηστρωτής της μαθησιακής διαδικασίας, ή την ιδεοληψία των πολιτικών να ασχημονούν εις βάρος της εκπαίδευσης (πάντα θυμάμαι κάτι πολύ εύστοχο που είχα διαβάσει, ότι η εκπαίδευση είναι εξαιρετικά σημαντική για να την αφήσουμε στα χέρια των πολιτικών, υπό αυτό το πρίσμα γράφω εδώ όλες αυτές τις σκέψεις), εντοπίζω τρία είδη προσομοιοτήτων που επικαλούνται οι εκπαιδευτικοί και τείνουν να δυσχεραίνουν τη δυνατότητα της εκπαίδευσης να καταστεί μία θετικότητα η οποία δύναται να ενημερώσει την πρακτική και να αλλάξει την υφή και το ηχόχρωμα της τάξης των μαθηματικών.

Πρώτη, η προσομοιότητα ανάμεσα στην παραγωγή των μαθηματικών και τη διδασκαλία τους. Σύμφωνα με αυτήν την τοποθέτηση, μαθαίνει κανείς μαθηματικά αν έρθει σε επαφή με τον τρόπο που εργάζονται οι επαγγελματίες μαθηματικοί. Ο Papert έχει επινοήσει μια υπέροχη μεταφορά σχετικά με αυτήν την προσομοιότητα. Είχε γράψει πως ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαραγκός είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαραγκό στην πράξη της μαραγκοσύνης. Κατ’ αναλογία ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαθητής είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαθητή (σημ: τον ίδιο το δάσκαλο) στην πράξη της μάθησης. Η ένστασή μου είναι διττή. Από τη μία σκέφτομαι πως πράγματι, καλοί μαραγκοί γίνονται αυτοί που μαθητεύουν δίπλα σε καλούς μαραγκούς, αλλά ανάθεμα αν βγήκε ποτέ καλός μαραγκός παρακολουθώντας τον αρχιμάστορα να συναρμολογεί έπιπλα ΙΚΕΑ. Κάπως έτσι νιώθω για τους δασκάλους των μαθηματικών στη χώρα μας. Ανοίγουμε τα τόσο άτσαλα συρραμμένα αλμανάκ μαθηματικών γνώσεων που αποκαλούμε εγχειρίδια και συμβουλευόμενοι το φύλλο οδηγιών, αυτούς τους τσελεμεντέδες επίλυσης ασκήσεων που αποκαλούμε βοηθήματα, συναρμολογούμε επιλύοντας ασκήσεις. Όποιος καταφέρει να συναρμολογήσει τα πιο περίπλοκα τραπεζάκια του καφέ είναι ο καλύτερος δάσκαλος. Ο πιο επιδέξιος συναρμολογητής! Αναρωτιέμαι αν τελικά θέλω να είμαι συναρμολογητής ή δάσκαλος, μιας που διατηρώ τις επιφυλάξεις μου ως προς το πόσο ή εάν η επίλυση ασκήσεων όπως γίνεται στο ελληνικό σχολείο διατηρεί κάποια σχέση αναλογίας με τη δραστηριότητα των επαγγελματιών μαθηματικών. Από την άλλη, η ίδια η διαδικασία παραγωγής μαθηματικών είναι απογυμνωμένη, ως επί το πλείστον, από τη συνιστώσα του μαθητή. Αν τελικά η εκπαίδευση των μαθηματικών αντιστοιχούσε στην τήρηση μιας αυστηρής αναλογίας ανάμεσα στην παραγωγή και τη μάθηση, η αναγωγή της εκπαίδευσης σε μία θετικότητα θα ήταν μάταιη ή παράδοξη. Όλος ο διάλογος γύρω από τη διδακτική θα ήταν ένα σύνολο αφόρητων αδολεσχιών (μένει λοιπόν να αποδειχθεί ότι δεν είναι). Επιπροσθέτως, θα μπορούσε να ισχυριστεί κανείς ότι οι πιο δεινοί μαθηματικοί θα ήταν αυτομάτως και οι καλύτεροι δάσκαλοι, κάτι που είναι καταφανώς άτοπο.

Η δεύτερη προσομοιότητα, που εντοπίζεται ανάμεσα στη μαθηματική αφήγηση και τη διδασκαλία, έχει βαθιές ρίζες που διατρέχουν την καταγεγραμμένη ιστορία μέχρι τη στιγμή που διαφαίνεται η δυνατότητα των ίδιων των μαθηματικών να αποτελέσουν μία θετικότητα. Η ιδέα εδώ είναι ότι η διδασκαλία οφείλει να ακολουθεί το φορμαλισμό των μαθηματικών κειμένων και ότι μόνο μία τέτοια προσομοιότητα χρήζει ή δύναται να εξασφαλίσει την επιστημονικότητα της διδασκαλίας. Υποθέτω πως αυτή η βαθιά ριζωμένη πεποίθηση μας ανοσοποιεί απέναντι στη στείρα παρουσίαση εννοιών, ορισμών, θεωρημάτων, πορισμάτων, λυμένων παραδειγμάτων – κατ’ αυτή τη σειρά – καθώς απογυμνώνεται το πραγματευόμενο αντικείμενο από την ιστορική του εξέλιξη, το συγκείμενο της αρχικής του ανάδυσης ως άξιο μελέτης, ή τη συνάφεια με άλλα πολιτισμικά ή τεχνολογικά τεχνουργήματα. Μία τέτοια προσέγγιση καθιστά τα μαθηματικά, τουλάχιστον στα μάτια της πλειονότητας των μαθητών, ένα βασανιστικά εξωπραγματικό σύνολο σχεδόν απροσπέλαστης γνώσης. Ταυτοχρονικά, η διδασκαλία των μαθηματικών ολισθαίνει σε ένα στείρο ωφελιμισμό, ο οποίος έρχεται σε πλήρη αντίφαση με την επίκτητη αυτοαναφορικότητά της.

Η τρίτη προσομοιότητα ανάμεσα στο αναμνησιακό φορτίο του δασκάλου και τη διδασκαλία έχει διττή φύση. Αφορά αφενός την αναστροφή κάποιας επιτυχημένης μαθησιακής τακτικής του ίδιου του δασκάλου σε μία, νοούμενη ως αυτοδίκαια επιτυχημένη, διδακτική τακτική. Αφετέρου, αναφέρεται στη μιμητική που αντλεί διδακτικά παραδείγματα από το αναμνησιακό φορτίο του δασκάλου το οποίο δομήθηκε την περίοδο που ο ίδιος ήταν μαθητής. Ισχυρίζομαι λοιπόν, ότι οφείλουμε να διαχειριζόμαστε το αναμνησιακό φορτίο του δασκάλου ως μια ακατέργαστη επιστημονική υπόθεση που ενοικεί στο χώρο κάποιας διδασκαλίας, ή μιας διδακτικής, ή ακόμα και της παιδαγωγικής. Είναι πραγματικά δύσκολο – αφού φαίνεται να αντιβαίνει στη βαθιά ριζωμένη εξελικτική μας παρόρμηση να επαναλαμβάνουμε τις διαδικασίες που έχουμε ακολουθήσει ώστε να ολοκληρώσουμε μία ενέργεια που έχει καταγραφεί ως επιτυχής στο νευρωνικό μας δίκτυο – και απαιτεί τη συνεχή επαγρύπνηση του εκπαιδευτικού να το απορρίπτει αυτοστιγμεί όταν απειλεί να γενικευθεί σε μια καθολική θετικότητα, χωρίς καμία παιδαγωγική εξέταση. Συνεπώς, αφού πρωτίστως αναλυθεί και διατυπωθεί ως υπόθεση, οφείλει να ελεγχθεί· μόνον τότε θα μπορούσε να της αποδοθεί το πρόσημο μιας αξιολογικής κρίσης. Όταν εντοπισθούν οι δυνάμεις και οι αδυναμίες της, αποτυπωθούν οι εξαιρέσεις της, στο μέτρο του δυνατού ποσοτικοποιηθούν οι παράμετροί της, αναλυθεί το εκπαιδευτικό της αποτύπωμα (και όλο αυτό το επιστημονικό πρόγραμμα βέβαια, δεν μπορεί παρά να υλοποιηθεί στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής πράξης), μόνο τότε θα είμαστε σε θέση να τη μετατοπίσουμε δικαιωματικά από την προσωπική σφαίρα ενός νομοτελειακά φθαρμένου αναμνησιακού στον τόπο που τέμνονται η προσωπική και η κοινή μαθησιακή διαδικασία, στον κοινό τόπο της τάξης.

Η παραπάνω ομαδοποίηση είναι προϊόν μιας κάποιας ανασκόπησης που έγινε σε διαλόγους που διεξήχθησαν στο διαδίκτυο ή εκ του σύνεγγυς και κοινό παρονομαστή είχαν την αλλαγή στην εκπαιδευτική πρακτική. Οι εκπαιδευτικοί τείνουν να ανασκαλεύουν την επιχειρηματολογική τους φαρέτρα ώστε να αρθρώσουν ένα λόγο που να θεμελιώνεται στις φιλοσοφικές, παιδαγωγικές και επιστημονικές (ή επιστημονίζουσες) πεποιθήσεις τους κάθε φορά που επιθυμούν είτε να επικυρώσουν, είτε να αντιταχθούν της αλλαγής. Κάτι τέτοιο είναι ενδεικτικό των ισχυρών αντικρουόμενων δυνάμεων που συνοδεύουν οποιαδήποτε προτεινόμενη μεταστροφή στην εκπαιδευτική πρακτική. Εδώ λοιπόν, προσπαθώ να σημειώσω πώς θεμελιώνονται οι δυνάμεις που πρόσκεινται της συντήρησης ενός μοντέλου που, κατά την άποψή μου, έχει πλέον αποδειχθεί ανεπιτυχές.

Εν κατακλείδι, θέλω να εξηγήσω πως είναι βαθιά μου πεποίθηση ότι αν καταφέρουμε να στοχαστούμε θεμελιωδώς σχετικά με την τάξη των μαθηματικών, έχοντας ως κύριο γνώμονά μας το μαθητή και την αναμφίλεκτη αναγκαιότητα να εισαχθεί στον κόσμο της λογικής σκέψης, που τόσο επιτακτικά οριοθετεί το μαθηματικό οικοδόμημα, θα έχουμε καταφέρει να ενεργήσουμε πολιτικά, πράττοντας και εκφέροντας λόγο, με γνώμονα την ευδαιμονία των μαθητών μας και τη δική μας, δικαιολογώντας έτσι, έστω και στοιχειωδώς, την εκούσια συναρμογή μας σε αυτόν τον κοινωνικό σχηματισμό, έχοντας ενεργήσει ως πολίτες και δάσκαλοι. Υπό αυτό το πρίσμα εκφράζω τούτες τις σκέψεις που με απασχολούν τον τελευταίο καιρό. Καλό βράδυ και καλή χρονιά σε όλους!

Advertisements




Χωριό που φαίνεται

4 02 2016

Σήμερα έπεσε στα χέρια μου μια άσκηση από το Γ2 τεύχος του βιβλίου Μαθηματικών Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών του Βασίλη Παπαδάκη (εκδόσεις Σαββάλα) που με προβλημάτισε αρκετά, θα εξηγήσω παρακάτω γιατί. Τη δούλεψα κάμποση ώρα και κατέληξα σε ένα συμπέρασμα του οποίου η απλότητα το καθιστά όμορφο, ή έτσι τουλάχιστο θέλω να πιστεύω. Η ομορφιά του είναι αυτή που με ώθησε να ξαναγράψω στο ιστολόγιο τούτο το άρθρο μετά από σχεδόν δύο χρόνια σιωπής (εδώ καχάστε ελεύθερα). Αρχικά παραθέτω την εκφώνηση της άσκησης, ή τουλάχιστον το κομμάτι που με απασχολεί:

Το πρόβλημα

Δίνεται (παραγωγίσιμη) συνάρτηση \mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει για κάθε x \in \mathbb{R} :

\mathrm{f}^3(x) + \mathrm{f}(x) = 8x^3-12x^2+8x-2

Το ζητούμενο εδώ είναι να βρεθούν τα όρια \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\mathrm{f}(x).

Μια λύση

Η λύση που προτείνει ο συγγραφέας είναι εξαιρετικής κομψότητας. Βέβαια, σε σημεία της απαιτούνται ταχυδακτυλουργικά τα οποία θεωρώ ελάχιστοι μαθητές της Γ’ Λυκείου είναι σε θέση να φέρουν εις πέρας. Παρακάτω σκιαγραφώ τη λύση αυτή, ώστε να βγάλει τα δικά του συμπεράσματα ο αγαπητός αναγνώστης:

Εάν x<0, επειδή σε προηγούμενο ερώτημα έχει αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \mathrm{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}, θα είναι: \mathrm{f}(x)<\mathrm{f}(0) ή \mathrm{f}(x)<-1, από την οποία συνάγεται ότι \mathrm{f}^3(x)<\mathrm{f}(x).

Προσθέτοντας την \mathrm{f}^3(x) στα δύο μέλη της ανισότητας παίρνουμε:

2\mathrm{f}^3(x)<\mathrm{f}^3(x)+\mathrm{f}(x)
\mathrm{f}^3(x)<4x^3-6x^2+4x-1

Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει ότι \lim_{x \rightarrow - \infty}\mathrm{f}^3(x)=-\infty, οπότε \lim_{x \rightarrow -\infty}\mathrm{f}(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-\sqrt[3]{-\mathrm{f}^3(x)} ) =-\infty.

Όμοια εργάζεται κανείς εάν x>0 για να υπολογίσει το όριο στο +\infty.

Άλλη μια λύση

Βλέποντας και ξαναβλέποντας τη δοθείσα συναρτησιακή σχέση, η Μικρή Φωνούλα Μέσα Μου (Μ.Φ.Μ.Μ.) έλεγε και ξανάλεγε ότι η συνάρτηση \mathrm{f} δεν μπορεί παρά να είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση πρώτου βαθμού, την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε. Όπως καταλαβαίνει κανείς, κάτι τέτοιο θα καθιστούσε αχρείαστη την ταχυδακτυλουργική. Βέβαια, χωρίς απόδειξη όλα αυτά είναι λόγια του αέρα, οπότε σκαρφίστηκα τα παρακάτω.

Πρωτίστως εντόπισα την πολυωνυμική συνάρτηση \mathrm{p}(x) για την οποία ισχύει: \mathrm{p}^3(x) + \mathrm{p}(x) = 8x^3-12x^2+8x-2 . Εύκολα υπολογίζει κανείς ότι \mathrm{p}(x)=2x-1.

Έπειτα, υπέθεσα ότι η συνάρτηση \mathrm{f} εκτός από την \mathrm{p}, απαρτίζεται και από άλλα πράγματα. Μ’ άλλα λόγια γράφεται \mathrm{f}(x)=\mathrm{p}(x) + \mathrm{n}(x), όπου \mathrm{n}(x) μια άλλη πραγματική συνάρτηση με εξωτικά συστατικά (παρατηρείστε ότι με τον τρόπο που είναι γραμμένη η \mathrm{f}, θα μπορούσε κάλλιστα να μην περιέχει κανέναν όρο της \mathrm{p}, αν οι αντίθετοί τους περιέχονταν στην \mathrm{n}). Σε αυτήν την περίπτωση θα είναι \mathrm{f}^3(x)=\mathrm{p}^3(x)+3\mathrm{p}^2(x)\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}(x)\mathrm{n}^2(x)+\mathrm{n}^3(x). Αν αντικαταστήσουμε την \mathrm{f} και την \mathrm{f}^3 στη δοθείσα σχέση, παίρνουμε:

\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}^2(x)\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}(x)\mathrm{n}^2(x)+\mathrm{n}^3(x)=0, για κάθε x \in \mathbb{R}

Η τελευταία σχέση όμως γράφεται πιο βολικά ως εξής:

\mathrm{n}(x) (1+\frac{3}{4}\mathrm{p}^2(x)+[\frac{3}{2}\mathrm{p}(x)+\mathrm{n}(x)]^2)=0

Απ’ όπου προκύπτει αυτό που περίμενα εξαρχής, ότι δηλαδή \mathrm{n}(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{R}. Η συνάρτηση \mathrm{f} λοιπόν δεν είναι άλλη από την πολυωνυμική \mathrm{p}(x)=2x-1. Τα ζητούμενα όρια υπολογίζονται εύκολα τώρα.

Σκέψεις

Όταν πήρα στα χέρια μου την άσκηση, παρόλο που η Μ.Φ.Μ.Μ. μ’ έσπρωχνε να υπολογίσω τη συνάρτηση \mathrm{f} για να κάνω τη ζωή μου πιο εύκολη, δίσταζα να το κάνω γιατί σε γενικές γραμμές δεν αντιμετωπίζουμε τέτοιου είδους ασκήσεις κατ’ αυτόν τον τρόπο. Δεν έχω δει ποτέ μέχρι τώρα σε βιβλία ή σε συζητήσεις στο διαδίκτυο να προτείνεται μια τέτοια λύση. Ακόμα κι εγώ ο ίδιος αρχικά άφησα στην άκρη αυτό που ένιωθα ότι πρέπει να δίνει την απάντηση για να ακολουθήσω τις μεθόδους που συνήθως χρησιμοποιούμε και διδάσκουμε όταν δουλεύουμε παρόμοια ζητήματα. Τι βαρετό! Πόσο απαξιωτική, απάνθρωπα ομοιογενοποιητική και καθόλου δημιουργική κατάντησε η ενασχόληση με την ξεχωριστά όμορφη τέχνη των μαθηματικών. Η διδασκαλία μας είναι ένας τσελεμεντές προς υποψήφιους επιστήμονες. Το μόνο που φτάσαμε να αποζητούμε είναι περισσότερες ασκήσεις και διαγωνίσματα για να εγκλωβίσουμε ακόμα περισσότερο τη σκέψη των μαθητών μας. Τα ανοιχτά προβλήματα εξοβελίστηκαν από το σχολείο, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής έγινε μια ευκαιρία για περισσότερα διαγωνίσματα και οι περισσότεροι μαθητές αντιμετωπίζουν σοβαρές δυσκολίες να αντιμετωπίσουν το παραμικρό πρόβλημα που απαιτεί στοιχειώδεις μαθηματικές δεξιότητες. Εν ολίγοις, την κάτσαμε!

Γι’ αυτούς που θα απορρίψουν τον τρόπο σκέψης μου ως ειδικό και μη εφαρμόσιμο σε γενικές γραμμές θα έλεγα ότι έχουν δίκιο. Θα έλεγα επίσης ότι μεγαλύτερη σημασία στα σχολικά μαθηματικά κατά την άποψή μου δεν έχει η εξωτερική επιβολή γενικών κανόνων, αλλά η διασκέδαση, η δημιουργικότητα και η εσωτερική σταδιακή δόμηση εννοιών, γενικοτήτων και κανόνων. Θα μπορούσε κανείς να αραδιάσει πολλά για να στηρίξει αυτή τη θέση, αλλά τελικά τι νόημα θα είχε κάτι τέτοιο;

Αυτά! Τα λέμε σε καναδυό χρόνια…





Πρόλογος

28 04 2014

113x160_p25626

Καλό μου παιδί, καλῶς ἦλθες στὴν Ε´ τάξι. Κι ὅπως βλέπω, δὲν εἶσαι μικρός, ὅπως εἶχα πληροφορηθῆ. Εἶσαι ἀρκετὰ καλὸς γιὰ συντροφιὰ μαζί μου. Καὶ πιστεύω ἐδῶ ποὐ ἦλθες νὰ περάσωμε καλά. Θὰ μάθης τόσα καινούργια πράγματα χρήσιμα γιὰ τὴ ζωή σου. Οἱ ἄλλες μου ἀδελφές, οἱ μικρότερες, ποὺ τόσο καλὰ σὲ συντρόφεψαν νὰ φτάσης ὡς ἐδῶ, ἀρκετὰ ἐφόδια σοῦ ἔδωσαν. Ξέρεις νὰ λύνης προβλήματα καὶ νὰ μὴ λαθεύης στὴ λύσι.

Ἔμαθες βέβαια να ψωνίζης στὸ μπακάλη, στὸ μανάβη, στὸ χαρτοπωλεῖο, τὸ κάθε τι, νὰ κάνης μόνος σου τοὺς λογαριασμοὺς καὶ νὰ μὴ γελιέσαι. Κι αὐτὸ τὸ χρωστᾶς στὸ καλὸ σχολεῖο, στοὺς καλούς σου δασκάλους καὶ στίς… ἀδελφοῦλες μου, τὶς ἀριθμητικὲς ποὺ γνώρισες στὴν κάθε τάξι. Ἀλλά, μικρέ μου φίλε, ἔχεις πολλὰ ἀκόμη νὰ μάθης. Πρέπει κι αὐτὰ νὰ τὰ μάθης. Εἶναι χρήσιμα γιὰ τὴ ζωή σου. Τὰ συναντᾶς σὲ κάθε βῆμα σου. Αὐτὸ τὸ καθῆκον, γιὰ τὴ φετεινή σου χρονιά, ἀνήκει σὲ μένα. Πρὶν ὅμως σὲ ὁδηγήσω στὸ δικό μου παλάτι, ποὺ θὰ ἰδῆς τόσα καὶ τόσα, θέλω νὰ θυμηθῆς ὅλα τὰ περασμένα. Στὶς διακοπές σου ἴσως νὰ λησμόνησες μερικά, γι᾽ αὐτὸ ἔλα νὰ ξαναθυμηθοῦμε ὅσα ἔμαθες. Μετὰ θ᾽ ἀνοιχτοῦν διάπλατες οἱ πόρτες τοῦ δικοῦ μου παλατιοῦ.

Καὶ πάλι καλῶς ἦλθες
Ἡ Ἀριθμητική σου
Τῆς Ε´.

Από την πρακτική ἀριθμητική Ε´ και ΣΤ´ Δημοτικού
των Θ. Αναγνωστόπουλου και Κ. Βοσταντζή
(Νέα συγχρονισμένη ἔκδοσις 1961)
Εκδόσεις «ΝΙΚΗ»





Ιστορικές μαθηματικές μονογραφίες

9 04 2014

 

διάθεση εικόνας: Cornell University Library

La geometrie – Rene Descartes διάθεση εικόνας: Cornell University Library

Στα 1990 το Πανεπιστήμιο Cornell συνέπραξε με τη Xerox ώστε να ψηφιοποιηθούν τόμοι της βιβλιοθήκης του Πανεπιστημίου που βρισκόταν σε κακή κατάσταση. Με δεδομένο ότι τα πνευματικά δικαιώματα των μονογραφιών έχουν λήξει, το Πανεπιστήμιο διαθέτει online τα ψηφιοποιημένα έργα, στην ιστοσελίδα The Cornell University Library Historical Mathematics Monographs. Οι εκδόσεις των πονημάτων είναι γαλλικές, γερμανικές, αγγλικές, ιταλικές ή ρωσικές και χρονολογούνται από τα τέλη του 19ου μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα. Ανάμεσα στα ονόματα των συγγραφέων θα βρείτε και αυτά των Riemann, Poincaré, Lagrange, Bernoulli, Galois, Descartes. Αξίζει να σημειωθεί ότι το πανεπιστήμιο δίνει τη δυνατότητα στους αναγνώστες να αποκτήσουν αντίγραφα κάποιων έργων μέσω του Amazon με την υπηρεσία Print On Demand.





Η τάξη ανάποδα (flipped clasroom)

13 03 2014
εικόνα: AJC1

εικόνα: AJC1

Οι Lage, Platt και Treglia (2000) στην προσπάθειά τους να σχεδιάσουν ένα μάθημα Μικροοικονομίας στο Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι που να απευθύνεται σε φοιτητές όλων των μαθησιακών στιλ, καταφεύγουν στη χρήση πολυμέσων και αντιστρέφουν τη διδασκαλία τους. Αυτό σημαίνει ότι οι ενέργειες που παραδοσιακά λάμβαναν χώρα εντός της τάξης μετατέθηκαν εκτός και το αντίστροφο. Για παράδειγμα, η διάλεξη με την οποία παραδοσιακά ξεκινούσαν όλα τα μαθήματα δε γινόταν πλέον στην τάξη ή στο αμφιθέατρο, αλλά στο σπίτι ή στο εργαστήριο Η/Υ. Οι φοιτητές πριν από κάθε μάθημα καλούνταν να χρησιμοποιήσουν το διαδίκτυο, να παρακολουθήσουν βιντεοσκοπημένες διαλέξεις ή παρουσιάσεις powerpoint εμπλουτισμένες με ήχο. Τη θέση της διάλεξης κατά την ώρα του μαθήματος πήρε μία ολιγόλεπτη συνεδρία ερωτήσεων και απαντήσεων πάνω σε θέματα που οι φοιτητές είχαν ήδη παρακολουθήσει. Σε περίπτωση που οι φοιτητές δεν είχαν να θέσουν καμία ερώτηση, δεν αφιερώνονταν καθόλου χρόνος στη διάλεξη. Το μάθημα περνούσε αμέσως στη φάση των δραστηριοτήτων. Αυτές ήταν είτε οικονομικά πειράματα, είτε εργαστήρια στα οποία οι φοιτητές θα δούλευαν στην πράξη τις θεωρητικές έννοιες με τις οποίες είχαν έρθει σε επαφή πριν την ώρα του μαθήματος. Στο τέλος, οι φοιτητές χωρισμένοι σε μικρές ομάδες έδιναν τις απαντήσεις τους σε ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης που είχαν σχεδιαστεί από τους διδάσκοντες, τις οποίες τελικά παρουσίαζαν στο σύνολο των φοιτητών.

Η αλήθεια είναι ότι τα ευρήματα των Lage, Platt και Treglia από την αντιστροφή της διδασκαλίας τους ήταν μάλλον γενικά και αόριστα, ή για να το θέσω καλύτερα μη μετρήσιμα. Οι φοιτητές δήλωσαν ότι ήταν ευχαριστημένοι από τον τρόπο που διδάχθηκε το μάθημα και ότι θα ήθελαν να παρακολουθήσουν κι άλλα μαθήματα των οποίων η διδασκαλία θα βασιζόταν σε αυτό το εκπαιδευτικό παράδειγμα. Επιπροσθέτως, οι συγγραφείς έκαναν την υπόθεση ότι η αντεστραμμένη διδασκαλία θα μπορούσε να προσελκύσει περισσότερες φοιτήτριες στις σπουδές Οικονομικών, μιας που ήταν πολύ λιγότερες σε σχέση με τους άνδρες συναδέλφους τους.

Βέβαια, ο σχεδιασμός της διδασκαλίας, πέρα από την ανάγκη εξυπηρέτησης διάφορων μαθησιακών στιλ, αντλεί το θεωρητικό του υπόβαθρό από μία ή περισσότερες θεωρίες μάθησης. Η Alison King (1993) στο σημαίνον άρθρο της From Sage on the Stage to Guide on the Side (ελληνιστί: από σοφός επί σκηνής, οδηγός στο πλάι) συνδέει την κονστρουκτιβιστική θεώρηση με την αλλαγή στο ρόλο του εκπαιδευτικού από αυτόν που παρέχει τη γνώση σε αυτόν που δημιουργεί το κατάλληλο περιβάλλον ώστε οι μαθητές να ενεργήσουν με τη βοήθεια της νέας γνώσης, να αλληλεπιδράσουν με αυτή, να χειριστούν τις καινούριες ιδέες και να τις διασυνδέσουν με αυτές που έχουν ήδη. Ο ρόλος των μαθητών αλλάζει επίσης. Από τη νοητικά μη ενεργητική διαδικασία της συγγραφής σημειώσεων, ο μαθητής παίρνει το ρόλο του μαραγκού, ή του γλύπτη όπως χαρακτηριστικά αναφέρει η King,

που χρησιμοποιεί τη νέα πληροφορία και παλιότερες γνώσεις και εμπειρίες, μαζί με παλαιότερα αποκτηθέντα γνωστικά εργαλεία (όπως στρατηγικές μάθησης, αλγορίθμους και κριτική σκέψη) για να χτίσει καινούριες γνωστικές δομές και να αναδιατάξει την προϋπάρχουσα γνώση (σελ. 30).

Ο Eric Mazur, καθηγητής Φυσικής στο Harvard, που ανέπτυξε τη «διδασκαλία μεταξύ ομότιμων» (peer instruction) ισχυροποιεί αυτή τη διασύνδεση ανάμεσα στην αντίστροφη διδασκαλία και την κονστρουκτιβιστική θεώρηση, μεταθέτοντας τη διάλεξη εκτός τάξης και την εξάσκηση ή/και την επίλυση προβλημάτων εντός. Η διδασκαλία του ακολουθεί τα παρακάτω 7 βήματα:

  1. Ο εκπαιδευτικός θέτει ερωτήματα με βάση τις απαντήσεις των μαθητών στην εργασία που τους ανατέθηκε πριν το μάθημα.
  2. Οι μαθητές στοχάζονται επί των ερωτημάτων.
  3. Οι μαθητές επεξεργάζονται τις προσωπικές τους απαντήσεις.
  4. Ο εκπαιδευτικός εξετάζει τις απαντήσεις των μαθητών.
  5. Οι μαθητές ανταλλάσσουν αναμεταξύ τους απόψεις, ιδέες και τις απαντήσεις τους.
  6. Οι μαθητές επεξεργάζονται εκ νέου τις απαντήσεις τους.
  7. Ο εκπαιδευτικός επανεξετάζει τις καινούριες απαντήσεις και αξιολογεί εάν χρειάζονται περαιτέρω εξηγήσεις προτού προχωρήσει στην επόμενη έννοια.

από τη Wikipedia

Δείτε σχετικά τις παρακάτω σημειώσεις από τη διάλεξη του Eric Mazur Βοηθώντας τους μαθητές να μάθουν: η τάξη ανάποδα και η διδασκαλία μεταξύ ομότιμων.

sketchnotes by Derek Bruff

sketchnotes by Derek Bruff

Τι γίνεται όμως με τα αποτελέσματα; Έχουμε στοιχεία που να αποδεικνύουν ότι αυτή η μέθοδος βελτιώνει τις επιδόσεις των μαθητών; Ο Anant Agarwal, καθηγητής της επιστήμης των υπολογιστών στο ΜΙΤ, στην ομιλία του στο TED με θέμα Why massive open online courses (still) matter (ελληνιστί: γιατί τα ανοιχτά μαζικά διαδικτυακά μαθήματα (ακόμα) μας ενδιαφέρουν) αποκαλύπτει ένα πρώιμο, αλλά εκπληκτικό στοιχείο. Οι φοιτητές του πανεπιστημίου San Jose της Καλιφόρνια παραδοσιακά παρουσίαζαν ένα ποσοστό αποτυχίας της τάξης του 40-41% σε ένα συγκεκριμένο μάθημα ηλεκτρονικών. Μετά την αντιστροφή της διδασκαλίας του μαθήματος και την υιοθέτηση ενός υβριδικού μοντέλου μάθησης, το ποσοστό αποτυχίας έπεσε σε 9%. Δείτε το βίντεο παρακάτω:

Αν αποφασίσετε κι εσείς να δουλέψετε «ανάποδα», θα χρειαστεί να εξοπλιστείτε κατάλληλα ώστε να κατασκευάσετε τα δικά σας βίντεο-μαθήματα αλλά και να χρησιμοποιήσετε κατάλληλο λογισμικό για να κατασκευάσετε online υλικό υβριδικής μάθησης, όπως για παράδειγμα το eXe.

Αναφορές

King, A. 1993. From Sage on the Stage to Guide on the Side. College Teaching41(1), pp.30-35.
Lage, M. J. et al. 2000. Inverting the Classroom: A Gateway to Creating an Inclusive Learning Environment. Journal of Economic Education31(1), pp.30-43.





Πώς να φτιάξεις το δικό σου βίντεο-μάθημα

16 02 2014

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς μπορείτε να φτιάξετε τα δικά σας εκπαιδευτικά βίντεο σε στυλ Khan Academy με το μικρότερο δυνατό κόστος και κόπο. Θα δούμε τι χρειάζεστε σε hardware και software ώστε να ολοκληρώσετε τη διαδικασία. Ας ξεκινήσουμε με το hardware που θα χρειαστείτε.

Hardware

Pen Tablet
pen tabletΤο πιο σημαντικό περιφερειακό που θα χρειαστείτε είναι ένα pen tablet. Το pen tablet απαρτίζεται από μία επιφάνεια και μία γραφίδα. Η γραφίδα ουσιαστικά αντικαθιστά το ποντίκι σας. Για να κινήσετε το δείκτη στην οθόνη σας χρειάζεται να κρατάτε τη γραφίδα μερικά χιλιοστά πιο πάνω από την επιφάνεια, ενώ όταν ακουμπάτε τη γραφίδα στην επιφάνεια είναι σα να έχετε πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού σας. Για να κάνετε «δεξί κλικ» με τη γραφίδα σας, μπορείτε να προγραμματίσετε αντίστοιχα το κουμπάκι που βρίσκεται πάνω στη γραφίδα. Τα πιο ακριβά pen tablet είναι εφοδιασμένα με κουμπιά που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια, των οποίων τη λειτουργία μπορείτε εσείς να καθορίσετε. Έκανα μία μικρή έρευνα αγοράς και διαπίστωσα αμέσως ότι οι τιμές στα ελληνικά καταστήματα είναι εξωφρενικές. Αν θέλετε λοιπόν να αγοράσετε ένα pen tablet κοιτάξτε online καταστήματα του εξωτερικού. Στο βρετανικό site του amazon μπορείτε να βρείτε pen graphics tablets από £19,90 δηλαδή περίπου 24,50€.

microphoneΜικρόφωνο
Τα περισσότερα laptop είναι βέβαια εφοδιασμένα με μικρόφωνο, καθώς επίσης και η συντριπτική πλειοψηφία των webcams. Η επικοινωνία μέσω υπολογιστή με εργαλεία όπως το skype ή το ooVoo καθιστά το μικρόφωνο ένα απαραίτητο περιφερειακό. Τέτοια μικρόφωνα όμως είναι μάλλον ακατάλληλα για ηχογραφήσεις. Σκεφτείτε για παράδειγμα το μικρόφωνο του σταθερού σας τηλεφώνου· είναι υπεραρκετό για να μάθετε τα νέα της φίλης σας, αλλά σε καμία περίπτωση δε θα το χρησιμοποιούσατε για να ηχογραφήσετε το stairway to heaven! Επιπροσθέτως, ένα βίντεο με κακό ήχο είναι πολύ πιθανό να απωθήσει τους υποψήφιους θεατές του. Παίρνω για παράδειγμα τον εαυτό μου· κλείνω σχεδόν ενστικτωδώς όσα βιντεάκια δεν έχουν καλό ήχο στο youtube. Μήπως κάνετε κι εσείς το ίδιο; Αν είστε λοιπόν διατεθειμένοι να διαθέσετε περίπου 38€ για ένα usb μικρόφωνο (οι τιμές σε ελληνικά καταστήματα παραμένουν γελοίες), θα καταφέρετε να ηχογραφήσετε τη φωνή σας με εξαιρετική πιστότητα.

Software

Ψηφιακό «τετράδιο»
Αφού εγκαταστήσετε τους driver για το pen tablet σας, θα χρειαστείτε το κατάλληλο λογισμικό για να μπορέσετε να το χρησιμοποιήσετε. Τα περισσότερα pen tablets πωλούνται με ειδικό σχεδιαστικό λογισμικό, που θα σας επιτρέψει να μεταφέρετε στην οθόνη του υπολογιστή σας ό,τι σχεδιάζετε με τη γραφίδα. Αν αποφασίσετε να μη χρησιμοποιήσετε το λογισμικό που αγοράσατε με την ταμπλέτα σας, τότε υπάρχουν πολλές άλλες λύσεις για όλα τα συστήματα. Για παράδειγμα, αν δουλεύετε σε windows  μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το windows journal, σε ubuntu το jscribble και σε Mac OS το SketchBook Express. Να σημειώσω ότι συνήθως αυτό το λογισμικό επιτρέπει στο χρήστη να εισάγει και εικόνες, οπότε μπορείτε με ευκολία να κάνετε σχήματα ή γραφικές παραστάσεις στη GeoGebra, να τις εξάγετε ως png κι έπειτα να τις εισάγετε στο ψηφιακό σας σημειωματάριο. Μάλιστα, μπορείτε να σημειώνετε ακόμα και πάνω στην εικόνα που έχετε εισάγει. Δείτε, για παράδειγμα, την παρακάτω εικόνα στην οποία έχω εισάγει ένα σχήμα φτιαγμένο στη GeoGebra κι έπειτα έχω σημειώσει επάνω:

scribble

Screencast software
Με τον όρο screencast software περιγράφουμε το λογισμικό που έχει τη δυνατότητα να βιντεοσκοπεί όσα συμβαίνουν στην οθόνη του υπολογιστή σας. Σε αυτήν τη σελίδα της wikipedia μπορείτε να βρείτε μία αναλυτική σύγκριση 34 προγραμμάτων ως προς την άδεια χρήσης, το σύστημα στο οποίο τρέχουν, το φορμά των αρχείων που εξάγουν και άλλα. Το λογισμικό που χρησιμοποιώ εγώ προσωπικά και δε συμπεριλαμβάνεται στην προηγούμενη λίστα, είναι το screencast-o-matic. Αν επισκεφθείτε το site κάνοντας κλικ στον υπερσύνδεσμο, μπορείτε να ξεκινήσετε να βιντεοσκοπείτε την οθόνη του υπολογιστή σας σχεδόν αμέσως, πατώντας το κουμπί «Start recording». Το screencast-o-matic είναι ένα πολύ απλό εργαλείο που δε χρειάζεται να εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας, παρόλο που μπορείτε να το κάνετε αν θέλετε. Η δωρεάν έκδοση παρέχει μόνο βασικές λειτουργίες, όπως παύση της βιντεοσκόπησης, εξαγωγή σε avi, mp4 ή flv καθώς και απευθείας μεταφόρτωση στο κανάλι σας στο youtube σε HD. Βέβαια, η τελευταία δυνατότητα δε δούλεψε ποτέ, όσες φορές κι αν προσπάθησα να εισάγω τα στοιχεία του λογαριασμού μου στο youtube μέσω του screencast-o-matic, γι’ αυτό πάντα αποθηκεύω τοπικά τα βίντεο που φτιάχνω κι έπειτα τα ανεβάζω στο youtube. Σημειώστε επίσης ότι η δωρεάν έκδοση παράγει ένα διακριτικό υδατογράφημα στο τελικό βίντεο. Αφού φορτώσετε το screencast-o-matic, καθορίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που θέλετε να βιντεοσκοπήσετε, επιλέξτε αν θέλετε η εγγραφή να συλλαμβάνει ήχο ή όχι και πατήστε το κόκκινο κουμπάκι. Σε 3 – 2 – 1 γράφετε! Εδώ μπορείτε να βρείτε πολλά βίντεο που θα σας βοηθήσουν στα πρώτα σας βήματα με το screencast-o-matic, βέβαια πολλές από τις λειτουργίες που αναφέρονται εδώ αφορούν στην έκδοση pro του λογισμικού, η οποία κοστίζει $15 το χρόνο, δηλαδή περίπου 11€.

Μπορείτε να δείτε κάποια από τα βίντεο-μαθήματα που έχω φτιάξει κατά καιρούς στο προσωπικό μου κανάλι στο youtube. Αν βρήκατε χρήσιμο το άρθρο και πρόκειται να φτιάξετε τα δικά σας βίντεο-μαθήματα, αφήστε ένα σχόλιο με τις παρατηρήσεις σας ή/και τα link για τα δικά σας βίντεο.





Πεδίο ορισμού μίας ρητής συνάρτησης

21 01 2014

Hardware:
1 pen tablet
1 φτηνό μικρόφωνο
1 laptop pc

Software:
Screencast-o-matic
Μπλοκ Σημειώσεων των Windows
YouTube

Νομίζω πως το αποτέλεσμα είναι πολύ καλό, αν λάβει κανείς υπόψην το φτηνό hardware που χρησιμοποιήθηκε για να γίνει αυτό το βιντεάκι. Αισθητικά βρίσκεται στα πρότυπα των βίντεο της Khan Academy, με μαύρο φόντο και χρωματιστό στιλό. Προτάσεις δεκτές.

Η άσκηση βρίσκεται σε μία παλιά έκδοση του βιβλίου «Άλγεβρα Α’ Λυκείου» των Θ. Τζουβάρα, Κ. Τζιρώνη.








Αρέσει σε %d bloggers: