14 Φεβρουαρίου

2 05 2013

Το παιχνίδι με τα κέρματα
Όταν πήγαινα στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού μου άρεσε πάρα πολύ να παίζω ένα παιχνίδι με κέρματα. Κρατούσα σταθερό με το δάχτυλό μου ένα κέρμα πάνω στο τραπέζι και ακουμπούσα ένα δεύτερο κέρμα πάνω στο πρώτο. Έπειτα προσπαθούσα να περιστρέψω το δεύτερο κέρμα γύρω από το πρώτο, το σταθερό, όπως θα έκανε και μία ρόδα ποδηλάτου. Τώρα που το ξανασκέφτομαι, όλες οι ρόδες ποδηλάτων που κυλούν πάνω στον πλανήτη κάνουν ακριβώς αυτή τη δουλειά, αν αναλογιστεί κανείς πως και η Γη είναι στρόγγυλη! Βέβαια, τα κέρματα έχουν σχετικά συγκρίσιμες ακτίνες, ενώ από την άλλη η μέση ακτίνα της Γης είναι – με πρόχειρους υπολογισμούς – περίπου 18.202.857 φορές μεγαλύτερη από την ακτίνα του ποδηλάτου μου.

Η ρόδα του ποδηλάτου
Πολλά χρόνια αργότερα, μια άλλη – φαινομενικά ασύνδετη – απορία μου είχε γεννηθεί:

Τι καμπύλη διαγράφει ένα σημείο του λάστιχου ενός ποδηλάτου, καθώς αυτό κινείται σε μια ευθεία;

Ε λοιπόν, αυτή η καμπύλη ονομάζεται κυκλοειδής. Μπορείτε να τη δείτε στο παρακάτω animated gif που βρίσκεται στη σελίδα της κυκλοειδούς καμπύλης στην Wikipedia.

Cycloid

Κυκλοειδής καμπύλη – Εικόνα: Zorgit

Το περίεργο είναι ότι μέχρι τότε δεν είχα ακούσει ποτέ γι’ αυτήν, ευτυχώς όμως ήξερα αρκετά καλά τη Wolfram Mathematica ώστε να την προγραμματίσω για να μου δώσει την καμπύλη που ήθελα (δείτε εδώ την κυκλοειδή καμπύλη φτιαγμένη στη Mathematica από τον Eric Weisstein στον ιστότοπο Wolfram MathWorld).

Τα ρίχνουμε όλα στο μπολ μας…
Πολύ ωραία. Γιατί δε συνδυάζουμε λοιπόν το παιχνίδι με τα κέρματα, με την ερώτηση για τη ρόδα του ποδηλάτου; Αν το κάναμε, θα παίρναμε μια ερώτηση που μοιάζει με αυτήν εδώ:

Ποια καμπύλη διαγράφει ένα σταθερό σημείο ενός κύκλου ο οποίος κυλάει πάνω σε έναν άλλο κύκλο;

Ωραία ερώτηση!

Μια απάντηση
Ζητούμενο εδώ λοιπόν είναι να εντοπίσουμε αυτήν την καμπύλη, η οποία όμως, όπως μπορεί να καταλάβει οποιοσδήποτε έχει παίξει το παιχνίδι με τα κέρματα, είναι διαφορετική για κάθε ζευγάρι κερμάτων. Το σχήμα της καμπύλης δηλαδή, εξαρτάται από το μέγεθος των κύκλων. Όπως και να ‘χει το όνομά της είναι επικυκλοειδής, και αυτή η ελληνική λέξη χρησιμοποιείται σε όλον τον κόσμο για να περιγραφεί τούτη η καμπύλη.

Παρακάτω μπορείτε να δείτε την επικυκλοειδή καμπύλη που σχηματίζουν δύο ίσοι κύκλοι. Αυτή λέγεται καρδιοειδής καμπύλη γιατί μοιάζει με μια καρδιά. Όταν ο κύκλος που κυλάει έχει ακτίνα μισή από αυτή του σταθερού κύκλου, τότε σχηματίζονται δύο γωνιακά σημεία στην καμπύλη, που τώρα λέγεται νεφροειδής γιατί μοιάζει με δύο νεφρά. Αν η ακτίνα του κύκλου που κυλάει είναι τρεις φορές μικρότερη από την ακτίνα του σταθερού κύκλου, τότε η καμπύλη που σχηματίζεται έχει τρία γωνιακά σημεία κ.ο.κ.. Αναλογίζομαι ότι αν κατάφερνα ποτέ να κάνω το γύρο του κόσμου πάνω στο ποδήλατό μου διαγράφοντας ένα μέγιστο κύκλο, τότε η βαλβίδα της ρόδας μου θα διέγραφε μια επικυκλοειδή καμπύλη με 18 εκατομμύρια (και κάτι) γωνιακά σημεία!

καρδιοειδές

Καρδιοειδές – Εικόνα: WojciechSwiderski

Στις εικόνες που ακολουθούν εμφανίζονται οι επικυκλοειδείς καμπύλες που σχηματίζονται όταν ο εξωτερικός κύκλος που κυλάει1 έχει ακτίνα (α) ίση, (β) μισή, (γ) υποτριπλάσια, (δ) υποτετραπλάσια της ακτίνας του σταθερού κύκλου.

Για τους… μικρούς
Για να δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καρδιοειδή καμπύλη με απλά γεωμετρικά εργαλεία σε ένα Περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας (ΠΔΓ), όπως η GeoGebra. Η διαδικασία είναι απλή, κατ’ επέκταση κατάλληλη για μικρούς μαθητές, ακόμη και του Δημοτικού σχολείου. Βέβαια, δεν εννοώ σε καμία περίπτωση ότι μαθητές Δημοτικού θα μπορούσαν να εμπλακούν με τα μαθηματικά της καρδιοειδούς καμπύλης, όμως η κατασκευή της και μόνο – σε κατάλληλο ΠΔΓ και με έναυσμα το παιχνίδι με τα κέρματα, ή το ποδήλατο – μπορεί να αποτελέσει μια εισαγωγή σε έννοιες όπως κύκλος (κέντρο, ακτίνα), ίσες γωνίες, σημείο, κίνηση, γεωμετρικός τόπος κλπ.. Δείτε το βίντεο.

Σε περίπτωση που αναρωτιέστε γιατί οι γωνίες α και β είναι μεταξύ τους ίσες, κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα.proof_1Καθώς το κέντρο Λ του επίκυκλου (Λ,ρ) μετακινείται μέχρι τη θέση Λ’, τα διαδοχικά σημεία επαφής των δύο κύκλων σχηματίζουν τα τόξα ΑΒ και Α’Β επί των δύο κύκλων (Κ,ρ) και (Λ,ρ) αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε τώρα ότι οι γωνίες α και β είναι εκφρασμένες σε ακτίνια (rad), τα μήκη των τόξων θα είναι:

\mathrm{AB} =\alpha\cdot\rho  και  \mathrm{A'B}=\beta\cdot\rho

Επειδή όμως τα τόξα είναι ίσα, προκύπτει ότι: \alpha\cdot\rho=\beta\cdot\rho, απ’ όπου τελικά έχουμε ότι \alpha = \beta.

Για τους λίγο μεγαλύτερους
Η κατασκευή με τη βοήθεια ΠΔΓ δίνει μια πρώτης τάξεως ευκαιρία να υπολογιστούν οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης. Παρατηρείστε πόσο εύκολα μπορεί να δομηθεί ένα φύλλο εργασίας με εύστοχες και διαδοχικές ερωτήσεις που θα οδηγήσουν στο ζητούμενο, εν προκειμένω την κατασκευή των παραμετρικών εξισώσεων.

Παρακάτω ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ είναι ο σταθερός κύκλος και αυτός με κέντρο το σημείο Λ είναι ο επίκυκλος. Το σημείο Α’ είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, μιας που διαγράφει την καρδιοειδή καμπύλη καθώς ο επίκυκλος συμπληρώνει μία πλήρη περιστροφή γύρω από το σταθερό κύκλο (Κ, ρ=1).


proof_2

Ε: Τι σχέση έχουν οι γωνίες α και γ του σχήματος;
Α: Οι δύο γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ.
Ε: Πώς μπορεί να εκφραστεί η γωνία ω με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Επειδή οι γωνίες α, β και γ είναι ίσες, η γωνία \omega=\pi -\beta - \gamma =\pi-2\alpha
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Λ, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Γνωρίζουμε ότι:

\cos\alpha=\frac{x_\Lambda}{2}  και  \sin\alpha=\frac{y_\Lambda}{2}

Οπότε, οι συντεταγμένες του σημείου Λ είναι (2\cos\alpha, 2 \sin\alpha).
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α’, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΛΗ και ΛΖ είναι:

(\Lambda \mathrm{H})=\cos\omega=\cos (\pi-2\alpha)=-\cos(2\alpha)
(\Lambda \mathrm{Z})=\sin (\pi - 2 \alpha) = \sin(2\alpha)

Και επειδή x_{A'} = x_\Lambda + (\Lambda \mathrm{H}) θα είναι: x_{A'}=2\cos\alpha-\cos(2\alpha).
Επίσης, θα είναι: y_{A'}=y_\Lambda - (\Lambda \mathrm{Z}), οπότε y_{A'}=2\sin\alpha - \sin(2\alpha).

Αυτό που καταφέραμε είναι να εκφράσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α’ με τη βοήθεια της γωνίας α, κατασκευάσαμε δηλαδή τις παραμετρικές συντεταγμένες της καρδιοειδούς μας καμπύλης, οι οποίες είναι:

x=2\cos\alpha-\cos(2\alpha)
y=2\sin\alpha -\sin(2\alpha)

Αν καταφέρουμε να απαλείψουμε την παράμετρο \alpha από τις παραπάνω εξισώσεις, θα προκύψει η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης. Έγραψα σε ένα κίτρινο χαρτί:

σάρωση0011

Να λοιπόν η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης μας:

(x^2+y^2-3)^2=4(3-2x).

Η GeoGebra έχει τη δυνατότητα να σχεδιάζει πεπλεγμένες καμπύλες, οπότε αν εισάγετε την παραπάνω εξίσωση, θα πάρετε αυτό το αποτέλεσμα:καρδιοειδέςΚαι μιας που στην εξίσωση εμφανίζεται το άθροισμα x^2+y^2, που στο μυαλό μου είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το μέτρο του μιγαδικού z=x+yi, με x,y \in \mathbb{R}, σκέφτομαι πως αν θέλαμε να εκφράσουμε την καρδιοειδή ως ένα γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z, τότε αυτός θα έπρεπε να επαληθεύει τη σχέση

\big( z\bar{z} - 3 \big)^2=4 \big( 3 - (z + \bar{z}) \big)

Αν πάλι θέλαμε να εκφράσουμε το μιγαδικό z με τη βοήθεια της παραμέτρου \alpha που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω, τότε δεν έχουμε παρά να αναλογιστούμε ότι:

z=2\cos \alpha - \cos (2\alpha) + i(2 \sin \alpha - \sin (2 \alpha )), ή
z = 2(\cos \alpha + i \sin \alpha) - (\cos (2 \alpha) + i \sin (2 \alpha)), ή
z=2 e^{i \alpha} - e^{2 i \alpha}

Αν αφαιρέσουμε τη μονάδα και από τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης, ομορφαίνουν τα πράγματα:

z - 1 = -( e^{i \alpha} - 1)^2
z = 1 - (e^{i \alpha} - 1)^22

Και οι διερευνήσεις βέβαια, δε σταματούν εδώ. Είναι εντυπωσιακές οι εκπαιδευτικές προεκτάσεις που μπορεί να πάρει η μελέτη μιας καμπύλης όπως η καρδιοειδής. Καθόλου άσχημα για μια καμπύλη που αρχικά μελετήθηκε από τον Δανό αστρονόμο Ole Rømer στα 1674, προκειμένου να λύσει ένα άκρως πρακτικό πρόβλημα, αυτό της βέλτιστης μορφής της οδόντωσης γραναζιών.

Αναφορές
WEISSTEIN, ERIC W. «Cycloid» from MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html

Δείτε επίσης
Η καρδιοειδής στο MacTutor
Η καρδιοειδής στο Wolfram MathWorld
Η καρδιοειδής στο Xah’s math blog


1.  Ο κύκλος που κυλάει επάνω στο σταθερό κύκλο λέγεται επίκυκλος. Διαβάζω στο λεξικό της κοινής νεοελληνικής, στην πύλη για την ελληνική γλώσσα, στο λήμμα επίκυκλος:

επίκυκλος ο: (μαθημ.) κύκλος του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια άλλου μεγαλύτερου κύκλου. [λόγ. < ελνστ.  ἐπίκυκλος]

2. Σε επόμενο άρθρο θα δούμε έναν όμορφο τρόπο να εμφανίζονται οι παραμετρικές σας καμπύλες στη GeoGebra.

Advertisements




Η Ωραία Ελένη της Γεωμετρίας

22 03 2012

Η Ωραία Ελένη της Γεωμετρίας

Δεν πρόκειται για καμία άλλη βέβαια, από την κυκλοειδή καμπύλη. Σε αυτό το εξαιρετικό άρθρο ο John Martin εξηγεί προς τι το όμορφο παρατσούκλι, παραλληλίζοντας όχι μόνο τη χάρη αλλά και τις φοβερές ίντριγκες που προκάλεσαν, γυναίκα και καμπύλη!

Αναφορές
MARTIN, J. 2010. The Helen of Geometry. The College Mathematics Journal. 41 (1), pp. 17-28.





Τα κρυμμένα μαθηματικά μιας απλής κατασκευής

23 06 2010

Αυτό που ήθελα ήταν να κατασκευάσω στη GeoGebra μια μηχανή που να μετατρέπει την κυκλική σε ευθύγραμμη ή καλύτερα σε σχεδόν ευθύγραμμη κίνηση. Δεν είναι το πλεόν πρωτότυπο πρόβλημα, όμως αυτό που εμφανίστηκε αφού έπαιξα λιγάκι με τη GeoGebra ήταν μια μέθοδος κατασκευής διάφορων καμπυλών [1]. Περιγράφω λοιπόν την όλη κατασκευή που φαίνεται στο σχήμα 1:

Σχήμα 1

Σχήμα 1

  • Θεωρώ αρχικά ένα κύκλο. Για να διευκολύνω τις πράξεις θεωρώ τον μοναδιαίο κύκλο με εξίσωση: x^2+y^2=1.
  • Ένα σημείο \mathrm C (x_1,y_1) κινείται επί του μοναδιαίου κύκλου.
  • Θεωρώ ένα σημείο \mathrm D (d,0), με d \geq 0.
  • Θεωρώ το σημείο \mathrm F (x_1 + l,y_1) με l \geq d+1, το οποίο βρίσκεται στην ίδια παράλληλη με τον άξονα x'x ευθεία που διέρχεται από το \mathrm C.
  • Θεωρώ το σημείο \mathrm E (x_2,y_2) το οποίο βρίσκεται επί της ευθείας \mathrm {CD} και απέχει από το σημείο \mathrm C απόσταση ίση με l= \mathrm {CF}.
  • Έστω \mathrm G(x,y) το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \mathrm {EF}.

Για να δούμε τώρα τι είδους καμπύλες διαγράφει το \mathrm G καθώς το \mathrm C κινείται πάνω στον κύκλο. Για να ακολουθήσω τη δική μου ανακαλυπτική πορεία, παραθέτω πρώτα μερικά σχήματα. Πρόκειται για τις καμπύλες που διαγράφει το σημείο \mathrm G καθώς η παράμετρος d παίρνει διάφορες τιμές.

Για d=0 το \mathrm G διαγράφει μια καμπύλη που φαίνεται να είναι κύκλος (αργότερα θα αποδειχτεί ότι πράγματι είναι κύκλος) όπως φαίνεται στο σχήμα 2:

σχήμα 2

Σχήμα 2: d = 0

Όταν d=1, δηλαδή ίσο με την ακτίνα του κύκλου, το \mathrm G διαγράφει μια ανοιχτή καμπύλη. Παρατηρείστε ότι όταν \mathrm C \equiv \mathrm D τότε η ευθεία \mathrm {CD} δεν ορίζεται και κατ’ επέκταση ούτε το σημείο \mathrm E.

σχήμα 3

Σχήμα 3: d = 1

Για d ελάχιστα μεγαλύτερο του 1 η παραπάνω καμπύλη κλείνει όπως φαίνεται στο σχήμα 4.

σχήμα 4

Σχήμα 4: το d παίρνει λίγο μεγαλύτερες του 1 τιμές

Καθώς το d αυξάνει η κλειστή καμπύλη γίνεται πιο «πεπιεσμένη» στα άκρα της και πιο «οξεία» στην κορυφή όπως φαίνεται στο σχήμα 5.

σχήμα 5

Σχήμα 5

Το d συνεχίζει να αυξάνει για να δώσει μια κλειστή καμπύλη «8», όπως φαίνεται στο σχήμα 6.

σχήμα 6

Σχήμα 6

Μετά από κάποια τιμή του d η καμπύλη γίνεται συμμετρική με αυτή του σχήματος 5, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.

σχήμα 7

Σχήμα 7

Μπορείτε να παίξετε με την κατασκευή εδώ και να ψάξετε για αντιστοιχίες με «διάσημες» καμπύλες εδώ.

Θέλω όμως να ασχοληθώ και με τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από τις καμπύλες.

Η εξίσωση της ευθείας \mathrm{CD} είναι: y=y_1 \frac{x-d}{x_1 - d}.

Επειδή το σημείο \mathrm E(x_2,y_2) είναι σημείο της παραπάνω ευθείας, θα ισχύει:

y_2=y_1 \frac{x_2 - d}{x_1 - d} (1),

ενώ το μήκος \mathrm{CE} είναι ίσο με l, επομένως:

(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = l^2 (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει με απλές πράξεις ότι:

x_2=l \frac{d-x_1}{\sqrt{1-2x_1d+d^2}}+x_1 (3).

Και επειδή το \mathrm G είναι το μέσον του \mathrm{EF} θα έχει συντεταγμένες x=\frac{1}{2}(x_1+x_2+l) και y=\frac{1}{2}(y_1+y_2).

Λόγω της σχέσης (3) και έχοντας υπόψη ότι x_1^2+y_1^2=1, μετά από πράξεις καταλήγουμε στις συντεταγμένες του

\mathrm G \bigg ( x_1 \big (1 - \frac{l}{2 \sqrt{1-2x_1d+d^2}} \big ) + \frac{l}{2} \big (1+\frac{d}{\sqrt{1-2x_1d+d^2}} \big ),y_1 \big (1-\frac{l}{2\sqrt{1-2x_1d+d^2}} \big ) \bigg )

  • Αν d=0,
    οι συντεταγμένες του σημείου \mathrm G γίνονται:
    x=x_1 \big (1 - \frac{l}{2} \big ) + \frac{l}{2} και y=y_1 \big (1 - \frac{l}{2} \big ).
    Επομένως ισχύει \big ( x- \frac{l}{2} \big )^2 +y^2 = \big ( \frac{l}{2} - 1 \big )^2,
    οπότε το \mathrm G διαγράφει τον κύκλο με κέντρο το σημείο (\frac{l}{2},0) και ακτίνα (\frac{l}{2} - 1)
  • Αν d=1,
    είδαμε ότι το \mathrm C δεν μπορεί να ταυτίζεται με το \mathrm D ενώ οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης που δημιουργείται είναι:
    x = \cos \theta - \frac{\sqrt{2}}{4} l \sqrt{1 - \cos \theta} + \frac{l}{2},
    y=\sin \theta \big (1 - \frac{l}{2 \sqrt{2(1- \cos \theta)}} \big ), με \theta \neq 0
  • Αν d>1,
    θα δώσω μόνο τις παραμετρικές εξισώσεις των καμπυλών, οι οποίες προκύπτουν άμεσα από τις συντεταγμένες του σημείου \mathrm G και είναι:
    x=\cos \theta \big ( 1 - \frac{l}{2 \sqrt{1 - 2 d \cos \theta + d^2}} \big ) + \frac{l}{2} \big ( 1 + \frac{d}{\sqrt{1 - 2 d \cos \theta + d^2}}\big ),
    y=\sin \theta \big (1 - \frac{l}{2 \sqrt{1-2 d \cos \theta + d^2}} \big )
    Το ερώτημα που γεννάται εδώ είναι πότε η καμπύλη παίρνει το σχήμα «8». Για να γίνει κάτι τέτοιο, η εξίσωση y=0 θα πρέπει να έχει τρεις λύσεις. Δύο που προκύπτουν από την \sin \theta = 0 και μία που προκύπτει από την 1 - \frac{l}{2 \sqrt{1-2 d \cos \theta + d^2}}=0. Η τελευταία εξίσωση δίνει την τρίτη λύση αν -1< \frac{4+4 d^2 - l^2}{8 d} < 1.

Ας κάνω ένα σύντομο απολογισμό. Αυτό το παιχνίδι με την απλή κατασκευή ήταν αφορμή για να ασχοληθώ με:

  1. την εξίσωση ευθείας
  2. την εξίσωση κύκλου
  3. τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος
  4. την κατασκευή παραμετρικών εξισώσεων καμπύλης
  5. την κατασκευή καρτεσιανής εξίσωσης καμπύλης
  6. την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων
  7. τη διαχείριση πολύπλοκων παραστάσεων
  8. τη διερεύνηση περιπτώσεων

Το επιχείρημά μου εδώ είναι ότι η εισαγωγή νέων τεχνολογιών στην τάξη δε νεκρώνει αναγκαστικά τη μαθηματική σκέψη («αφού όλα γίνονται αυτόματα»), αλλά θα μπορούσε να αποτελέσει το έναυσμα για βαθιά ενασχόληση με τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από απλές (και όχι μόνο) κατασκευές.

Σημειώσεις

[1] Δείτε την υλοποίηση του Ν. Δαπόντε στη Scratch εδώ και μια διαφοροποιημένη υλοποίηση εδώ.





Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημx

16 11 2009


Οι δυνατότητες λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας αξιοποιούνται στο έπακρο εκεί που απαιτείται κίνηση. Χρησιμοποιώντας τη GeoGebra μπορεί κανείς να περιγράψει διαδικασίες με τρόπο που θα ήταν αδύνατο να περιγραφούν με τη χρήση παραδοσιακών μέσων. Έτσι λοιπόν, με την ενεργοποίηση του ίχνους του σημείου Κ ο μαθητής υποβοηθάται να κατανοήσει ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι ουσιαστικά ένα σύνολο σημείων της μορφής (x, f(x)). Παρατηρείστε επίσης ότι η τεταγμένη του σημείου Κ δεν ορίστηκε να είναι ίση με \sin \alpha, αλλά με την τεταγμένη του σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας, για να τονιστεί έτσι ο ρόλος του τριγωνομετρικού κύκλου στον εντοπισμό των τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών.








Αρέσει σε %d bloggers: