Ο δεκάλογος της μαθηματικής στοιχειοθεσίας

13 06 2013
  1. Μη χρησιμοποιείτε τη γραμματοσειρά Comic Sans για να γράψετε το μαθηματικό σας κείμενο. Αυτή η γραμματοσειρά κατασκευάστηκε για να μιμηθεί τη γραφή των αμερικανικών βιβλίων κόμικς και έχει ανεπίσημο χαρακτήρα. Δεν είναι κατάλληλη για μαθηματικό κείμενο και δεν καθιστά το κείμενό σας πιο αρεστό στους μαθητές επειδή «φαίνεται να έχει πλάκα». Τα κείμενα τυγχάνουν αποδοχής όταν είναι εύληπτα, καλά δομημένα και βοηθούν τους αναγνώστες τους να μάθουν.
  2. Αν το κείμενό σας πρόκειται να αναγνωστεί επί της οθόνης τότε προτιμήστε μια sans-serif γραμματοσειρά (όχι την Comic Sans).
  3. Αν το κείμενο πρόκειται να εκτυπωθεί τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια serif γραμματοσειρά.
  4. Επιλέξτε διάστιχο 1,5 γραμμής.
  5. Προσπαθήστε να διατηρήσετε μία ομοιογένεια σε όλη την έκταση του κειμένου σας. Αποφασίστε δηλαδή εκ των προτέρων έναν και μόνο τρόπο με τον οποίο θα σημειώνετε τις μεταβλητές, τις συναρτήσεις, τα σύνολα, τα σημεία κλπ.. Σκεφθείτε τη σύγχυση που προκαλεί στον αναγνώστη ένα κείμενο στο οποίο η μεταβλητή x σημειώνεται με διάφορους τρόπους, όπως για παράδειγμα x, X, χ, ή χ. Επίσης, καλό είναι να χρησιμοποιείτε την ίδια γραμματοσειρά για να συγγράψετε κείμενο και μαθηματικά. Έχετε κατά νου ότι η ομοιογένεια στο κείμενο βοηθά τον αναγνώστη να επικεντρωθεί στην ουσία αυτών που γράφετε, αφού δεν τον/την αποσπά η προσπάθεια να αποκωδικοποιήσει τους χαρακτήρες που διαβάζει κάθε φορά.
  6. Επιλέξτε να μη γίνεται πλήρης στοίχιση του κειμένου, αφού η πλήρης στοίχιση τείνει να μπερδεύει τους μαθητές με δυσλεξία.
  7. Προτιμήστε να γράφετε τις μεταβλητές με πλάγιους λατινικούς χαρακτήρες (italics).
  8. Προτιμήστε να μην σημειώνετε τις συναρτήσεις με πλάγιους χαρακτήρες.
  9. Προβάλλετε τις σημαντικές εξισώσεις στο κείμενο· γράψτε τις σε καινούρια γραμμή με στοίχιση στο κέντρο.
  10. Μη γράφετε με μέγεθος γραμματοσειράς μεγαλύτερο από 12.




Αγαπητό ημερολόγιο…

7 06 2013

Αυτήν την περίοδο στήνουμε μια πλατφόρμα υβριδικής μάθησης (blended learning) για το φροντιστήριό μας στο edublogs. Το edublogs προσφέρει για ένα πολύ μικρό αντίτιμο ένα κύριο ιστολόγιο για μία τάξη (10 GB) και πολλά προσωπικά ιστολόγια για τους μαθητές (100 MB), τα οποία είναι πλήρως ελεγχόμενα από το διαχειριστή. Είναι μεν μια πλατφόρμα ιστολογίων που βασίζεται στο WordPress, έχει όμως πάρα πολλές δυνατότητες (ενσωμάτωση πολυμέσων, κατασκευή wiki, κατασκευή στατικών ή δυναμικών σελίδων, πληθώρα widgets, προσαρμόσιμα μενού, εξαιρετικές ρυθμίσεις ασφαλείας κ.ά.) ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ποικιλοτρόπως. Καταλήξαμε σε αυτήν την υπηρεσία γιατί φαίνεται να προσφέρει ακριβώς αυτά που χρειαζόμαστε και που είχαμε στο μυαλό μας την περίοδο που αναζητούσαμε την κατάλληλη. Για να γίνω πιο σαφής, τα πράγματα που θέλαμε να έχουμε – και που προσφέρει το edublogs – είναι:

  • η πλατφόρμα να προστατεύεται από έναν κοινό για όλους τους επισκέπτες κωδικό,
  • να μπορούμε να κατασκευάζουμε στατικές αλλά και δυναμικές σελίδες,
  • να έχουμε τη δυνατότητα να ανεβάζουμε και να ενσωματώνουμε όμορφα στα άρθρα και τις σελίδες μας κείμενο, αρχεία εικόνας, βίντεο και ήχου,
  • να ελέγχουμε πλήρως τα σχόλια και το υλικό που ανεβάζουν οι μαθητές,
  • να κατασκευάζουμε χωρίς κόπο τα μενού στον ιστότοπο, ώστε η περιήγηση να είναι απλή,
  • οι μαθητές να μπορούν εύκολα να θέτουν τα ερωτήματά τους,
  • η πλατφόρμα να είναι εύχρηστη και
  • η πλατφόρμα να είναι όμορφη.

Καταλήξαμε λοιπόν στο edublogs, αφού φαίνεται να καλύπτει όλες τις ανάγκες μας· τουλάχιστον μέχρι στιγμής, αφού ακόμη δεν έχει ξεκινήσει η χρήση της, μιας που βρισκόμαστε στο στάδιο της προετοιμασίας. Οπότε, αν αυτήν την περίοδο ψάχνετε κάτι αντίστοιχο, τότε νομίζω ότι αξίζει να σκεφτείτε το edublogs ως μία πιθανή λύση. Αν έχετε κάτι άλλο στο νου σας, παρακαλώ αφήστε ένα σχόλιο με την πρότασή σας.

Πέρα από την πλατφόρμα, πρόκειται να δημιουργήσω μία σειρά από βίντεο-μαθήματα (ή τουλάχιστον έτσι θέλω να πιστεύω), σε πρώτη φάση σχετικά με τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου. Ελλείψει μέσων, τα βιντεάκια αποτυπώνουν το… χέρι μου να γράφει με ένα μαρκαδοράκι σε μια λευκή κόλα Α3. Η βιντεοσκόπηση έγινε με μια απλή webcam η οποία στήθηκε μετά κόπων και βασάνων ακριβώς πάνω από την κόλα (για το στήσιμο χρειαστήκαμε ένα τρίποδο, ένα κουτάλι, κολλητική ταινία και μερικά λαστιχάκια). Το σπικάζ έχει γίνει εκ των υστέρων με τη βοήθεια του Audacity, ώστε να είμαι σε θέση να επεξεργαστώ τον ήχο, να αφαιρέσω θορύβους κλπ.. Το μιξάζ και το μοντάζ έγιναν με το Movie Maker των Windows.

Αποφάσισα να αφήσω τα βιντεο-μαθήματα ανοιχτά για όλη την κοινότητα, γι’ αυτό και μοιράζομαι το πρώτο της σειράς σήμερα μαζί σας.





Παραγοντοποίηση: ένα διάγραμμα ροής

29 05 2013

Τις προάλλες έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο «Μαθηματικά Α’ Λυκείου» των Μάκρα, Μαυρογιάννη, Σαλίχου που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Καστανιώτη (έκδοση: Σεπτέμβριος, 2000). Φυλλομετρώντας το, ανακάλυψα ένα διάγραμμα ροής σχετικό με την παραγοντοποίηση. Τι καταπληκτική ιδέα! Συνειδητοποίησα αμέσως ότι ουσιαστικά πάντα συμβούλευα τους μαθητές της Γ’ Γυμνασίου να διαχειρίζονται αλγοριθμικά την παραγοντοποίηση. Να κάνουν δηλαδή διαδοχικούς ελέγχους, ώστε με τη βοήθεια κατάλληλων διεργασιών να καταλήγουν σε ένα γινόμενο πρώτων παραγόντων. Μάλιστα, είχα κατασκευάσει σχετικά mindmaps, ποτέ όμως δεν είχα σκεφτεί να φτιάξω ένα διάγραμμα ροής. Είχα λοιπόν αυτό που αγγλιστί αποκαλείται ένα aha! moment. Ήξερα ότι έπρεπε να κατασκευάσω ένα διάγραμμα ροής για την παραγοντοποίηση που να ταιριάζει στη διδασκαλία μου και στον τρόπο που τη διαχειρίζομαι.

Έβαλα λοιπόν τα πράματα σε μια σειρά. Πρώτα έπρεπε να πληροφορηθώ για τα βασικά της κατασκευής ενός διαγράμματος ροής. Ανέτρεξα στη Wikipedia, όπου διάβασα:

Σύμβολα Έναρξης και Λήξης
Αναπαριστώνται ως κύκλοι, οβάλ ή στρογγυλεμένα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που περιέχουν τη λέξη «έναρξη», «λήξη» ή μια φράση που να δείχνει την αρχή ή το τέλος της διαδικασίας.

Βέλη
Δείχνουν αυτό που ονομάζεται στην επιστήμη των υπολογιστών «ροή ελέγχου». Ένα βέλος που έρχεται από ένα σύμβολο και καταλήγει σε ένα άλλο δείχνει ότι ο έλεγχος ακολουθεί την ίδια πορεία.

Στάδια Επεξεργασίας
Αναπαριστώνται από ορθογώνια παραλληλόγραμμα, π.χ. «πρόσθεσε 1 στο Χ», «αποθήκευσε τις αλλαγές» κ.λ.π.

Υποθέσεις/Αποφάσεις
Αναπαριστώνται από ρόμβους. Τυπικά περιέχουν ερώτηση «ΝΑΙ/ΟΧΙ» ή «ΑΛΗΘΕΣ/ΨΕΥΔΕΣ». Αυτό το σύμβολο συνήθως έχει δύο βέλη να βγαίνουν από αυτό, ένα από το πλάι που αντιστοιχεί στο ΟΧΙ/ΨΕΥΔΕΣ και ένα από κάτω που αντιστοιχεί στο ΝΑΙ/ΑΛΗΘΕΣ. Τα βέλη πρέπει πάντα να σημειώνονται.

Επόμενο βήμα η κατασκευή. Άνοιξα το Inkscape για να φτιάξω το παρακάτω διάγραμμα ροής που μοιράζομαι μαζί σας. Η αλήθεια είναι ότι δεν τήρησα ευλαβικά τους κανόνες που διάβασα στη Wikipedia, αλλά ήθελα το αποτέλεσμα να είναι λειτουργικό και να αποτυπώνει τη διαδικασία που ακολουθώ όταν παραγοντοποιώ μία παράσταση.

factor_flowchart





Θεωρίες μάθησης

22 05 2013

Learning Theory v5.cmap

Κάντε κλικ στην παραπάνω εικόνα για να μεταφερθείτε σε ένα κατατοπιστικότατο χάρτη εννοιών (concept map) που επιχειρεί να συγκεντρώσει τις κυρίαρχες θεωρίες μάθησης, περιγράφοντας επιγραμματικά μεταξύ άλλων βασικές έννοιες, εκπαιδευτικά παραδείγματα, αλλά και τους θεωρητικούς σε κάθε περίπτωση. Ο χάρτης είναι επίσης εφοδιασμένος με πληθώρα χρήσιμων υπερσυνδέσμων.





eXe

10 05 2013

eXe logoΙστορία
Το eXe (e-learning XHTML editor) είναι ένα εργαλείο κατασκευής εκπαιδευτικού υλικού, προορισμένο για μάθηση από απόσταση. Ο σκοπός των κατασκευαστών του ήταν να δημιουργήσουν ελεύθερο λογισμικό ανοιχτού κώδικα το οποίο θα βοηθούσε δασκάλους και ακαδημαϊκούς να κατασκευάσουν υλικό για το διαδίκτυο, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουν γλώσσες markup όπως HTML ή XML. Το υλικό που κατασκευάζεται στο eXe μπορεί να εξαχθεί ως IMS Content Package, SCORM 1.2, IMS Common Cartridge ή ως ιστοσελίδα.

Το project αρχικά χρηματοδοτήθηκε με πόρους της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης της Νέας Ζηλανδίας. Η χρηματοδότηση αυτή όμως έληξε το 2010, οπότε και η αρχική ομάδα προγραμματιστών εγκατέλειψε την περαιτέρω ανάπτυξη του λογισμικού. Το λογισμικό όμως είχε ήδη χρησιμοποιηθεί από πολλούς εκπαιδευτικούς, ενώ οι δυνατότητές του και η ευκολία στη χρήση και την παραγωγή εκπαιδευτικού υλικού το καθιστούσαν μοναδικό στο είδος του. Εδώ λοιπόν μπαίνει στο προσκήνιο μία ομάδα Ισπανών προγραμματιστών και μεταφραστών. Αυτή χρηματοδοτείται από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικών Τεχνολογιών του ισπανικού Υπουργείου Παιδείας για να αναλάβει τη συντήρηση του eXeLearning, τον εκσυγχρονισμό των λειτουργιών του αλλά και την προσθήκη νέων, ώστε να καλυφθούν οι ανάγκες της κοινότητας των χρηστών. Λίγους μήνες αργότερα, μία νέα έκδοση του eXe κάνει την εμφάνισή της, ενώ μέσα στο 2013 ένα site αφιερωμένο στο νέο eXeLearning εγκαινιάζεται.

iDevices
Το λογισμικό υποστηρίζει την κατασκευή εκπαιδευτικού περιεχομένου με τη βοήθεια των «instructional Devices» (iDevices). Τα iDevices είναι πρότυπα πλαίσια που σηματοδοτούν συγκεκριμένο τύπο εκπαιδευτικού περιεχομένου. Με τη βοήθεια αυτών των προτύπων ο εκπαιδευτικός δύναται να κατασκευάσει πιο πολύπλοκο εκπαιδευτικό υλικό, χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζει προγραμματισμό. Αυτά τα πλαίσια (iDevices) μπορεί να αναφέρονται για παράδειγμα στους εκπαιδευτικούς στόχους κάθε ενότητας, στις προαπαιτούμενες γνώσεις για την παρακολούθηση μιας ενότητας, να είναι κάποια δραστηριότητα ανοικτού ή κλειστού τύπου (συμπλήρωσης κενού, πολλαπλής επιλογής κλπ.), να είναι ένα java applet (υποστηρίζονται τα applet που έχουν κατασκευαστεί με τη GeoGebra), πολυμέσα, πηγές και πολλά άλλα. Περισσότερα για τα iDevices και τη χρήση τους στην κατασκευή εκπαιδευτικού υλικού μπορείτε να διαβάσετε σε αυτή τη σελίδα του WikiEducator, το οποίο στηρίζεται επίσης στη χρήση τους.

Δουλεύοντας με το eXe
Αρχικά κατεβάστε και εγκαταστήστε το eXe στο σκληρό σας δίσκο. Το eXe τρέχει σε Linux, Mac OS X και Microsoft Windows. Για τα Windows θα βρείτε και φορητή έκδοση, η οποία δεν απαιτεί κάποια εγκατάσταση στο σύστημά σας. Αφού τελειώσετε με τη διαδικασία μπορείτε να ξεκινήσετε να παράγετε υλικό με 5 απλά βήματα.

εικόνα: FreeSMUG

εικόνα: FreeSMUG

  1. Χρησιμοποιήστε το Add Pages για να δημιουργήσετε και να προσθέσετε σελίδες ως Αντικείμενα, Υπο-αντικείμενα και Μονάδες. Delete για να τις διαγράψετε. Rename για να αλλάξετε το όνομά τους.
  2. Ένα κλικ είναι αρκετό για να προσθέσετε ένα iDevice
  3. Εισάγετε κείμενο σε αυτήν την περιοχή (με υποστήριξη \LaTeX) χρησιμοποιώντας τα εικονίδια για να τροποποιήσετε το στυλ του κειμένου, την ευθυγράμμιση και άλλα.
  4. Αποθηκεύστε τα περιεχόμενα του iDevice με ένα κλικ στο πράσινο τικ.
  5. Αποθηκεύστε το έργο σας ως πηγαίο αρχείο .elp με την εντολή στο μενού
    File → Save as…
    Αποθηκεύστε το έργο σας ως ιστοσελίδα με την εντολή στο μενού
    File → Export → Web Site → Self-contained Folder
    Αποθηκεύστε το έργο σας ως SCORM 1.2 με την εντολή στο μενού
    File → Export → SCORM 1.2

Σημειώστε ότι τα παραπάνω αναφέρονται σε παλιότερη έκδοση του eXe, όμως η διαδικασία δεν έχει αλλάξει καθόλου στην καινούρια έκδοση.

Χρήσιμοι σύνδεσμοι
eXe User Guide
How to create content using eXe (pdf)
GeoGebra iDevice
eXe learning objects (doc)





14 Φεβρουαρίου

2 05 2013

Το παιχνίδι με τα κέρματα
Όταν πήγαινα στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού μου άρεσε πάρα πολύ να παίζω ένα παιχνίδι με κέρματα. Κρατούσα σταθερό με το δάχτυλό μου ένα κέρμα πάνω στο τραπέζι και ακουμπούσα ένα δεύτερο κέρμα πάνω στο πρώτο. Έπειτα προσπαθούσα να περιστρέψω το δεύτερο κέρμα γύρω από το πρώτο, το σταθερό, όπως θα έκανε και μία ρόδα ποδηλάτου. Τώρα που το ξανασκέφτομαι, όλες οι ρόδες ποδηλάτων που κυλούν πάνω στον πλανήτη κάνουν ακριβώς αυτή τη δουλειά, αν αναλογιστεί κανείς πως και η Γη είναι στρόγγυλη! Βέβαια, τα κέρματα έχουν σχετικά συγκρίσιμες ακτίνες, ενώ από την άλλη η μέση ακτίνα της Γης είναι – με πρόχειρους υπολογισμούς – περίπου 18.202.857 φορές μεγαλύτερη από την ακτίνα του ποδηλάτου μου.

Η ρόδα του ποδηλάτου
Πολλά χρόνια αργότερα, μια άλλη – φαινομενικά ασύνδετη – απορία μου είχε γεννηθεί:

Τι καμπύλη διαγράφει ένα σημείο του λάστιχου ενός ποδηλάτου, καθώς αυτό κινείται σε μια ευθεία;

Ε λοιπόν, αυτή η καμπύλη ονομάζεται κυκλοειδής. Μπορείτε να τη δείτε στο παρακάτω animated gif που βρίσκεται στη σελίδα της κυκλοειδούς καμπύλης στην Wikipedia.

Cycloid

Κυκλοειδής καμπύλη – Εικόνα: Zorgit

Το περίεργο είναι ότι μέχρι τότε δεν είχα ακούσει ποτέ γι’ αυτήν, ευτυχώς όμως ήξερα αρκετά καλά τη Wolfram Mathematica ώστε να την προγραμματίσω για να μου δώσει την καμπύλη που ήθελα (δείτε εδώ την κυκλοειδή καμπύλη φτιαγμένη στη Mathematica από τον Eric Weisstein στον ιστότοπο Wolfram MathWorld).

Τα ρίχνουμε όλα στο μπολ μας…
Πολύ ωραία. Γιατί δε συνδυάζουμε λοιπόν το παιχνίδι με τα κέρματα, με την ερώτηση για τη ρόδα του ποδηλάτου; Αν το κάναμε, θα παίρναμε μια ερώτηση που μοιάζει με αυτήν εδώ:

Ποια καμπύλη διαγράφει ένα σταθερό σημείο ενός κύκλου ο οποίος κυλάει πάνω σε έναν άλλο κύκλο;

Ωραία ερώτηση!

Μια απάντηση
Ζητούμενο εδώ λοιπόν είναι να εντοπίσουμε αυτήν την καμπύλη, η οποία όμως, όπως μπορεί να καταλάβει οποιοσδήποτε έχει παίξει το παιχνίδι με τα κέρματα, είναι διαφορετική για κάθε ζευγάρι κερμάτων. Το σχήμα της καμπύλης δηλαδή, εξαρτάται από το μέγεθος των κύκλων. Όπως και να ‘χει το όνομά της είναι επικυκλοειδής, και αυτή η ελληνική λέξη χρησιμοποιείται σε όλον τον κόσμο για να περιγραφεί τούτη η καμπύλη.

Παρακάτω μπορείτε να δείτε την επικυκλοειδή καμπύλη που σχηματίζουν δύο ίσοι κύκλοι. Αυτή λέγεται καρδιοειδής καμπύλη γιατί μοιάζει με μια καρδιά. Όταν ο κύκλος που κυλάει έχει ακτίνα μισή από αυτή του σταθερού κύκλου, τότε σχηματίζονται δύο γωνιακά σημεία στην καμπύλη, που τώρα λέγεται νεφροειδής γιατί μοιάζει με δύο νεφρά. Αν η ακτίνα του κύκλου που κυλάει είναι τρεις φορές μικρότερη από την ακτίνα του σταθερού κύκλου, τότε η καμπύλη που σχηματίζεται έχει τρία γωνιακά σημεία κ.ο.κ.. Αναλογίζομαι ότι αν κατάφερνα ποτέ να κάνω το γύρο του κόσμου πάνω στο ποδήλατό μου διαγράφοντας ένα μέγιστο κύκλο, τότε η βαλβίδα της ρόδας μου θα διέγραφε μια επικυκλοειδή καμπύλη με 18 εκατομμύρια (και κάτι) γωνιακά σημεία!

καρδιοειδές

Καρδιοειδές – Εικόνα: WojciechSwiderski

Στις εικόνες που ακολουθούν εμφανίζονται οι επικυκλοειδείς καμπύλες που σχηματίζονται όταν ο εξωτερικός κύκλος που κυλάει1 έχει ακτίνα (α) ίση, (β) μισή, (γ) υποτριπλάσια, (δ) υποτετραπλάσια της ακτίνας του σταθερού κύκλου.

Για τους… μικρούς
Για να δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καρδιοειδή καμπύλη με απλά γεωμετρικά εργαλεία σε ένα Περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας (ΠΔΓ), όπως η GeoGebra. Η διαδικασία είναι απλή, κατ’ επέκταση κατάλληλη για μικρούς μαθητές, ακόμη και του Δημοτικού σχολείου. Βέβαια, δεν εννοώ σε καμία περίπτωση ότι μαθητές Δημοτικού θα μπορούσαν να εμπλακούν με τα μαθηματικά της καρδιοειδούς καμπύλης, όμως η κατασκευή της και μόνο – σε κατάλληλο ΠΔΓ και με έναυσμα το παιχνίδι με τα κέρματα, ή το ποδήλατο – μπορεί να αποτελέσει μια εισαγωγή σε έννοιες όπως κύκλος (κέντρο, ακτίνα), ίσες γωνίες, σημείο, κίνηση, γεωμετρικός τόπος κλπ.. Δείτε το βίντεο.

Σε περίπτωση που αναρωτιέστε γιατί οι γωνίες α και β είναι μεταξύ τους ίσες, κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα.proof_1Καθώς το κέντρο Λ του επίκυκλου (Λ,ρ) μετακινείται μέχρι τη θέση Λ’, τα διαδοχικά σημεία επαφής των δύο κύκλων σχηματίζουν τα τόξα ΑΒ και Α’Β επί των δύο κύκλων (Κ,ρ) και (Λ,ρ) αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε τώρα ότι οι γωνίες α και β είναι εκφρασμένες σε ακτίνια (rad), τα μήκη των τόξων θα είναι:

\mathrm{AB} =\alpha\cdot\rho  και  \mathrm{A'B}=\beta\cdot\rho

Επειδή όμως τα τόξα είναι ίσα, προκύπτει ότι: \alpha\cdot\rho=\beta\cdot\rho, απ’ όπου τελικά έχουμε ότι \alpha = \beta.

Για τους λίγο μεγαλύτερους
Η κατασκευή με τη βοήθεια ΠΔΓ δίνει μια πρώτης τάξεως ευκαιρία να υπολογιστούν οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης. Παρατηρείστε πόσο εύκολα μπορεί να δομηθεί ένα φύλλο εργασίας με εύστοχες και διαδοχικές ερωτήσεις που θα οδηγήσουν στο ζητούμενο, εν προκειμένω την κατασκευή των παραμετρικών εξισώσεων.

Παρακάτω ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ είναι ο σταθερός κύκλος και αυτός με κέντρο το σημείο Λ είναι ο επίκυκλος. Το σημείο Α’ είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, μιας που διαγράφει την καρδιοειδή καμπύλη καθώς ο επίκυκλος συμπληρώνει μία πλήρη περιστροφή γύρω από το σταθερό κύκλο (Κ, ρ=1).


proof_2

Ε: Τι σχέση έχουν οι γωνίες α και γ του σχήματος;
Α: Οι δύο γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ.
Ε: Πώς μπορεί να εκφραστεί η γωνία ω με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Επειδή οι γωνίες α, β και γ είναι ίσες, η γωνία \omega=\pi -\beta - \gamma =\pi-2\alpha
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Λ, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Γνωρίζουμε ότι:

\cos\alpha=\frac{x_\Lambda}{2}  και  \sin\alpha=\frac{y_\Lambda}{2}

Οπότε, οι συντεταγμένες του σημείου Λ είναι (2\cos\alpha, 2 \sin\alpha).
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α’, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΛΗ και ΛΖ είναι:

(\Lambda \mathrm{H})=\cos\omega=\cos (\pi-2\alpha)=-\cos(2\alpha)
(\Lambda \mathrm{Z})=\sin (\pi - 2 \alpha) = \sin(2\alpha)

Και επειδή x_{A'} = x_\Lambda + (\Lambda \mathrm{H}) θα είναι: x_{A'}=2\cos\alpha-\cos(2\alpha).
Επίσης, θα είναι: y_{A'}=y_\Lambda - (\Lambda \mathrm{Z}), οπότε y_{A'}=2\sin\alpha - \sin(2\alpha).

Αυτό που καταφέραμε είναι να εκφράσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α’ με τη βοήθεια της γωνίας α, κατασκευάσαμε δηλαδή τις παραμετρικές συντεταγμένες της καρδιοειδούς μας καμπύλης, οι οποίες είναι:

x=2\cos\alpha-\cos(2\alpha)
y=2\sin\alpha -\sin(2\alpha)

Αν καταφέρουμε να απαλείψουμε την παράμετρο \alpha από τις παραπάνω εξισώσεις, θα προκύψει η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης. Έγραψα σε ένα κίτρινο χαρτί:

σάρωση0011

Να λοιπόν η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης μας:

(x^2+y^2-3)^2=4(3-2x).

Η GeoGebra έχει τη δυνατότητα να σχεδιάζει πεπλεγμένες καμπύλες, οπότε αν εισάγετε την παραπάνω εξίσωση, θα πάρετε αυτό το αποτέλεσμα:καρδιοειδέςΚαι μιας που στην εξίσωση εμφανίζεται το άθροισμα x^2+y^2, που στο μυαλό μου είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το μέτρο του μιγαδικού z=x+yi, με x,y \in \mathbb{R}, σκέφτομαι πως αν θέλαμε να εκφράσουμε την καρδιοειδή ως ένα γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z, τότε αυτός θα έπρεπε να επαληθεύει τη σχέση

\big( z\bar{z} - 3 \big)^2=4 \big( 3 - (z + \bar{z}) \big)

Αν πάλι θέλαμε να εκφράσουμε το μιγαδικό z με τη βοήθεια της παραμέτρου \alpha που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω, τότε δεν έχουμε παρά να αναλογιστούμε ότι:

z=2\cos \alpha - \cos (2\alpha) + i(2 \sin \alpha - \sin (2 \alpha )), ή
z = 2(\cos \alpha + i \sin \alpha) - (\cos (2 \alpha) + i \sin (2 \alpha)), ή
z=2 e^{i \alpha} - e^{2 i \alpha}

Αν αφαιρέσουμε τη μονάδα και από τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης, ομορφαίνουν τα πράγματα:

z - 1 = -( e^{i \alpha} - 1)^2
z = 1 - (e^{i \alpha} - 1)^22

Και οι διερευνήσεις βέβαια, δε σταματούν εδώ. Είναι εντυπωσιακές οι εκπαιδευτικές προεκτάσεις που μπορεί να πάρει η μελέτη μιας καμπύλης όπως η καρδιοειδής. Καθόλου άσχημα για μια καμπύλη που αρχικά μελετήθηκε από τον Δανό αστρονόμο Ole Rømer στα 1674, προκειμένου να λύσει ένα άκρως πρακτικό πρόβλημα, αυτό της βέλτιστης μορφής της οδόντωσης γραναζιών.

Αναφορές
WEISSTEIN, ERIC W. «Cycloid» from MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html

Δείτε επίσης
Η καρδιοειδής στο MacTutor
Η καρδιοειδής στο Wolfram MathWorld
Η καρδιοειδής στο Xah’s math blog


1.  Ο κύκλος που κυλάει επάνω στο σταθερό κύκλο λέγεται επίκυκλος. Διαβάζω στο λεξικό της κοινής νεοελληνικής, στην πύλη για την ελληνική γλώσσα, στο λήμμα επίκυκλος:

επίκυκλος ο: (μαθημ.) κύκλος του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια άλλου μεγαλύτερου κύκλου. [λόγ. < ελνστ.  ἐπίκυκλος]

2. Σε επόμενο άρθρο θα δούμε έναν όμορφο τρόπο να εμφανίζονται οι παραμετρικές σας καμπύλες στη GeoGebra.





M_48

10 02 2013
Marin Mersenne (1588 - 1648)

Marin Mersenne (1588 – 1648)

Το Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) είναι ένα συνεργατικό δίκτυο εθελοντών που χρησιμοποιεί λογισμικό το οποίο είναι ελεύθερα διαθέσιμο και εξειδικευμένο στην αναζήτηση πρώτων αριθμών του Mersenne. Πρώτοι αριθμοί Mersenne ονομάζονται οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2^p - 1, όπου p είναι κάποιος επίσης πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, ο πιο μικρός πρώτος αριθμός Mersenne M_1 είναι ο αριθμός 3, αφού 3=2^2-1, ο δεύτερος είναι ο M_2=7=2^3-1 κ.ο.κ.. Αυτοί οι αριθμοί γίνονται όλο και πιο σπάνιοι. Πριν από τέσσερα χρόνια είχαν ανακαλυφθεί μόλις 47. Στις 25 Ιανουαρίου 2013, ο Dr. Curtis Cooper, καθηγητής του πανεπιστημίου Central Missouri, ανακάλυψε τον 48ο πρώτο αριθμό του Mersenne, ο οποίος είναι ίσος με 2^{57.885.161} - 1 και έχει 17.425.170 ψηφία.

To GIMPS ίδρυσε ο George Woltman, ο οποίος επίσης κατασκεύασε το λογισμικό Prime95 και MPrime για το δίκτυο. Τον server του δικτύου Internet Prime Net κατασκεύασε ο Scott Kurowski. Οι εθελοντές του GIMPS, που ιδρύθηκε στα 1996, έχουν ανακαλύψει τους τελευταίους 14 πρώτους αριθμούς Mersenne, εκ των οποίων οι 10 τελευταίοι είναι και οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι αριθμοί. Το GIMPS είναι ένα από τα πρώτα και μεγαλύτερα project κατανεμημένων υπολογιστικών συστημάτων στο ίντερνετ που δημιουργήθηκαν για ερευνητικούς σκοπούς.

Αν επιθυμείτε να δώσετε τη μοναδική χαρά στους μαθητές σας να ανακαλύψουν έναν πρώτο αριθμό Mersenne, εμπλέκοντάς τους έτσι με έναν μοναδικό τρόπο στη μαθηματική έρευνα, δεν έχετε παρά να δηλώσετε συμμετοχή στο project, να κατεβάσετε το απαραίτητο λογισμικό και να ξεκινήσετε το ψάξιμο!

Δείτε στο παρακάτω βίντεο τη σχετική ομιλία του Adam Spencer στο TED Why I fell in love with monster prime numbers
 








Αρέσει σε %d bloggers: