Για τη νοητική διασύνδεση των πολλαπλών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης

20 10 2011

Το άρθρο του Νίκου Δαπόντε Οι πίνακες τιμών: ένας γόνιμος τρόπος αναπαράστασης μιας κίνησης ήρθε την κατάλληλη στιγμή. Βλέπετε, αυτόν τον καιρό με απασχολούν πολύ οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές όταν χρειάζεται να «μεταγλωττίσουν» αλγεβρικές σε γεωμετρικές έννοιες. Αυτοί οι προβληματισμοί μου πάντα αναδύονται την περίοδο που βρισκόμαστε στις εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων με τους μαθητές της Γ’ Λυκείου, αλλά και στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τους μαθητές της Β’ Λυκείου. Η κατασκευή της ημιτονοειδούς καμπύλης (ένα θέμα με το οποίο έχω ασχοληθεί και εδώ), η γεωμετρική επίλυση μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης, η κλίση της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης ως παράγωγος και τόσα άλλα γεωμετρικά ζητήματα που εγείρονται στη μελέτη της Άλγεβρας και της Ανάλυσης φαντάζουν τουλάχιστον εξωγήινα σε μια μεγάλη μερίδα μαθητών (και μη μου πείτε ότι δεν είναι έτσι τα πράγματα).

Για να σκεφτούμε όμως λιγάκι, γιατί είναι έτσι τα πράγματα; Γιατί δεν έχουν γίνει οι κατάλληλες νοητικές διασυνδέσεις ανάμεσα στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις από τους μαθητές; Το θέμα βέβαια είναι τεράστιο και υπάρχει μεγάλος όγκος σχετικής αρθρογραφίας σε επιστημονικά περιοδικά. Για να δώσω τη δική μου προσέγγιση και να καταφέρω να διαπραγματευτώ μια λύση, θα ανατρέξω στη ρίζα του. Πρώτη φορά στη μαθητική του καριέρα, ένα παιδί έρχεται σε επαφή με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στη Β’ Γυμνασίου. Στις Οδηγίες για τη διδασκαλία των θετικών μαθημάτων των Α’, Β’ και Γ’ τάξεων ημερήσιου και εσπερινού Γυμνασίου για το σχολικό έτος 2011 – 2012 αναγράφεται για τη σχετική παράγραφο 3.2 «Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης» του πρώτου μέρους του σχολικού βιβλίου:

§3.2 (Να διατεθούν 3 ώρες)

Να δοθούν ασκήσεις και προβλήματα με γραφικές παραστάσεις τις οποίες θα πρέπει οι μαθητές να «διαβάσουν» για να βρουν ποιες τιμές του y αντιστοιχούν σε δεδομένες τιμές του x και αντιστρόφως. Τέτοιες είναι η ερώτηση 5, η καμπύλη θερμοκρασίας ενός τόπου (§4.5 του νέου σχολικού βιβλίου της Α’ Λυκείου) και άλλες που μπορούν να αναζητηθούν στο διαδίκτυο.
Να μη διδαχθούν οι εφαρμογές 2 (συμμετρικό σημείου) και 3 (τύπος απόστασης σημείων), οι ερωτήσεις κατανόησης 3, 4 και οι ασκήσεις 3, 5 και 6. Στις ασκήσεις 4 και 7 μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα και όχι ο τύπος απόστασης σημείων. Αντίθετα να δοθεί έμφαση στην εφαρμογή 4 και στις ασκήσεις 8, 9 και 10.

Καταλαβαίνει λοιπόν κανείς, με μια δεύτερη ανάγνωση, ότι το βάρος εδώ δίνεται στην εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Η ίδια η κατασκευή της γραφικής παράστασης μάλλον έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Είναι λογικό εξάλλου, αφού στην παρούσα φάση κάτι τέτοιο απαιτεί την κοπιώδη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών. Στις περιπτώσεις που ζητείται από το μαθητή να κατασκευάσει μια γραφική παράσταση (ασκήσεις 8, 9 και 10) ο πίνακας τιμών είναι έτοιμος, ενώ σε μία μόνο περίπτωση ο μαθητής καλείται να κατασκευάσει έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του τύπου της συνάρτησης (δραστηριότητα 1). Οπότε οι ασκήσεις 8, 9 και 10 μάλλον αποσυνδέουν τον τύπο μιας συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση, παρά καταφέρνουν να δημιουργήσουν την εντύπωση στο μαθητή ότι πρόκειται για δύο αναπαραστάσεις της ίδιας σχέσης (αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ως τέτοια). Αυτή η αποσύνδεση ενδεχομένως να είναι θεμιτή σε μεγαλύτερες τάξεις, εκεί που για παράδειγμα μπορεί μια συνάρτηση να μην εκφράζεται με έναν αναλυτικό τύπο, αλλά παρόλα αυτά είμαστε σε θέση να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση (π.χ. την αντίστροφη συνάρτηση της \textrm{f}(x) = e^x + \ln x – θα αναφερθώ σε επόμενο άρθρο σε αυτή τη διαδικασία). Θεωρώ όμως ότι στην παρούσα φάση, κάτι τέτοιο δεν εξυπηρτεί τους διδακτικούς στόχους που έχει θέσει το ίδιο το υπουργείο, σύμφωνα με το οποίο οι πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης (λεκτική διατύπωση, γραφική παράσταση, αλγεβρικός τύπος, πίνακας τιμών) γίνονται αντικείμενο συστηματικής διαπραγμάτευσης. Εξάλλου, η κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης από ένα πίνακα τεσσάρων ή πέντε τιμών, δημιουργεί τη λανθασμένη εντύπωση ότι μια συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως θα περιμέναμε, δηλαδή ότι η γραφική της παράσταση είναι μια λεία καμπύλη που ακολουθεί ομαλά το νοητό μονοπάτι που δημιουργούν τα σημεία του πίνακα τιμών, όπως ο Κοντορεβυθούλης τα πετραδάκια του!

Είναι εμφανές ότι η επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου μιας συνάρτησης αποκλείει τους μαθητές από την κατασκευή τους και κατ’ επέκταση τη δημιουργία νοητικών διασυνδέσεων ανάμεσα στις πολλαπλές εκφάνσεις μιας συνάρτησης. Παράλληλα, σε αυτό το στάδιο ο ίδιος ο υπολογισμός της αριθμητικής τιμής μιας συνάρτησης για κάποιο x δε βρίσκεται στην καρδιά των διδακτικών στόχων. Προτείνω επομένως, αμέσως μετά τις δραστηριότητες που οι μαθητές χειρονακτικά συμπληρώνουν έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου κάποιας συνάρτησης, να ανατίθεται η όλη διαδικασία στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Από τους μαθητές μπορεί να ζητείται η «μεταγλώττιση» της συνάρτησης σε κώδικα.

Μια τέτοια ενέργεια έχει τα εξής προτερήματα:

  1. Καθιστά τη συμπλήρωση του πίνακα τιμών μια διαδικασία που δεν καταναλώνει πολύ χρόνο.
  2. Δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατασκευάσουν μεγάλους πίνακες τιμών.
  3. Ο αυτόματος υπολογισμός πολλών τιμών της συνάρτησης δίνει την αίσθηση ότι η συνάρτηση είναι μια διαδικασία και ότι δεν απαιτείται εκ των προτέρων μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής που θα «νοηματοδοτήσει» τη συνάρτηση, αφού χειρονακτικά μονάχα με αυτήν ο τύπος της μπορεί να δουλευτεί για να παράξει μια τιμή (Thompson, 1994).
  4. Η πληθώρα των σημείων που μπορεί να παραχτεί με τη βοήθεια του υπολογιστή ισχυροποιεί την έννοια της συνέχειας (ή της μη συνέχειας) στη σχηματιζόμενη καμπύλη.
  5. Μπορούν να δοθούν παραδείγματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν ακολουθεί το λείο μονοπάτι που θα περίμενε κανείς αν είχε στη διάθεσή του έναν πίνακα τιμών με 4 ή 5 ζεύγη.
  6. Μπορούν εύκολα να γίνουν συσχετισμοί των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \textrm{f}(x) =\alpha x + \beta και \textrm{f}(x) =\alpha x^2 + \beta x + \gamma (τελευταίο κεφάλαιο στο βιβλίο της Άλγεβρας της Α’ Λυκείου) με διαγράμματα απόστασης – χρόνου ή ταχύτητας – χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλή και επιταχυνόμενη κίνηση (πρώτο κεφάλαιο στο βιβλίο Φυσικής της Α’ Λυκείου).
  7. Οι μαθητές εξοικειώνονται με τη «μεταγλώττιση» μαθηματικών συναρτήσεων σε κώδικα.

Στο παρακάτω βίντεο δείχνω έναν εύκολο τρόπο με τον οποίο μπορεί να παράξει κανείς έναν πίνακα 61 τιμών για τη συνάρτηση \textrm{f}(x) = x^2 - 3. Παράλληλα, τα παραγόμενα ζεύγη μπορούν αυτομάτως να αντιστοιχιστούν σε σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, και όλα αυτά με τη βοήθεια του λογιστικού φύλλου της GeoGebra. Προτείνω λοιπόν να δώσουμε στους μαθητές μας τη δυνατότητα να κατασκευάσουν οι ίδιοι μια συνάρτηση, η οποία να έχει νόημα για τους εαυτούς τους, να κατασκευάσουν χειρονακτικά έναν πίνακα μερικών τιμών και έπειτα με τη βοήθεια λογισμικού να τον επεκτείνουν, ενώ παράλληλα να δουν τη γραφική τους παράσταση να «ζωντανεύει» πάνω στην οθόνη τους, καθώς αναπαριστούν τα ζεύγη τιμών με σημεία.

Αναφορές

THOMPSON, P. W. 1994. Students, functions and the undergraduate curriculum. In: E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, J. Kaput, eds. Research in collegiate mathematics education. I. USA: American Mathematical Society, pp. 21 – 44.

Advertisements




Περί αντίστροφων (συναρτήσεων) ο λόγος

11 09 2011

Ο έντονος διάλογος που είχε ακολουθήσει την έκδοση του μικρού βιβλίου του Πετράκη (2007) έχει κοπάσει. Οι ασκήσεις που ζητούν να εντοπίσει κανείς κοινά σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και των αντίστροφών τους ξαναβρίσκουν τη θέση τους στη σχετική βιβλιογραφία, ξεμυτώντας σαν ισχνά πιτσιρίκια πίσω από την πλάτη του τεράστιου ξαδέρφου που κατέφθασε για να «καθαρίσει». Παρόλα αυτά ένα σημείο παραμένει ανεξήγητα ασχολίαστο. Μια μικρή, ταπεινή πρόταση θεωρείται πάντα ως κάτι το γνωστό και δεν έτυχε να συναντήσω μια απόδειξη γι’ αυτήν σε κανένα σχετικό βιβλίο. Είναι κάτι που με προβληματίζει εδώ και καιρό, δεν έχω κατανοήσει όμως ακόμα γιατί η απόδειξη αυτής της πρότασης παραμελείται συστηματικά.

Εξηγούμαι λοιπόν: στις λυμένες ασκήσεις πολλών βιβλίων, όταν αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ο εντοπισμός κοινών σημείων της γραφικής της παράστασης με αυτή της αντίστροφής της συνάρτησης περνά χωρίς πολλά λόγια από την επίλυση του συστήματος:
\left\{ \begin{matrix} y= \textrm{f} (x)\\ y=x \end{matrix}\right.
Στην περίπτωση όμως που δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τη μονοτονία της συνάρτησης, τότε το σύστημα που επιλύεται είναι το γενικότερο:
\left\{ \begin{matrix} y=\textrm{f}(x) \\ y=\textrm{f}^{-1}(x) \end{matrix} \right.
Έτσι υποννοείται, εμμέσως πλην σαφώς, ότι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της αύξουσας συνάρτησης και της αντίστροφής της βρίσκονται επί της ευθείας y=x.

Για να δούμε όμως, γιατί η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας και αντιστρέψιμης συνάρτησης, όταν έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της συνάρτησης, αυτό θα βρίσκεται αναγκαστικά πάνω στην ευθεία y=x;

Ας υποθέσουμε ότι η γραφική παράσταση της \textrm{f} και της \textrm{f}^{-1} έχουν ένα κοινό σημείο, το M(\kappa, \lambda), που δε βρίσκεται επί της ευθείας y=x, επομένως \kappa \neq \lambda. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι \kappa < \lambda.

Εφόσον το M είναι σημείο και των δύο γραφικών παραστάσεων, θα ισχύουν οι σχέσεις:

\textrm{f}(\kappa) = \lambda \qquad (1)
\textrm{f}^{-1}(\kappa) = \lambda \quad (2)

Από τη σχέση (2) όμως προκύπτει ότι:

\kappa = \textrm{f}( \lambda ) \qquad (3)

Επειδή η \textrm{f} είναι γνησίως αύξουσα, ενώ \kappa < \lambda θα είναι και:

\textrm{f}( \kappa ) < \textrm{f}( \lambda )

Λόγω των (1) και (3) η τελευταία σχέση γίνεται: \lambda < \kappa, που είναι άτοπο.

Το θέμα βέβαια απέχει παρασάγγας από το να χαρακτηριστεί σημαντικό, απλά ήθελα να βάλω τα πράματα στη θέση τους, μιλώντας… σε απλά ελληνικά.

Αναφορές
ΠΕΤΡΑΚΗΣ, Α. 2007. Αντίστροφες συναρτήσεις. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Ζήτη





Συναρτήσεις και πραγματικότητα

10 02 2011

Το καινούριο βιβλίο της Άλγεβρας για τους μαθητές της Α’ Λυκείου δίνει περισσότερα στοιχεία σε σχέση με το παλιό για τη φύση της συνάρτησης και σαφώς περισσότερα παραδείγματα. Όλα αυτά όμως παραμένουν στη σφαίρα της θεωρίας, χωρίς να δίνεται στο μαθητή η δυνατότητα να αυτενεργήσει, να εξερευνήσει μόνος/η του/της συσχετισμούς μεγεθών στην πραγματικότητά του/της ώστε να αντιληφθεί την αναγκαιότητα του ορισμού αυτού του εργαλείου (της συνάρτησης). Οι ασκήσεις δε, επαναλαμβάνουν το γνωστό μοτίβο της τυπικής διαχείρησης της γνώσης με τη βοήθεια συγκεκριμένων μεθοδολογιών, αποκόπτοντας κάθε πραγματική διάσταση και αίσθηση.

Έδωσα λοιπόν την παρακάτω εργασία σε μαθητές της Α’ Λυκείου, τα αποτελέσματα της οποίας θα συλλέξω αρχές Μαρτίου.

Κατασκεύασε μία συνάρτηση από την καθημερινότητά σου.

  1. Σκέψου δύο μεγέθη που συναντάς στην καθημερινότητά σου, τα οποία συνδέονται με κάποιο τρόπο.
  2. Αφού καταγράψεις με ακρίβεια και εξηγήσεις αυτά τα δύο μεγέθη, προσπάθησε να περιγράψεις με ποιο τρόπο συνδέονται μεταξύ τους.
  3. Έπειτα προσπάθησε να κατασκευάσεις μια συνάρτηση η οποία να συνδέει αυτά τα δύο μεγέθη, ορίζοντας επίσης το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Δικαιολόγησε γιατί πιστεύεις ότι αυτό είναι το πεδίο ορισμού.
  4. Προσπάθησε να εντοπίσεις αν είναι δυνατό το σύνολο τιμών της συνάρτησης και να το συνδέσεις με το πραγματικό μέγεθος που αυτό εκφράζει. Εξέτασε αν είναι λογικό το συμπέρασμά σου.
  5. Κατασκεύασε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησής σου και προσπάθησε να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση σε μιλιμετρέ χαρτί. Έπειτα με τη βοήθεια της GeoGebra εξέτασε αν κατάφερες να σχεδιάσεις σωστά τη γραφική παράσταση της συνάρτησής σου. Σύγκρινε τις δύο γραφικές παραστάσεις, εντόπισε αν υπάρχουν διαφορές και προσπάθησε να τις εξηγήσεις.

Οδηγίες

Η εργασία πρέπει να αποτελείται από τουλάχιστον 200 λέξεις. Μαζί με την εργασία θα παραδοθεί σε μιλιμετρέ χαρτί η γραφική παράσταση που σχεδίασες, καθώς και μια εκτύπωση της γραφικής παράστασης που παρήγαγες στη GeoGebra. Η εργασία μπορεί να παραδοθεί είτε γραμμένη στο χέρι, είτε εκτυπωμένη. Σε περίπτωση που επιλέξεις να παραδώσεις δακτυλογραφημένη την εργασία σου και αντιμετωπίσεις προβλήματα με τη σύνταξη των μαθηματικών, επικοινώνησε με email.

Περιμένω εναγώνια τις εργασίες, θα γράψω ένα καινούριο άρθρο όταν τις πάρω στα χέρια μου και τις επεξεργαστώ.

Όταν αποφάσισα να βάλω αυτήν την εργασία στους μαθητές μου, διάβαζα περί αφήγησης και μαθηματικών τα παρακάτω εξαιρετικά άρθρα:

MARKS, G. and J. MOUSLEY. 1990. Mathematics education and genre: Dare we make the process writing mistake again? Language and Education. 4 (2), pp. 117 – 135.

SOLOMON, Y. and J. O’NEILL. 1998. Mathematics and narrative. Language and Education. 12 (3), pp. 210 – 221.

Για το πώς ο κοινωνικός κονστρουκτιβισμός ως φιλοσοφία στα μαθηματικά θεωρεί το διάλογο και την επικοινωνία κομβικό μέσο στην ανάπτυξή τους, διαβάστε:

ERNEST, P. 1998. Social constructivism as a philosophy of mathematics. Albany, NY: State University of New York Press.





Μελέτη συναρτήσεων για την Α’ Λυκείου

9 05 2010

Αυτή είναι η δική μου εκδοχή της μελέτης των συναρτήσεων για την Α’ Λυκείου. Έγραψα αυτές τις σημειώσεις σε απλά ελληνικά, προσπαθώντας με τρόπο περιεκτικό και ακριβή να βοηθήσω τον/την αναγνώστη/στρια να έρθει σε επαφή με τις έννοιες της άρτιας και της περιττής συνάρτησης, της μονοτονίας και των ακροτάτων, χρησιμοποιώντας εφαρμογές από την καθημερινή ζωή. Οι λίγες ασκήσεις που υπάρχουν εδώ πλησιάζουν όσο το δυνατόν περισσότερο τη λογική του σχολικού βιβλίου.

Οι σημειώσεις βρίσκονται εδώ (pdf). Παρατηρήσεις και σχόλια, όπως πάντα, είναι ευπρόσδεκτα!





Η δυναμική κίνηση στην ανάλυση – μια επιτυχημένη ιστορία

4 02 2010

Σήμερα μια μαθήτριά μου μου εξήγησε ότι δυσκολευόταν να κατανοήσει πώς μπορεί να εντοπίσει το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με τη βοήθεια της γραφικής της παράστασης. Είναι ένα θέμα που συχνά δυσκολεύει τους μαθητές και θεωρώ πως η δυναμική κίνηση μπορεί να συμβάλει σημαντικά στην αποσαφήνισή του. Ξεκινήσαμε λοιπόν να κουβεντιάζουμε το θέμα και αφού θεμελιώσαμε το γεγονός ότι το σύνολο των τετμημένων όλων των σημείων της γραφικής παράστασης είναι ουσιαστικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, συζητήσαμε για την προβολή της γραφικής παράστασης πάνω στον οριζόντιο άξονα. Μαζί με όλα αυτά, εγώ έφερα ταυτόχρονα πάνω στο χαρτί κάθετες στον οριζόντιο άξονα από διάφορα σημεία της γραφικής μας παράστασης για να καταδείξω τον τρόπο με τον οποίο γίνεται η προβολή. Κανένα αποτέλεσμα, η δυσκολία επέμενε. Ανοίγω λοιπόν τη GeoGebra και κάνω τα εξής:

  1. Σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της \mathrm f(x)=-x^2 + 3, για -4 \leq x \leq 2.
  2. Θεωρώ ένα σημείο Α πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
  3. Φέρω κάθετη από το Α στον οριζόντιο άξονα.
  4. Ονομάζω Β το σημείο τομής της κάθετης και του οριζόντιου άξονα.
  5. Ενεργοποιώ το ίχνος του σημείου Β και σέρνω το Α σε όλη τη γραφική παράσταση της \mathrm f.

Αυτό ήταν! Εξήγησα ότι το γκρι κομμάτι του οριζόντιου άξονα που δημιουργήθηκε από το ίχνος της καθέτου πάνω σε αυτόν ήταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η μαθήτριά μου το κατάλαβε αμέσως! Πραγματικά ενθουσιάστηκα από την άμεση απόκρισή της. Δεν περίμενα ότι η διαδικασία θα είχε τόσο άμεσο αντίκτυπο στην αντίληψή της. Αναθάρρησα. Σειρά είχε το σύνολο τιμών της συνάρτησης, έτσι λοιπόν έκανα την ίδια δουλειά στον κατακόρυφο άξονα.

Να σημειώσω εδώ ότι η κουβέντα που κάναμε ήταν διεξοδικότατη και ήταν φανερό πως η μαθήτρια δεν είχε γνωστικά κενά που θα την εμπόδιζαν να κατανοήσει ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης παίρνει την πρώτη θέση σ’ ένα διατεταγμένο ζεύγος που αργότερα θα μετουσιώνονταν σε σημείο του καρτεσιανού επιπέδου. Είχε μάλιστα δεχτεί ότι μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Επίσης γνώριζε πώς να προβάλει σημεία πάνω σε ευθείες. Θέλω να πω πως το θεωρητικό υπόβαθρο ήταν εκεί, έλειπε όμως ένας συνεκτικός κρίκος. Αυτό το ρόλο ζήτησα από τη GeoGebra να παίξει σήμερα – του συνεκτικού κρίκου – και τα κατάφερε θαυμάσια!








Αρέσει σε %d bloggers: