Ο δεκάλογος της μαθηματικής στοιχειοθεσίας

13 06 2013
  1. Μη χρησιμοποιείτε τη γραμματοσειρά Comic Sans για να γράψετε το μαθηματικό σας κείμενο. Αυτή η γραμματοσειρά κατασκευάστηκε για να μιμηθεί τη γραφή των αμερικανικών βιβλίων κόμικς και έχει ανεπίσημο χαρακτήρα. Δεν είναι κατάλληλη για μαθηματικό κείμενο και δεν καθιστά το κείμενό σας πιο αρεστό στους μαθητές επειδή «φαίνεται να έχει πλάκα». Τα κείμενα τυγχάνουν αποδοχής όταν είναι εύληπτα, καλά δομημένα και βοηθούν τους αναγνώστες τους να μάθουν.
  2. Αν το κείμενό σας πρόκειται να αναγνωστεί επί της οθόνης τότε προτιμήστε μια sans-serif γραμματοσειρά (όχι την Comic Sans).
  3. Αν το κείμενο πρόκειται να εκτυπωθεί τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια serif γραμματοσειρά.
  4. Επιλέξτε διάστιχο 1,5 γραμμής.
  5. Προσπαθήστε να διατηρήσετε μία ομοιογένεια σε όλη την έκταση του κειμένου σας. Αποφασίστε δηλαδή εκ των προτέρων έναν και μόνο τρόπο με τον οποίο θα σημειώνετε τις μεταβλητές, τις συναρτήσεις, τα σύνολα, τα σημεία κλπ.. Σκεφθείτε τη σύγχυση που προκαλεί στον αναγνώστη ένα κείμενο στο οποίο η μεταβλητή x σημειώνεται με διάφορους τρόπους, όπως για παράδειγμα x, X, χ, ή χ. Επίσης, καλό είναι να χρησιμοποιείτε την ίδια γραμματοσειρά για να συγγράψετε κείμενο και μαθηματικά. Έχετε κατά νου ότι η ομοιογένεια στο κείμενο βοηθά τον αναγνώστη να επικεντρωθεί στην ουσία αυτών που γράφετε, αφού δεν τον/την αποσπά η προσπάθεια να αποκωδικοποιήσει τους χαρακτήρες που διαβάζει κάθε φορά.
  6. Επιλέξτε να μη γίνεται πλήρης στοίχιση του κειμένου, αφού η πλήρης στοίχιση τείνει να μπερδεύει τους μαθητές με δυσλεξία.
  7. Προτιμήστε να γράφετε τις μεταβλητές με πλάγιους λατινικούς χαρακτήρες (italics).
  8. Προτιμήστε να μην σημειώνετε τις συναρτήσεις με πλάγιους χαρακτήρες.
  9. Προβάλλετε τις σημαντικές εξισώσεις στο κείμενο· γράψτε τις σε καινούρια γραμμή με στοίχιση στο κέντρο.
  10. Μη γράφετε με μέγεθος γραμματοσειράς μεγαλύτερο από 12.
Advertisements




ebook: 3+1 ψηφιακά εργαλεία

24 06 2012

κάντε κλικ στην εικόνα για να ανοίξετε το ebook

Στο ηλεκτρονικό βιβλίο «3+1 ψηφιακά εργαλεία που δεν πρέπει να λείπουν από την τάξη των μαθηματικών» προσπαθώ να μιλήσω για τις νέες τεχνολογίες και τα ψηφιακά εργαλεία που υπάρχουν σήμερα ελεύθερα στο διαδίκτυο. Γραμμένο σε απλά ελληνικά και με πολλά παραδείγματα, το ηλεκτρονικό βιβλίο προσπαθεί να εξηγήσει τα «πώς;» και τα «γιατί;» της εισαγωγής των ψηφιακών μέσων στη μαθησιακή διαδικασία. Αποτελεί ουσιαστικά μια συλλογή άρθρων αυτού του blog, τα οποία έχουν εμπλουτιστεί ή τροποποιηθεί ελαφρώς. Βασιζόμενος στη βιβλιογραφία προσπαθώ να καταδείξω τα οφέλη που μπορούν να αποκομίσουν οι μαθητές από τις νέες τεχνολογίες, αλλά και να προσφέρω στον αναγνώστη μια πληθώρα σχετικών συνδέσμων με το κάθε εργαλείο. Τα εργαλεία με τα οποία καταπιάνεται το ebook είναι: GeoGebra, FreeMind, Cmap Tools και Google SketchUp.

Μπορείτε να διαβάσετε το ebook κάνοντας κλικ στην παραπάνω εικόνα. Αν έχετε τις δικές σας προτάσεις για εργαλεία που δεν έχουν συμπεριληφθεί, ή έχετε κάποιες ιδέες  για να βελτιωθεί αυτός ο οδηγός, αφήστε ένα σχόλιο.





Το χρυσάφι του Atahualpa

28 04 2012

Luis Montero: Η κηδεία του Atahualpa

Εισαγωγή
Τούτο το άρθρο γράφτηκε αρχικά ως απάντηση στο άρθρο της Κατερίνας Καλφοπούλου «Όταν ο κόμπος φτάνει στο χτένι» που δημοσίευσε στο εξαιρετικό ιστολόγιό της Μαθηματικά + Λογοτεχνία τον Απρίλιο του 2011, σχετικά με τα μαθηματικά των Ίνκα. Αφού διόρθωσα κάποιες ιστορικές ανακρίβειες και πρόσθεσα λίγες σάλτσες, σας το σερβίρω έτοιμο προς διαθεματική αξιοποίηση. Όλα τα ιστορικά στοιχεία τα έχω αντλήσει από την wikipedia, οπότε αφήνω ανοιχτό το ενδεχόμενο κάποιων παρερμηνεύσεων. Βέβαια, το πιο σημαντικό εδώ δεν είναι η ακρίβεια των ιστορικών στοιχείων που παραθέτω, όσο το διαθεματικό πλαίσιο προσέγγισης μιας ιστορίας, αλλά και η οριζόντια εισαγωγή της τεχνολογίας η οποία εδώ χρησιμοποιείται για να παρέχει εξειδικευμένη πληροφορία, η οποία θα ήταν δυσεύρετη σε διαφορετική περίπτωση.

Ο Atahualpa
Ο πολιτισμός των Ίνκα θεωρείται ότι ξεκινά με την ίδρυση του βασιλείου του Cuzco, περίπου στα 1200, από τον Sapa Inca (υπέρτατο αρχηγό), Manco Càpac. Το γεγονός που σηματοδότησε τη λήξη αυτού του μεγάλου πολιτισμού ήταν η κάμψη της αντίστασης των Ίνκας εναντίων των Ισπανών conquistadores (κατακτητών) στη Vilcabamba, το 1573. Ουσιαστικά όμως ο αρχηγός των conquistadores, Francisco Pizzaro, εδραίωσε την κατάληψη των εδαφών των Ίνκα πιο πριν, στα 1533, όταν δολοφόνησε τον τότε Sapa Inca, Atahualpa. Μπορούμε λοιπόν να πούμε η ταφόπλακα αυτού του μεγάλου πολιτισμού ήταν ο ιμπεριαλισμός των Ισπανών, αλλά και η ευλογιά που αυτοί μετέφεραν από την Ευρώπη, η οποία κατακερμάτισε τον πληθυσμό των Ίνκα.

Francisco Pizzaro

Ο Atahualpa είχε χριστεί αυτοκράτορας αφού νίκησε τον ετεροθαλή αδελφό του Huáscar στην εμφύλια διαμάχη που ξέσπασε ανάμεσά τους μετά το θάνατο του πατέρα τους Huayna Càpac. Παρόλο που ο  Huáscar ήταν δικαιωματικά ο διάδοχος του Huayna, ο τελευταίος μοίρασε το βασίλειό του για να αφήσει το προσφάτως κατακτημένο βόρειο κομμάτι στον αγαπημένο του γιο Atahualpa. Αυτή ήταν και η αιτία της εμφύλιας διαμάχης. Ο Atahualpa σφράγισε τη νίκη του στη μάχη του Quipaipan, όπου αιχμαλώτισε τον αδερφό του. Έτοιμος πια να αδράξει την αυτοκρατορία κατευθύνθηκε νότια προς την πρωτεύουσα Cuzco, κάνοντας μια στάση στην πόλη Cajamarca στις Άνδεις. Εκεί, το Νοέμβριο του 1532, ο Pizzaro αιχμαλώτισε δόλια τον Atahualpa. Για να σώσει τη ζωή του ο Sapa Inca, υποσχέθηκε να γεμίσει το δωμάτιο στο οποίο κρατούνταν μια φορά με χρυσό και δυο φορές με ασήμι (δικαιώνοντας έτσι a priori τους U2: “If you want a way out… silver and gold”).

… και τα μαθηματικά
Οι διαστάσεις του δωματίου λέγεται ότι ήταν 6,7 μέτρα στο μήκος, 5,2 μέτρα πλάτος και 2,4 μέτρα στο ύψος. Οπότε ο όγκος του χρυσού που διέθεσε ο Atahualpa για να σώσει τη ζωή του ήταν

6,7 \cdot 5,2 \cdot 2,4 = 83,616 κυβικά μέτρα, ♠

ενώ διπλάσιος ήταν ο όγκος του ασημιού, φτάνοντας τα 167,232 κυβικά μέτρα! Επειδή η τιμή του χρυσού και του ασημιού συνήθως υπολογίζονται ανά μονάδα μάζας, θα χρειαστεί να την υπολογίσουμε. Χρειαζόμαστε επομένως την πυκνότητα των δύο μετάλλων. Η Wolfram|Alpha παρέχει πολύ αποτελεσματικά τέτοιου είδους πληροφορίες. Απλά εισάγετε:

κάντε κλικ στην εικόνα για να μεταφερθείτε στη σελίδα του ερωτήματος στην Wolfram|Alpha

Έχοντας υπόψην τώρα ότι η πυκνότητα του χρυσού είναι 19300 κιλά/κ.μ. και του ασημιού 10490 κιλά/κ.μ. υπολογίζουμε ότι το βάρος του χρυσού του Atahualpa:

m_g=d \cdot v = 19\,300 \cdot 83,616 = 1\,613\,788,8 κιλά,

ενώ το ασήμι που έδωσε στον Ισπανό ζύγιζε:

m_s = d \cdot v = 10\,490 \cdot 167,232 = 1\,754\,263,68 κιλά

Η τιμή του χρυσού που δίνει η Wolfram|Alpha είναι 40,43 €/γρ. και του ασημιού 0,76 €/γρ.. Οπότε, τα λύτρα που εισέπραξε ο Pizzaro θα ανέρχονταν σήμερα στο διόλου ευκαταφρόνητο ποσό των:

40\,430 \cdot m_g + 760 \cdot m_s = 66\,578\,721\,580,8

Ωστόσο, ούτε κάτι παραπάνω από 66 δις ευρώ (σχεδόν όσο το δημόσιο χρέος της Ουγγαρίας) δεν κατάφεραν να σώσουν τη ζωή του Atahualpa, ο οποίος στραγγαλίστηκε στις 26 Ιουλίου του 1533.

Αν έχετε διαθεματικές ιστορίες που εξάπτουν τη φαντασία ενώ βοηθούν τους μαθητές να κατανοήσουν την αναγκαιότητα των μεγεθών στην καθημερινότητά τους και θέλετε να τις μοιραστείτε, γράψτε ένα σχόλιο.


♠ Κάντε ένα πείραμα: ζητήστε από τους μαθητές σας να υπολογίσουν πόσο νερό θα χρειαστεί ώστε να γεμίσουν ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ενυδρείο για να βάλουν μέσα τα χρυσόψαρά τους. Μετρήστε τις σωστές απαντήσεις και στείλτε μου το ποσοστό της τάξης που απάντησε σωστά. Τέτοια αδυσώπητα πειράματα με επαναφέρουν και με βοηθούν να επικεντρώνομαι στα βασικά.





Στερεομετρία με το Google SketchUp

24 12 2011

Σε γενικές γραμμές θα έλεγα ότι η στερεομετρία έχει εξοβελιστεί από το εκπαιδευτικό μας σύστημα, αφού ουσιαστικά μόνο στη Β’ Γυμνασίου οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την τρίτη διάσταση. Μπορεί, βέβαια, στην ύλη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας της Β’ Λυκείου να συμπεριλαμβάνονται και τα κεφάλαια της στερεομετρίας, αλλά αυτή είναι μια ανούσια τυπικότητα, αφού κανείς δεν προλαβαίνει να φτάσει μέχρις εκεί (για να είμαι πιο ακριβής, εγώ δεν έτυχε να ακούσω ποτέ κανέναν). Παρόλα αυτά όμως, η στερεομετρία έχει το ασύγκριτο πλεονέκτημα της άμεσης διασύνδεσης των σχολικών μαθηματικών με την πραγματικότητα. Αυτό το χαρακτηριστικό της θεωρώ ότι θα έπρεπε να είναι αρκετό ώστε να δώσει στη στερεομετρία μία περίοπτη θέση στα προγράμματα σπουδών, αλλά αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική κουβέντα.

Επί του πρακτέου λοιπόν, στην περίπτωση της στερεομετρίας, θεωρώ ότι η χρήση απτών αντικειμένων, ή γενικότερα εποπτικών μέσων στη διδασκαλία της είναι επιβεβλημένη. Σύμφωνα με τη θεωρία δραστηριοτήτων (activity theory) η διάδραση με το περιβάλλον συμβαίνει μονάχα διαμέσου αντικειμένων και σημείων. Η χρήση εποπτικών μέσων και διαχειρίσιμων αντικειμένων♣ (manipulatives) στη διδασκαλία των μαθηματικών, τα οποία βοηθούν στην κιναισθητική προσέγγιση  κάποιων τομέων είναι γενικά παραδεκτή, αλλά δε θεωρείται πανάκεια για την κατανόηση μαθηματικών εννοιών (Moyer, 2001). Η χρήση απτών αντικειμένων από μόνη της, δεν μπορεί να εγγυηθεί ότι οι μαθητές θα κατασκευάσουν τις νοητικές διασυνδέσεις που έχουν κατά νου οι δάσκαλοι, ούτε καν ότι θα γίνουν οποιουδήποτε είδους νοητικές διασυνδέσεις (Clements, 1999). Αυτή βέβαια η άποψη ανακύπτει αν σκεφτόμαστε με όρους που επιβάλλει το πρόγραμμα σπουδών, δηλαδή αξιολογώντας τη χρησιμότητα των διαχειρίσιμων αντικειμένων μόνο σε σχέση με την επιθυμητή κατανόηση τομέων που επιβάλλεται από το πρόγραμμα σπουδών. Έτσι, αν οι μαθητές αποδώσουν καλύτερα σε μια αξιολογική δραστηριότητα μετά από τη χρήση διαχειρίσμων αντικειμένων, τότε σύμφωνα με αυτήν την άποψη, τα μαθησιακά αντικείμενα θα έχουν πετύχει το σκοπό τους. Όμως, υπάρχει και μια άλλη εκπαιδευτική προσέγγιση στο θέμα. Αν αντιληφθούμε τα διαχειρίσιμα μαθησιακά αντικείμενα ως «αντικείμενα για να σκεφτείς με αυτά» (Papert, 1993), ή ως αντικείμενα που πυροδοτούν το μαθηματικό διάλογο, τότε γίνεται προφανές ότι τέτοια αντικείμενα είναι όχι απλά χρήσιμα, αλλά αναγκαία σε οποιαδήποτε μαθησιακή εξερεύνηση.

Το Google SketchUp είναι λογισμικό μοντελοποίησης σε 3 διαστάσεις. Δεν έχει σημαντικές απαιτήσεις σε hardware (αφού τρέχει στο δικό μου υπολογιστή χωρίς κανένα πρόβλημα) και διατίθεται σε δύο βασικές εκδόσεις: την απλή (δωρεάν) και την «επαγγελματική» Pro (με κόστος που κυμαίνεται περί τα $500). Θεωρώ ότι η σημαντικότερη διαφορά ανάμεσα στις δύο εκδόσεις είναι τα δυναμικά αντικείμενα, κάτι που δεν έχει κανείς τη δυνατότητα να κατασκευάσει με την απλή έκδοση. Παρόλα αυτά η Google προσφέρει μια «ψηφιακή αποθήκη» το Google 3D Warehouse, δηλαδή μια βάση τρισδιάστατων μοντέλων με δυνατότητα αναζήτησης, από την οποία μπορεί κανείς να κατεβάσει δωρεάν δυναμικά και μη μοντέλα και να τα διαχειριστεί με οποιαδήποτε έκδοση του λογισμικού. Σε αυτήν την σελίδα μπορείτε να κατεβάσετε δωρεάν τη βασική έκδοση, αλλά και να βρείτε επεκτάσεις της έκδοσης Pro. Για να χρησιμοποιήσετε το Google SketchUp θα χρειαστεί, αφού το κατεβάσετε, να το εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας. Έχοντας πει όλα αυτά, θεωρώ ότι η απλή έκδοση ενδείκνυται στην περίπτωση της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μπορείτε όμως να δείτε περισσότερα σχετικά με την πολιτική της Google για την εκπαίδευση εδώ.

Για να δούμε όμως τι μπορεί να κάνει το SketchUp. Παρακολουθήστε το βίντεο που έχω ετοιμάσει σχετικά με την κατασκευή τεσσάρων βασικών στερεών σχημάτων (ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, κύλινδρος, κώνος, σφαίρα). Ακολουθεί ένα ενδεικτικό πρόβλημα που καταφέρνει με μεγάλη ευκολία να διασυνδέσει την πραγματικότητα με τα μαθηματικά, το οποίο ανέκυψε μάλλον τυχαία καθώς κατασκεύαζα ένα σιλό στο Google SketchUp.

Πρόβλημα:
Πόσοι τόνοι σιταριού χωρούν στο παρακάτω σιλό, αν είναι γνωστό ότι η πυκνότητα του αποθηκευμένου σιταριού είναι 0,81 kg/l. (Σημ.: αν δε δοθεί εξαρχής η πυκνότητα του αποθηκευμένου σιταριού, αυτό ενδεχομένως να λειτουργήσει κι ως έναυσμα για την ανάδυση της έννοιας της πυκνότητας και της χρησιμότητάς της)

Το σλάιντ απαιτεί την χρήση JavaScript.


(Τα σχήματα που διάλεξα σε αυτό το slideshow είναι ενδεικτικά της χρήσης του SketchUp και κατασκευάστηκαν πολύ εύκολα. Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο SketchUp που κατασκευάστηκε εδώ.)

Ένας μαθητής για να λύσει το παραπάνω πρόβλημα θα κληθεί να:

  1. υπολογίσει μήκη ευθύγραμμων τμημάτων, αφαιρώντας ήδη γνωστά,
  2. χρησιμοποιήσει το πυθαγόρειο θεώρημα,
  3. υπολογίσει τον όγκο ενός κυλίνδρου,
  4. υπολογίσει τον όγκο ενός κώνου,
  5. μετατρέψει σε κατάλληλες μονάδες τα ευρήματά του/της,
  6. χρησιμοποιήσει (ή να επανανακαλύψει) την έννοια της πυκνότητας.

Καθόλου άσχημα για ένα πρόβλημα που δημιουργήθηκε κατά την κατασκευή ενός ψηφιακού αντικειμένου, με μοναδικό έναυσμα την καθαρή περιέργεια. Τι λέτε;

Σχετικοί σύνδεσμοι

Δείτε παρακάτω τρεις βιβλιοθήκες ψηφιακών διαχειρίσιμων αντικειμένων:

National Library of Virtual Manipulatives
Illuminations: Activities
Interactivate: Activities

Αναφορές

CLEMENTS, D. H. 1999. «Concrete» manipulatives, concrete ideas. Contemporary Issues in Early Childhood, 1 (1), pp. 45 – 60.

MOYER, P. S. 2001. Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47 (2), pp. 175 – 197.

PAPERT, S. 1993. Mindstorms – Children, Computers and Powerful Ideas. 2nd ed. New York: Basic Books.


♣ Ας μου επιτραπεί η συγκεκριμένη μετάφραση για τον όρο manipulatives, αλλά δεν κατάφερα να εντοπίσω κάποια που να αποδίδει τον όρο πιο πιστά. Εδώ θέλω να γίνει αντιληπτό ότι οι μαθητές μπορούν να διαχειριστούν με τα χέρια τους ή ηλεκτρονικά αυτά τα μαθηασιακά αντικείμενα.






Ένα μουσείο των μαθηματικών

6 07 2011

Ο Glen Whitney, διευθυντής του MoMath Museum of Mathematics, εξηγεί την ανάγκη για τη δημιουργία ενός μουσείου των μαθηματικών.

Τα σχολεία μας έχουν μια σημαντική εκπαιδευτική αποστολή, όμως ένα από τα πράγματα που δεν κάνουν είναι να μεταβιβάσουν τι πραγματικά είναι τα μαθηματικά. Η αίσθηση της εξερεύνησης και της ανακάλυψης με κάποιο τρόπο χάνονται, εξαιτίας της ανάγκης να διδαχθεί μια συγκεκριμένη ύλη.





Η θέση του υπολογιστή στη μαθηματική εκπαίδευση

1 12 2010
four colour map

το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων

εικόνα: Chas zzz brown

Όταν το 1976 οι Kenneth Appel και Wolfgang Haken απέδειξαν το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή, δίχασαν τη μαθηματική κοινότητα. Ήταν το πρώτο θεώρημα που αποδεικνύονταν με ηλεκτρονικό υπολογιστή και οι αντιρρήσεις σχετικά με τη χρήση του στην αποδεικτική διαδικασία δεν άργησαν να ακουστούν. Οι πιο θεμελιώδεις εξ αυτών είναι φιλοσοφικού περιεχομένου και έχουν να κάνουν με την επιστημολογία των μαθηματικών. Σύμφωνα με μία άποψη, η αποδοχή του ηλεκτρονικού υπολογιστή ως μέρους της αποδεικτικής διαδικασίας ουσιαστικά καθιστά τη μαθηματική επιστήμη ημι-εμπειρική (αν και ο Lakatos χαρακτηρίζει την κατασκευή μαθηματικών ως μια ούτως ή άλλως ημι-εμπειρική διαδικασία, ακόμα δηλαδή και χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών). Αυτό συμβαίνει γιατί, σύμφωνα πάντα με την ίδια άποψη, η εφαρμογή της λογικής στις χρησιμοποιούμενες μαθηματικές οντότητες παραμερίζεται, εφόσον η απόδειξη είναι εξαιρετικά πολύπλοκη, ενώ πρωτεύοντα ρόλο παίρνει η ίδια η διαδικασία. Σκέφτομαι άραγε τι να έλεγε για όλα αυτά ο Bolzano, ο άνθρωπος που πάσχισε να απαλλάξει τη μαθηματική απόδειξη από τη διαίσθηση για να τη θεμελιώσει στη λογική. Θα έβλεπε άραγε τον υπολογιστή ως μια ακόμη πρόσμειξη από την οποία θα έπρεπε να απαλλαγεί η απόδειξη, ή μια ευκαιρία να προστεθούν στα θεμέλια των μαθηματικών κυκλώματα από πυρίτιο και γραμμές κώδικα; Μια άλλη άκρως έγκυρη διαφωνία σχετικά με την αποδοχή της απόδειξης ως τέτοια, είναι αυτή που αρνείται να κατονομάσει την απόδειξη με τη βοήθεια του υπολογιστή «απόδειξη», αλλά της δίνει τον έγκυρο, πιστεύω, τίτλο του «υπολογισμού». Προσωπικά δεν έχω καταλήξει αν πρόκειται για απόδειξη ή υπολογισμό (και οι δύο πλευρές φαίνεται να έχουν ισχυρά επιχειρήματα). Υπάρχουν επίσης και κάποιες αντιρρήσεις πρακτικού (υλιστικού θα έλεγα) χαρακτήρα, σύμφωνα με τις οποίες πιθανά προβλήματα στο λογισμικό, το hardware ή ακόμα και λάθη στον ίδιο τον αλγόριθμο – λάθη που δεν υπεισέρχονται στην τυπική αποδεικτική διαδικασία που βασίζεται στην καθαρή λογική – μπορεί να οδηγήσουν σε αποδεικτικό λάθος.

Αυτός ο διάλογος έχει πολλές φιλοσοφικές και επιστημολογικές προεκτάσεις. Πρέπει όμως να αποδεχτούμε ότι αφορά κατά κύριο λόγο στην έρευνα των μαθηματικών, εκεί που η πολυπλοκότητα των υπολογισμών κάνει σχεδόν αδύνατο τον έλεγχο της ορθότητάς τους από τον άνθρωπο. Σε καμία περίπτωση όμως δεν πιστεύω ότι μια αντίστοιχη επιχειρηματολογία μπορεί ή πρέπει να θωρακίσει τη διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία απέναντι στη χρήση του υπολογιστή. Ο Conrad Wolfram στο παρακάτω βίντεο εξηγεί πώς η χρήση του υπολογιστή στη διδασκαλία των μαθηματικών απαλλάσει τους μαθητές από εξαντλητικούς υπολογισμούς (οι οποίοι σε καμία περίπτωση δεν προσεγγίζουν την πολυπλοκότητα αυτών που εμφανίζονται σε πραγματικά προβλήματα), δίνοντάς τους την ευκαιρία να ασχοληθούν με άλλα, ενδεχομένως σημαντικότερα κομμάτια των μαθηματικών, όπως: α) το να θέτει κανείς τις σωστές ερωτήσεις, β) να «μεταγλωτίζει» τον πραγματικό κόσμο σε μαθηματικά και γ) να ελέγχει και να αξιολογεί τις λύσεις του, τις απαντήσεις δηλαδή στα ερωτήματα που τέθηκαν οι οποίες προέκυψαν από τη διαδικασία του υπολογισμού.

Οι επιφυλάξεις ή ο φόβος των διδασκόντων για την ενσωμάτωση του υπολογιστή στη διδασκαλία των μαθηματικών διατυπώνονται με μια πληθώρα ενστάσεων. Κάποιες από αυτές είναι απολύτως έγκυρες και ουσιαστικές, ενώ κάποιες άλλες μετεωρίζονται στη σφαίρα του παραλόγου. Θεωρώ ότι στην περίπτωση της εκπαίδευσης στην Ελλάδα το ισχυρότερο αντεπιχείρημα είναι αυτό που θέλει τον υπολογιστή να αποβλακώνει τους μαθητές, καθώς κάνει τα πάντα εύκολα χωρίς κόπο. Παράλληλα, σύμφωνα με την ίδια λογική, ο υπολογιστής απομακρύνει την τάξη από το μοντέλο της μαθηματικής κοινότητας, αφού δεν υπάρχουν πλέον εικασίες, αποδείξεις, ανασκευές, νέες εικασίες, κ.ο.κ. σε έναν ατέρμονο κύκλο εφεύρεσης νέας γνώσης. Τα πράγματα θα ήταν έτσι αν κάναμε το τραγικό λάθος που επιμένει να κάνει η ελληνική πολιτεία: αν εισάγαμε τον υπολογιστή στη μαθησιακή διαδικασία χωρίς να επαναπροσδιορίσουμε το αναλυτικό πρόγραμμα, τις διδακτικές μας προσεγγίσεις και την ψευδαίσθηση της αυθεντίας που προσδίδει η παραδοσιακή θέση του διδάσκοντος στο ελληνικό σχολείο σε σχέση με τους μαθητές. Για να είμαστε ακριβείς, αυτό που μπορεί να κάνει ο υπολογιστής καλύτερα από οποιοδήποτε άλλο εργαλείο που χρησιμοποιούμε στην τάξη των μαθηματικών, είναι να τη μετατρέψει σε ένα μοντέλο μιας ζωντανής μικρής μαθηματικής κοινότητας. Αυτό που πρέπει να αλλάξει όμως ώστε να γίνει κάτι τέτοιο είναι ο τρόπος που διδάσκουμε τα μαθηματικά. Ο Papert (1999) γράφει εδώ ότι

Ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαραγκός είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαραγκό στην πράξη της μαραγκοσύνης. Κατ’ αναλογία ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαθητής είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαθητή στην πράξη της μάθησης (σ. ix).

Αυτό που ο Papert προτείνει είναι ο δάσκαλος να πάρει τη θέση του «μάστορα» στο σχολείο. Να δείξει δηλαδή στο μαθητή πώς να χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για να λύσει άγνωστα προβλήματα, λύνοντας ο ίδιος άγνωστα προβλήματα με τη χρήση των μαθηματικών. Μ’ άλλα λόγια προτείνει τη δημιουργία μιας Κοινότητας Πρακτικής (Community of Practise) – όπως την έχουν ορίσει οι Lave και Wenger – μέσα στην ίδια την τάξη. Στο βιβλίο Logo Philosophy and Implementation (δείτε τη σχετική αναφορά στο τέλος του άρθρου) μπορείτε να διαβάσετε πολλά τέτοια παραδείγματα, τις επιτυχημένες αλλά και αποτυχημένες ιστορίες δασκάλων που προσπάθησαν να δουλέψουν κατ’ αυτόν τον τρόπο. Σε αυτό το blog έχω ήδη δημοσιεύσει πολλές φορές παραδείγματα ανάλογων εργασιών, αλλά και ο Dan Meyer μιλάει εδώ για κάτι αντίστοιχο. Η αλήθεια είναι ότι κάτι τέτοιο δεν είναι εύκολο να γίνει. Ούτε ισχυρίζομαι ότι πρέπει ένα αναλυτικό πρόγραμμα να στηρίζεται εξ ολοκλήρου στην ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών μέσα από την ενασχόληση με πρωτότυπα (ακόμα και για τον διδάσκοντα) προβλήματα . Αν θέλουμε όμως να εισάγουμε τον υπολογιστή στην τάξη των μαθηματικών, τότε νομίζω ότι αυτή η οδός δεν είναι απλά ενδεδειγμένη, αλλά μοναδική.

Αναφορές

PAPERT, S. 1999. What is Logo? Who Needs it? In Logo Philosophy and Implementation. Montreal, Canada, LCSI. Available from World Wide Web <http://www.microworlds.com/company/philosophy.pdf>








Αρέσει σε %d bloggers: