καρδιοειδής | Μαθηματική Εκπαίδευση & Τεχνολογία

14 Φεβρουαρίου

2 05 2013

Το παιχνίδι με τα κέρματα
Όταν πήγαινα στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού μου άρεσε πάρα πολύ να παίζω ένα παιχνίδι με κέρματα. Κρατούσα σταθερό με το δάχτυλό μου ένα κέρμα πάνω στο τραπέζι και ακουμπούσα ένα δεύτερο κέρμα πάνω στο πρώτο. Έπειτα προσπαθούσα να περιστρέψω το δεύτερο κέρμα γύρω από το πρώτο, το σταθερό, όπως θα έκανε και μία ρόδα ποδηλάτου. Τώρα που το ξανασκέφτομαι, όλες οι ρόδες ποδηλάτων που κυλούν πάνω στον πλανήτη κάνουν ακριβώς αυτή τη δουλειά, αν αναλογιστεί κανείς πως και η Γη είναι στρόγγυλη! Βέβαια, τα κέρματα έχουν σχετικά συγκρίσιμες ακτίνες, ενώ από την άλλη η μέση ακτίνα της Γης είναι – με πρόχειρους υπολογισμούς – περίπου 18.202.857 φορές μεγαλύτερη από την ακτίνα του ποδηλάτου μου.

Η ρόδα του ποδηλάτου
Πολλά χρόνια αργότερα, μια άλλη – φαινομενικά ασύνδετη – απορία μου είχε γεννηθεί:

Τι καμπύλη διαγράφει ένα σημείο του λάστιχου ενός ποδηλάτου, καθώς αυτό κινείται σε μια ευθεία;

Ε λοιπόν, αυτή η καμπύλη ονομάζεται κυκλοειδής. Μπορείτε να τη δείτε στο παρακάτω animated gif που βρίσκεται στη σελίδα της κυκλοειδούς καμπύλης στην Wikipedia.

Κυκλοειδής καμπύλη – Εικόνα: Zorgit

Το περίεργο είναι ότι μέχρι τότε δεν είχα ακούσει ποτέ γι’ αυτήν, ευτυχώς όμως ήξερα αρκετά καλά τη Wolfram Mathematica ώστε να την προγραμματίσω για να μου δώσει την καμπύλη που ήθελα (δείτε εδώ την κυκλοειδή καμπύλη φτιαγμένη στη Mathematica από τον Eric Weisstein στον ιστότοπο Wolfram MathWorld).

Τα ρίχνουμε όλα στο μπολ μας…
Πολύ ωραία. Γιατί δε συνδυάζουμε λοιπόν το παιχνίδι με τα κέρματα, με την ερώτηση για τη ρόδα του ποδηλάτου; Αν το κάναμε, θα παίρναμε μια ερώτηση που μοιάζει με αυτήν εδώ:

Ποια καμπύλη διαγράφει ένα σταθερό σημείο ενός κύκλου ο οποίος κυλάει πάνω σε έναν άλλο κύκλο;

Ωραία ερώτηση!

Μια απάντηση
Ζητούμενο εδώ λοιπόν είναι να εντοπίσουμε αυτήν την καμπύλη, η οποία όμως, όπως μπορεί να καταλάβει οποιοσδήποτε έχει παίξει το παιχνίδι με τα κέρματα, είναι διαφορετική για κάθε ζευγάρι κερμάτων. Το σχήμα της καμπύλης δηλαδή, εξαρτάται από το μέγεθος των κύκλων. Όπως και να ‘χει το όνομά της είναι επικυκλοειδής, και αυτή η ελληνική λέξη χρησιμοποιείται σε όλον τον κόσμο για να περιγραφεί τούτη η καμπύλη.

Παρακάτω μπορείτε να δείτε την επικυκλοειδή καμπύλη που σχηματίζουν δύο ίσοι κύκλοι. Αυτή λέγεται καρδιοειδής καμπύλη γιατί μοιάζει με μια καρδιά. Όταν ο κύκλος που κυλάει έχει ακτίνα μισή από αυτή του σταθερού κύκλου, τότε σχηματίζονται δύο γωνιακά σημεία στην καμπύλη, που τώρα λέγεται νεφροειδής γιατί μοιάζει με δύο νεφρά. Αν η ακτίνα του κύκλου που κυλάει είναι τρεις φορές μικρότερη από την ακτίνα του σταθερού κύκλου, τότε η καμπύλη που σχηματίζεται έχει τρία γωνιακά σημεία κ.ο.κ.. Αναλογίζομαι ότι αν κατάφερνα ποτέ να κάνω το γύρο του κόσμου πάνω στο ποδήλατό μου διαγράφοντας ένα μέγιστο κύκλο, τότε η βαλβίδα της ρόδας μου θα διέγραφε μια επικυκλοειδή καμπύλη με 18 εκατομμύρια (και κάτι) γωνιακά σημεία!

Καρδιοειδές – Εικόνα: WojciechSwiderski

Στις εικόνες που ακολουθούν εμφανίζονται οι επικυκλοειδείς καμπύλες που σχηματίζονται όταν ο εξωτερικός κύκλος που κυλάει¹ έχει ακτίνα (α) ίση, (β) μισή, (γ) υποτριπλάσια, (δ) υποτετραπλάσια της ακτίνας του σταθερού κύκλου.

: (α)

: (β)

: (γ)

: (δ)

Για τους… μικρούς
Για να δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καρδιοειδή καμπύλη με απλά γεωμετρικά εργαλεία σε ένα Περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας (ΠΔΓ), όπως η GeoGebra. Η διαδικασία είναι απλή, κατ’ επέκταση κατάλληλη για μικρούς μαθητές, ακόμη και του Δημοτικού σχολείου. Βέβαια, δεν εννοώ σε καμία περίπτωση ότι μαθητές Δημοτικού θα μπορούσαν να εμπλακούν με τα μαθηματικά της καρδιοειδούς καμπύλης, όμως η κατασκευή της και μόνο – σε κατάλληλο ΠΔΓ και με έναυσμα το παιχνίδι με τα κέρματα, ή το ποδήλατο – μπορεί να αποτελέσει μια εισαγωγή σε έννοιες όπως κύκλος (κέντρο, ακτίνα), ίσες γωνίες, σημείο, κίνηση, γεωμετρικός τόπος κλπ.. Δείτε το βίντεο.

Σε περίπτωση που αναρωτιέστε γιατί οι γωνίες α και β είναι μεταξύ τους ίσες, κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα.Καθώς το κέντρο Λ του επίκυκλου (Λ,ρ) μετακινείται μέχρι τη θέση Λ’, τα διαδοχικά σημεία επαφής των δύο κύκλων σχηματίζουν τα τόξα ΑΒ και Α’Β επί των δύο κύκλων (Κ,ρ) και (Λ,ρ) αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε τώρα ότι οι γωνίες α και β είναι εκφρασμένες σε ακτίνια (rad), τα μήκη των τόξων θα είναι:

$\mathrm{AB} =\alpha\cdot\rho$ και $\mathrm{A'B}=\beta\cdot\rho$

Επειδή όμως τα τόξα είναι ίσα, προκύπτει ότι: $\alpha\cdot\rho=\beta\cdot\rho$ , απ’ όπου τελικά έχουμε ότι $\alpha = \beta$ .

Για τους λίγο μεγαλύτερους
Η κατασκευή με τη βοήθεια ΠΔΓ δίνει μια πρώτης τάξεως ευκαιρία να υπολογιστούν οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης. Παρατηρείστε πόσο εύκολα μπορεί να δομηθεί ένα φύλλο εργασίας με εύστοχες και διαδοχικές ερωτήσεις που θα οδηγήσουν στο ζητούμενο, εν προκειμένω την κατασκευή των παραμετρικών εξισώσεων.

Παρακάτω ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ είναι ο σταθερός κύκλος και αυτός με κέντρο το σημείο Λ είναι ο επίκυκλος. Το σημείο Α’ είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, μιας που διαγράφει την καρδιοειδή καμπύλη καθώς ο επίκυκλος συμπληρώνει μία πλήρη περιστροφή γύρω από το σταθερό κύκλο (Κ, ρ=1).

Ε: Τι σχέση έχουν οι γωνίες α και γ του σχήματος;
Α: Οι δύο γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ.
Ε: Πώς μπορεί να εκφραστεί η γωνία ω με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Επειδή οι γωνίες α, β και γ είναι ίσες, η γωνία $\omega=\pi -\beta - \gamma =\pi-2\alpha$
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Λ, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Γνωρίζουμε ότι:

$\cos\alpha=\frac{x_\Lambda}{2}$ και $\sin\alpha=\frac{y_\Lambda}{2}$

Οπότε, οι συντεταγμένες του σημείου Λ είναι $(2\cos\alpha, 2 \sin\alpha)$ .
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α’, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΛΗ και ΛΖ είναι:

$(\Lambda \mathrm{H})=\cos\omega=\cos (\pi-2\alpha)=-\cos(2\alpha)$
$(\Lambda \mathrm{Z})=\sin (\pi - 2 \alpha) = \sin(2\alpha)$

Και επειδή $x_{A'} = x_\Lambda + (\Lambda \mathrm{H})$ θα είναι: $x_{A'}=2\cos\alpha-\cos(2\alpha)$ .
Επίσης, θα είναι: $y_{A'}=y_\Lambda - (\Lambda \mathrm{Z})$ , οπότε $y_{A'}=2\sin\alpha - \sin(2\alpha)$ .

Αυτό που καταφέραμε είναι να εκφράσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α’ με τη βοήθεια της γωνίας α, κατασκευάσαμε δηλαδή τις παραμετρικές συντεταγμένες της καρδιοειδούς μας καμπύλης, οι οποίες είναι:

$x=2\cos\alpha-\cos(2\alpha)$
$y=2\sin\alpha -\sin(2\alpha)$

Αν καταφέρουμε να απαλείψουμε την παράμετρο $\alpha$ από τις παραπάνω εξισώσεις, θα προκύψει η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης. Έγραψα σε ένα κίτρινο χαρτί:

Να λοιπόν η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης μας:

$(x^2+y^2-3)^2=4(3-2x)$ .

Η GeoGebra έχει τη δυνατότητα να σχεδιάζει πεπλεγμένες καμπύλες, οπότε αν εισάγετε την παραπάνω εξίσωση, θα πάρετε αυτό το αποτέλεσμα:Και μιας που στην εξίσωση εμφανίζεται το άθροισμα $x^2+y^2$ , που στο μυαλό μου είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το μέτρο του μιγαδικού $z=x+yi$ , με $x,y \in \mathbb{R}$ , σκέφτομαι πως αν θέλαμε να εκφράσουμε την καρδιοειδή ως ένα γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού $z$ , τότε αυτός θα έπρεπε να επαληθεύει τη σχέση

$\big( z\bar{z} - 3 \big)^2=4 \big( 3 - (z + \bar{z}) \big)$

Αν πάλι θέλαμε να εκφράσουμε το μιγαδικό $z$ με τη βοήθεια της παραμέτρου $\alpha$ που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω, τότε δεν έχουμε παρά να αναλογιστούμε ότι:

$z=2\cos \alpha - \cos (2\alpha) + i(2 \sin \alpha - \sin (2 \alpha ))$ , ή
$z = 2(\cos \alpha + i \sin \alpha) - (\cos (2 \alpha) + i \sin (2 \alpha))$ , ή
$z=2 e^{i \alpha} - e^{2 i \alpha}$

Αν αφαιρέσουμε τη μονάδα και από τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης, ομορφαίνουν τα πράγματα:

$z - 1 = -( e^{i \alpha} - 1)^2$
$z = 1 - (e^{i \alpha} - 1)^2$ ²

Και οι διερευνήσεις βέβαια, δε σταματούν εδώ. Είναι εντυπωσιακές οι εκπαιδευτικές προεκτάσεις που μπορεί να πάρει η μελέτη μιας καμπύλης όπως η καρδιοειδής. Καθόλου άσχημα για μια καμπύλη που αρχικά μελετήθηκε από τον Δανό αστρονόμο Ole Rømer στα 1674, προκειμένου να λύσει ένα άκρως πρακτικό πρόβλημα, αυτό της βέλτιστης μορφής της οδόντωσης γραναζιών.

Αναφορές
WEISSTEIN, ERIC W. «Cycloid» from MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html

Δείτε επίσης
Η καρδιοειδής στο MacTutor
Η καρδιοειδής στο Wolfram MathWorld
Η καρδιοειδής στο Xah’s math blog

1. Ο κύκλος που κυλάει επάνω στο σταθερό κύκλο λέγεται επίκυκλος. Διαβάζω στο λεξικό της κοινής νεοελληνικής, στην πύλη για την ελληνική γλώσσα, στο λήμμα επίκυκλος:

επίκυκλος ο: (μαθημ.) κύκλος του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια άλλου μεγαλύτερου κύκλου. [λόγ. < ελνστ. ἐπίκυκλος]

2. Σε επόμενο άρθρο θα δούμε έναν όμορφο τρόπο να εμφανίζονται οι παραμετρικές σας καμπύλες στη GeoGebra.

Σχόλια : 4 Σχόλια »
Ετικέτες: παραμετρικές εξισώσεις, επικυκλοειδής, καρτεσιανή εξίσωση, καρδιοειδής, καμπύλη
Kατηγορίες : Διδακτικές Προσεγγίσεις

Μαθηματική Εκπαίδευση & Τεχνολογία

14 Φεβρουαρίου

Κοινοποιήστε:

Σύνδεσμοι