GeoGebra για ταμπλέτες

14 10 2012

Το νέο σχέδιο της GeoGebra είναι να εκδώσει το λογισμικό σε μορφή που να τρέχει σε υπολογιστές ταμπλέτες (iPad και Android). Γι’ αυτό τους το σχέδιο οι προγραμματιστές της GeoGebra έχουν ανεβάσει αντίστοιχη σελίδα στο KICKSTARTER. Παρόλο που έχει ξεπεραστεί ο αρχικός στόχος, ο οποίος ήταν να συγκεντρωθούν $10.000, αν θέλετε να συνδράμετε έχετε ακόμη πέντε ημέρες να το κάνετε, ενώ η προσφορά σας δεν μπορεί να είναι μικρότερη από ένα δολάριο. Για περισσότερες πληροφορίες, ακολουθείστε το link.

Advertisements




ebook: 3+1 ψηφιακά εργαλεία

24 06 2012

κάντε κλικ στην εικόνα για να ανοίξετε το ebook

Στο ηλεκτρονικό βιβλίο «3+1 ψηφιακά εργαλεία που δεν πρέπει να λείπουν από την τάξη των μαθηματικών» προσπαθώ να μιλήσω για τις νέες τεχνολογίες και τα ψηφιακά εργαλεία που υπάρχουν σήμερα ελεύθερα στο διαδίκτυο. Γραμμένο σε απλά ελληνικά και με πολλά παραδείγματα, το ηλεκτρονικό βιβλίο προσπαθεί να εξηγήσει τα «πώς;» και τα «γιατί;» της εισαγωγής των ψηφιακών μέσων στη μαθησιακή διαδικασία. Αποτελεί ουσιαστικά μια συλλογή άρθρων αυτού του blog, τα οποία έχουν εμπλουτιστεί ή τροποποιηθεί ελαφρώς. Βασιζόμενος στη βιβλιογραφία προσπαθώ να καταδείξω τα οφέλη που μπορούν να αποκομίσουν οι μαθητές από τις νέες τεχνολογίες, αλλά και να προσφέρω στον αναγνώστη μια πληθώρα σχετικών συνδέσμων με το κάθε εργαλείο. Τα εργαλεία με τα οποία καταπιάνεται το ebook είναι: GeoGebra, FreeMind, Cmap Tools και Google SketchUp.

Μπορείτε να διαβάσετε το ebook κάνοντας κλικ στην παραπάνω εικόνα. Αν έχετε τις δικές σας προτάσεις για εργαλεία που δεν έχουν συμπεριληφθεί, ή έχετε κάποιες ιδέες  για να βελτιωθεί αυτός ο οδηγός, αφήστε ένα σχόλιο.





Οι κωνικές τομές ως γεωμετρικοί τόποι

16 03 2011

Μια αρχική παρουσίαση των κωνικών τομών (ως τομές ενός διπλού κώνου και ενός επιπέδου) με τη βοήθεια υπολογιστή μπορεί να βασιστεί σε μια παρουσίαση του Wolfram Demonstrations Project. Σημειώστε ότι για να διαχειριστείτε δυναμικά την παρουσίαση, θα πρέπει να έχετε εγκαταστήσει στον υπολογιστή σας τον Wolfram CDF Player. Αν πάλι δεν έχετε υπολογιστή στην τάξη σας, ή για κάποιο λόγο δεν μπορείτε να εγκαταστήσετε το CDF Player, ένας φακός που φωτίζει υπό διάφορες γωνίες τον τοίχο αρκεί για την παρουσίαση. Το μόνο πρόβλημα που θα ανακύψει, βέβαια, είναι η περίπτωση της υπερβολής. Εκεί ένας δεύτερος φακός είναι αναγκαίος για να προσομοιωθεί ο διπλός κώνος. Θα χρειαστείτε επίσης κολλητική ταινία για να στερεώσετε τους φακούς μεταξύ τους.

Όμως, είναι επίσης χρήσιμο να παρουσιαστούν οι κωνικές τομές ως γεωμετρικοί τόποι. Σ’ αυτήν την περίπτωση η εξαιρετική ιδέα με το φακό (μου τη μετέφερε ένας μαθητής μου) δεν μπορεί να βοηθήσει πολύ. Η απαίτηση για κίνηση καθιστά τον υπολογιστή απαραίτητο εργαλείο. Παρακάτω περιγράφω τη διαδικασία που ακολούθησα στη GeoGebra για να κατασκευάσω το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από μια ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής. Για να απλοποιήσω την κατασκευή της παραβολής πήρα την εστία της πάνω στον οριζόντιο άξονα και τη διευθετούσα της κάθετη σ’ αυτόν.

  1. Όρισα ένα σημείο Ε πάνω στον άξονα x'x (εστία).
  2. Πήρα το συμμετρικό του Ε’ ως προς την αρχή των αξόνων.
  3. Όρισα μια ευθεία a, κάθετη στον x'x που διέρχεται από το Ε’ (διευθετούσα).
  4. Όρισα μια ημιευθεία AC και εξαφάνισα το σημείο C. Έπειτα όρισα ένα σημείο Β που κινείται πάνω στην ημιευθεία.
  5. Κατασκεύασα ένα κύκλο c με κέντρο το Ε και ακτίνα ίση με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ως εξής:
    «Κύκλος με κέντρο και ακτίνα» \rightarrow κλικ στο σημείο Ε \rightarrow Ακτίνα: Τμήμα[Α,Β]
  6. Κατασκεύασα ένα κύκλο d με κέντρο το Ε’ και ακτίνα ίση με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
  7. Έφερα την εφαπτομένη f στον κύκλο d από το σημείο τομής του με τον άξονα x'x (που βρίσκεται προς το μέρος της εστίας) και έπειτα εξαφάνισα τον κύκλο d.
  8. Μεγάλωσα αρκετά το τμήμα ΑΒ, ώστε ο κύκλος c και η ευθεία f να τέμνονται. Όρισα τα σημεία τομής τους.
  9. Ενεργοποίησα τα ίχνη των σημείων τομής ως εξής:
    Δεξί κλικ σε κάθε σημείο \rightarrow κλικ στην επιλογή «Ίχνος ενεργό»
  10. Μετακίνησα το σημείο Β στην ημιευθεία για να σχηματίσω το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από την ευθεία a και το σημείο Ε.

Σημ.: Για να μην εμφανίζονται ο κύκλος c και η ευθεία f παρά μόνον όταν τέμνονται, πρέπει αυτό να αναφερθεί στον «Όρο για την εμφάνιση του αντικειμένου». Ακολουθώ την εξής διαδικασία: Δεξί κλικ στο αντικείμενο (κύκλος ή ευθεία) \rightarrow Ιδιότητες \rightarrow Καρτέλα «Σύμβουλος» \rightarrow Όρος για εμφάνιση του αντικειμένου: Τμήμα[Α,Β] > Τμήμα[Ο,Ε].

Μπορείτε να βρείτε το αρχείο που κατασκεύασα στον προσωπικό μου φάκελο στο GeoGebra Upload Manager, καθώς επίσης και άλλα δύο αρχεία για την κατασκευή της έλλειψης και της υπερβολής με παρόμοιο τρόπο (τα αρχεία είναι: parabola_construction.ggb, ellipse_construction.ggb και hyperbola_construction.ggb).





Τραπέζιο στη GeoGebra – η κατασκευή ενός εργαλείου

22 04 2010

Τις προάλλες χρειάστηκε να σχεδιάσω ένα τραπέζιο στη GeoGebra. Το γεγονός ότι δεν υπάρχει αντίστοιχο εργαλείο στην αρχική εγκατάσταση καθιστά το σχεδιασμό μια μάλλον χρονοβόρα διαδικασία. Αποφάσισα λοιπόν ότι προτιμότερο θα ήταν να κατασκευάσω εγώ δύο εργαλεία που θα σχεδιάζουν τραπέζια και ισοσκελή τραπέζια, αντίστοιχα [1]. Η διαδικασία κατασκευής ενός εργαλείου στη GeoGebra είναι πολύ απλή. Το μόνο που χρειάζεται να έχει κανείς κατά νου είναι ο χρήστης και τα στοιχεία που θα χρειαστεί να εισάγει κάθε φορά που θα χρησιμοποιεί το συκγεκριμένο εργαλείο. Το βίντεο που ακολουθεί περιγράφει τη διαδικασία.

Τα δύο εργαλεία που κατασκευάστηκαν μπορεί κανείς να βρει εδώ.

Αυτό που με προβληματίζει είναι το τρίτο σημείο στη σειρά κατασκευής (το σημείο C στο Σχήμα 1), το οποίο μετά το σχεδιασμό του τραπέζιου χρειάζεται μεν ώστε να ορίζει τη μη παράλληλη πλευρά ΒΕ, αλλά δεν αποτελεί κορυφή του. Επομένως αν χρειαστεί να εκτυπωθεί για παράδειγμα το σχήμα, ο χρήστης θα πρέπει πρωτίστως να εξαφανίσει το σημείο απενεργοποιώντας την εντολή «Δείξε το αντικείμενο». Ίσως ξεπεραστεί το προβληματάκι στην επόμενη έκδοση (v.2) του εργαλείου!

snapshot 55

Σχήμα 1

Σημειώσεις

[1] Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το σχεδιασμό εργαλείων μπορείτε να βρείτε στην ελληνική μετάφραση του εγχειριδίου της GeoGebra που θα βρείτε εδώ, καθώς και στο επίσημο εγχειρίδιο χρήσης της έκδοσης 3.2 που βρίσκεται εδώ (στα αγγλικά).





Αυτά δεν είναι μαθηματικά… είναι τέχνη!

29 03 2010

Δεν περίμενα να ακούσω ποτέ κάτι ανάλογο καθώς θα δουλεύαμε τη λύση άσκησης παραμετρικού συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Εδώ που τα λέμε, δεν πιστεύω ότι θα γινόταν χωρίς τη βοήθεια του υπολογιστή. Το έναυσμα έδωσε η απόκριση που πήρα σε μια ερώτησή μου σχετικά με τη γεωμετρική φύση ενός παραμετρικού συστήματος: πρόσωπα με μια έκφραση απορίας παρόμοια με αυτή του Ζήκου στη φωτο δίπλα. Όταν τα πράγματα φτάνουν εκεί και η ερώτηση είναι σχετική με γραμμές, η δυναμική γεωμετρία αναλαμβάνει τη διάσωση.

Για να πάρω όμως τα πράγματα από τη αρχή πρέπει να αναφέρω ότι η άσκηση που συζητούσαμε ήταν του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Α’ Λυκείου (Ανδρεαδάκης κ.ά., 2004):

Για τις διάφορες τιμές του \mu να λύσετε το σύστημα: \left\{ \begin{matrix}(\mu -2) x + 5 y = 5\\x + (\mu + 2) y = 5 \end{matrix} \right., (σελ. 109)

Παραθέτω μια σύντομη αλγεβρική λύση:

Υπολογίζω αρχικά τις ορίζουσες του συστήματος:

\mathrm D=\left| \begin{matrix} \mu - 2&5\\1&\mu +2 \end{matrix} \right| = (\mu - 3)(\mu +3)

\mathrm D_{x} =\left| \begin{matrix} 5&5\\5&\mu +2  \end{matrix} \right| = 5(\mu -3)

\mathrm D_{y} =\left| \begin{matrix} \mu - 2 &5\\1&5 \end{matrix} \right| = 5(\mu -3)

  • Αν \mu \neq 3 και \mu \neq -3 το σύστημα έχει μοναδική λύση: (x,y)=\left( \frac{5}{\mu + 3},\frac{5}{\mu + 3} \right)
  • Αν \mu = -3 το σύστημα είναι αδύνατο.
  • Αν \mu = 3 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x,y)=(5-5k,k), k \in \mathbb{R}

Να τι έκανα στη GeoGebra για να βοηθήσω τους μαθητές μου, οπτικοποιώντας τα παραπάνω αλγεβρικά αποτελέσματα:

Μπορείτε να δείτε το java applet που παράχθηκε από αυτή τη διαδικασία εδώ.

Αναφορές

ΑΝΔΡΕΑΔΑΚΗΣ, Σ. κ.ά. 2004. Άλγεβρα – Α’ τάξη Ενιαίου Λυκείου. Αθήνα: ΟΕΔΒ





Η δυναμική κίνηση στην ανάλυση – μια επιτυχημένη ιστορία

4 02 2010

Σήμερα μια μαθήτριά μου μου εξήγησε ότι δυσκολευόταν να κατανοήσει πώς μπορεί να εντοπίσει το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με τη βοήθεια της γραφικής της παράστασης. Είναι ένα θέμα που συχνά δυσκολεύει τους μαθητές και θεωρώ πως η δυναμική κίνηση μπορεί να συμβάλει σημαντικά στην αποσαφήνισή του. Ξεκινήσαμε λοιπόν να κουβεντιάζουμε το θέμα και αφού θεμελιώσαμε το γεγονός ότι το σύνολο των τετμημένων όλων των σημείων της γραφικής παράστασης είναι ουσιαστικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, συζητήσαμε για την προβολή της γραφικής παράστασης πάνω στον οριζόντιο άξονα. Μαζί με όλα αυτά, εγώ έφερα ταυτόχρονα πάνω στο χαρτί κάθετες στον οριζόντιο άξονα από διάφορα σημεία της γραφικής μας παράστασης για να καταδείξω τον τρόπο με τον οποίο γίνεται η προβολή. Κανένα αποτέλεσμα, η δυσκολία επέμενε. Ανοίγω λοιπόν τη GeoGebra και κάνω τα εξής:

  1. Σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της \mathrm f(x)=-x^2 + 3, για -4 \leq x \leq 2.
  2. Θεωρώ ένα σημείο Α πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
  3. Φέρω κάθετη από το Α στον οριζόντιο άξονα.
  4. Ονομάζω Β το σημείο τομής της κάθετης και του οριζόντιου άξονα.
  5. Ενεργοποιώ το ίχνος του σημείου Β και σέρνω το Α σε όλη τη γραφική παράσταση της \mathrm f.

Αυτό ήταν! Εξήγησα ότι το γκρι κομμάτι του οριζόντιου άξονα που δημιουργήθηκε από το ίχνος της καθέτου πάνω σε αυτόν ήταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η μαθήτριά μου το κατάλαβε αμέσως! Πραγματικά ενθουσιάστηκα από την άμεση απόκρισή της. Δεν περίμενα ότι η διαδικασία θα είχε τόσο άμεσο αντίκτυπο στην αντίληψή της. Αναθάρρησα. Σειρά είχε το σύνολο τιμών της συνάρτησης, έτσι λοιπόν έκανα την ίδια δουλειά στον κατακόρυφο άξονα.

Να σημειώσω εδώ ότι η κουβέντα που κάναμε ήταν διεξοδικότατη και ήταν φανερό πως η μαθήτρια δεν είχε γνωστικά κενά που θα την εμπόδιζαν να κατανοήσει ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης παίρνει την πρώτη θέση σ’ ένα διατεταγμένο ζεύγος που αργότερα θα μετουσιώνονταν σε σημείο του καρτεσιανού επιπέδου. Είχε μάλιστα δεχτεί ότι μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Επίσης γνώριζε πώς να προβάλει σημεία πάνω σε ευθείες. Θέλω να πω πως το θεωρητικό υπόβαθρο ήταν εκεί, έλειπε όμως ένας συνεκτικός κρίκος. Αυτό το ρόλο ζήτησα από τη GeoGebra να παίξει σήμερα – του συνεκτικού κρίκου – και τα κατάφερε θαυμάσια!





Η δυναμική κίνηση στην ανάλυση

27 01 2010

Υπάρχουν στοιχεία που υποστηρίζουν ότι η εισαγωγή λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας διαφοροποιεί το μαθηματικό λόγο δασκάλου και μαθητών στην τάξη (Sinclair and Yurita, 2008), οπότε κατ’ επέκταση επιδρά στη μαθηματική τους σκέψη. Κάποιες ασκήσεις ή κομμάτια της θεωρίας στην ανάλυση θα μπορούσαν να παρουσιαστούν εξαιρετικά με τη συνδρομή της δυναμικής κίνησης. Προσωπικά πιάνω τον εαυτό μου πολλές φορές να σκέφτομαι πώς θα τα παρουσίαζα στους μαθητές μου με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού. Τις προάλλες λοιπόν, καθώς λύναμε μια άσκηση (Μπάρλας, 2004), αντιλήφθηκα ότι θα ήταν εξαιρετικά χρήσιμη η οπτικοποίησή της με τη βοήθεια της GeoGebra. Η άσκηση είναι η εξής:

Να βρείτε την τιμή του \lambda >0 για την οποία η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \mathrm f(x)=x^{\lambda} e^{2\lambda -x}, x>0 γίνεται ελάχιστη (σελ. 149).

Παραθέτω μια πρόχειρη λύση της άσκησης.

Καταρχήν εξετάζω ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της τη συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη για κάθε x>0 με πρώτη παράγωγο:
\mathrm f'(x)=x^{\lambda - 1} e^{2\lambda - x} (\lambda - x)

Οπότε:
\mathrm f'(x)=0 \Leftrightarrow \lambda - x = 0 \Leftrightarrow x=\lambda
\mathrm f'(x)>0 \Leftrightarrow \lambda - x > 0 \Leftrightarrow x<\lambda
\mathrm f'(x)<0 \Leftrightarrow \lambda - x < 0 \Leftrightarrow x>\lambda

Άρα:
η συνάρτηση \mathrm f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,\lambda] και γνησίως φθίνουσα στο [\lambda,+\infty), ενώ στη θέση x=\lambda παρουσιάζει μέγιστο, το οποίο είναι ίσο με \mathrm f(\lambda)=\lambda^{\lambda} e^{\lambda}.

Η μέγιστη τιμή \mathrm f(\lambda) της συνάρτησης \mathrm f γίνεται ελάχιστη στην ίδια θέση που ελάχιστη γίνεται και η συνάρτηση \mathrm g(t)=t^{t} e^t, t>0.

Η \mathrm g είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με πρώτη παράγωγο:
g'(t)=t^{t} e^{t} (2+\ln t), t>0.

Οπότε:
\mathrm g'(t)=0 \Leftrightarrow 2+\ln t = 0 \Leftrightarrow t=e^{-2}
\mathrm g'(t)>0 \Leftrightarrow 2+\ln t > 0 \Leftrightarrow t>e^{-2}
\mathrm g'(t)<0 \Leftrightarrow 2+\ln t < 0 \Leftrightarrow t<e^{-2}

Άρα:
η συνάρτηση \mathrm g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,e^{-2}] και γνησίως αύξουσα στο [e^{-2},+\infty), ενώ στη θέση t=e^{-2} παρουσιάζει ελάχιστο.

Τελικά, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \mathrm f γίνεται ελάχιστη για \lambda = e^{-2}.♦

Η αλήθεια είναι ότι είναι λιγάκι περίεργο μια μέγιστη τιμή να γίνεται ελάχιστη! Θα προσπαθήσω με τη βοήθεια της GeoGebra να αποτυπώσω γεωμετρικά τι συμβαίνει στο παρακάτω βίντεο:

Πιστεύω ότι με τέτοιες πρακτικές παράλληλης υποστήριξης της μάθησης με κατάλληλα ηλεκτρονικά μέσα, δίνουμε τη δυνατότητα στο μαθητή να επεξεργαστεί και να κατανοήσει πολυδιάστατες έννοιες, όπως αυτές της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης, της παραμέτρου, του μέγιστου και του ελάχιστου.

Αναφορές

ΜΠΑΡΛΑΣ, Α. 2004. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης – Τεύχος Β’. Αθήνα: Ελληνοεκδοτική.

SINCLAIR, N. and V. YURITA. 2008. To be or to become: how dynamic geometry changes discourse. Research in Mathematics Education. 10 (2), pp. 135-150.








Αρέσει σε %d bloggers: