Πεδίο ορισμού μίας ρητής συνάρτησης

21 01 2014

Hardware:
1 pen tablet
1 φτηνό μικρόφωνο
1 laptop pc

Software:
Screencast-o-matic
Μπλοκ Σημειώσεων των Windows
YouTube

Νομίζω πως το αποτέλεσμα είναι πολύ καλό, αν λάβει κανείς υπόψην το φτηνό hardware που χρησιμοποιήθηκε για να γίνει αυτό το βιντεάκι. Αισθητικά βρίσκεται στα πρότυπα των βίντεο της Khan Academy, με μαύρο φόντο και χρωματιστό στιλό. Προτάσεις δεκτές.

Η άσκηση βρίσκεται σε μία παλιά έκδοση του βιβλίου «Άλγεβρα Α’ Λυκείου» των Θ. Τζουβάρα, Κ. Τζιρώνη.

Advertisements




Ο δεκάλογος της μαθηματικής στοιχειοθεσίας

13 06 2013
  1. Μη χρησιμοποιείτε τη γραμματοσειρά Comic Sans για να γράψετε το μαθηματικό σας κείμενο. Αυτή η γραμματοσειρά κατασκευάστηκε για να μιμηθεί τη γραφή των αμερικανικών βιβλίων κόμικς και έχει ανεπίσημο χαρακτήρα. Δεν είναι κατάλληλη για μαθηματικό κείμενο και δεν καθιστά το κείμενό σας πιο αρεστό στους μαθητές επειδή «φαίνεται να έχει πλάκα». Τα κείμενα τυγχάνουν αποδοχής όταν είναι εύληπτα, καλά δομημένα και βοηθούν τους αναγνώστες τους να μάθουν.
  2. Αν το κείμενό σας πρόκειται να αναγνωστεί επί της οθόνης τότε προτιμήστε μια sans-serif γραμματοσειρά (όχι την Comic Sans).
  3. Αν το κείμενο πρόκειται να εκτυπωθεί τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια serif γραμματοσειρά.
  4. Επιλέξτε διάστιχο 1,5 γραμμής.
  5. Προσπαθήστε να διατηρήσετε μία ομοιογένεια σε όλη την έκταση του κειμένου σας. Αποφασίστε δηλαδή εκ των προτέρων έναν και μόνο τρόπο με τον οποίο θα σημειώνετε τις μεταβλητές, τις συναρτήσεις, τα σύνολα, τα σημεία κλπ.. Σκεφθείτε τη σύγχυση που προκαλεί στον αναγνώστη ένα κείμενο στο οποίο η μεταβλητή x σημειώνεται με διάφορους τρόπους, όπως για παράδειγμα x, X, χ, ή χ. Επίσης, καλό είναι να χρησιμοποιείτε την ίδια γραμματοσειρά για να συγγράψετε κείμενο και μαθηματικά. Έχετε κατά νου ότι η ομοιογένεια στο κείμενο βοηθά τον αναγνώστη να επικεντρωθεί στην ουσία αυτών που γράφετε, αφού δεν τον/την αποσπά η προσπάθεια να αποκωδικοποιήσει τους χαρακτήρες που διαβάζει κάθε φορά.
  6. Επιλέξτε να μη γίνεται πλήρης στοίχιση του κειμένου, αφού η πλήρης στοίχιση τείνει να μπερδεύει τους μαθητές με δυσλεξία.
  7. Προτιμήστε να γράφετε τις μεταβλητές με πλάγιους λατινικούς χαρακτήρες (italics).
  8. Προτιμήστε να μην σημειώνετε τις συναρτήσεις με πλάγιους χαρακτήρες.
  9. Προβάλλετε τις σημαντικές εξισώσεις στο κείμενο· γράψτε τις σε καινούρια γραμμή με στοίχιση στο κέντρο.
  10. Μη γράφετε με μέγεθος γραμματοσειράς μεγαλύτερο από 12.




A∩B: η ιστορία ενός βέννειου διαγράμματος

6 10 2012

Στη μικρή δημοσκόπηση που ανάρτησα εδώ και δύο περίπου μήνες στη δεξιά στήλη του blog, βλέπω ότι η πλειοψηφία των αναγνωστών γράφει μαθηματικά στο MathType (περίπου το 50% των ανθρώπων που ψήφισαν), γεγονός που είναι απόλυτα αναμενόμενο. Το \LaTeX έρχεται δεύτερο σε προτίμηση, με ποσοστό λίγο μικρότερο από 25%. Ομολογώ πως δεν περίμενα τέτοιο αποτέλεσμα. Πίστευα πραγματικά πως οι χρήστες του \LaTeX θα ήταν λιγότεροι. Αφού λοιπόν η πλειοψηφία των αναγνωστών γράφουν μαθηματικά με ένα λογισμικό που είναι πολύ εύκολο να σου τα «θαλασσώσει», ενώ παράλληλα υπάρχει μια σημαντική μερίδα ανθρώπων που χρησιμοποιούν \LaTeX (το καλύτερο «λογισμικό»[1] που υπάρχει αυτή τη στιγμή για να γράψει κανείς μαθηματικό κείμενο), σκέφτηκα ότι θα μπορούσαν να φανούν χρήσιμα μερικά άρθρα σχετικά με τις εξερευνήσεις μου στη χώρα του \LaTeX. Αυτό λοιπόν θα είναι το πρώτο από μία σειρά άρθρων πάνω σε θέματα που με απασχολούν κατά καιρούς, ενόσω γράφω τις σημειώσεις μου.

Τα διαγράμματα Venn σε κάτι παλιά βιβλία πιθανοτήτων που διάβαζα στο πανεπιστήμιο αποκαλούνταν βέννεια διαγράμματα (ήταν γραμμένα στην καθαρεύουσα βλέπετε). Αυτή η έκφραση έχει έκτοτε χαραχτεί στο μυαλό μου. Τώρα πια όποτε βλέπω ένα διάγραμμα Venn, θυμάμαι πάντα τα βέννεια διαγράμματα. Τις προάλλες διάβασα ένα άρθρο στο blog Μαθηματικές πτήσεις σχετικά με τα διαγράμματα Venn, ενώ την ίδια ημέρα πάσχιζα να αποτυπώσω το βέννειο διάγραμμα της τομής δύο συνόλων σε κείμενο γραμμένο σε \LaTeX. Σκέφτηκα λοιπόν να γράψω σήμερα γι’ αυτό το θέμα ακριβώς. Πώς μπορεί λοιπόν κανείς να σχεδιάσει την τομή δύο συνόλων με ένα διάγραμμα Venn σε \LaTeX;

Προεργασία στη GeoGebra

Ανοίξτε τη GeoGebra και σχεδιάστε το διάγραμμα Venn.

  1. Εμφανίστε το πλέγμα στην περιοχή σχεδίασης.
  2. Με τη χρήση του εργαλείου «πολύγωνο» σχεδιάστε ένα ορθογώνιο με οδηγό το πλέγμα. Επιλέξτε την απόκρυψη των κορυφών. Δώστε το χρώμα που θέλετε στο τετράπλευρο, αλλά δώστε τιμή 0 στην Αδιαφάνεια (δεξί κλικ στο ορθογώνιο → Ιδιότητες… → Στυλ →Αδιαφάνεια).
  3. Με το εργαλείο «έλλειψη» σχεδιάστε τα δύο σύνολα. Επιλέξτε την απόκρυψη των εστιών και των σημείων των ελλείψεων.
  4. Με το εργαλείο «εισαγωγή κειμένου» δώστε ονόματα στα σύνολά σας.

Προς το παρόν δε χρειάζεται να σας απασχολεί το μέρος που θέλετε να γραμμοσκιάσετε. Έχετε επίσης υπόψην σας ότι κάθε μονάδα μέτρησης μήκους θα αποτυπωθεί αργότερα στο κείμενό σας σε πραγματικό μήκος 1cm, οπότε καλό είναι να έχετε κατά νου τις αναλογίες. Βέβαια αυτό αργότερα μπορεί να αλλάξει πολύ εύκολα, πειράζοντας μονάχα μια εντολή, αλλά προς το παρόν δε θα ασχοληθούμε με κάτι τέτοιο.

Σύρετε με αριστερό κλικ ένα ορθογώνιο πλαίσιο γύρω από το σχήμα σας. Ό,τι πλαισιωθεί τώρα θα εξαχθεί αργότερα στο κείμενο. Ζητήστε από τη GeoGebra να δημιουργήσει τον κώδικα PsTricks του σχήματός σας ακολουθώντας τη διαδρομή Αρχείο → Εξαγωγή → Προβολή γραφικών ως PsTricks. Στο παράθυρο που θα ανοίξει η GeoGebra επιλέξτε Δημιουργία κώδικα PsTricks. Αφήστε το παράθυρο ανοιχτό για αργότερα. Η GeoGebra παράγει ένα MWE (Minimal Working Example), το οποίο δε θα χρειαστείτε ολόκληρο.

Το κυρίως μέρος στο LyX

Ανοίξτε το LyX και φορτώστε το πακέτο PsTricks στο έγγραφό σας ακολουθώντας τη διαδρομή Έγγραφο → Ρυθμίσεις… → Προεπεξεργασία LaTeX και προσθέστε στο preamble του κειμένου σας την εντολή  \usepackage{pstricks-add}

Οι τέσσερις πρώτες γραμμές του κώδικα που παρήγαγε η GeoGebra είναι το preamble του MWE, οπότε δε χρειάζεται να τις αντιγράψετε αν δουλεύετε στο LyX, ούτε βέβαια και την τελευταία. Αντιγράψτε το υπόλοιπο κομμάτι του κώδικα, μέχρι και την εντολή \end{pspicture*}. Πρέπει να έχετε κάτι που να μοιάζει με τον παρακάτω κώδικα

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.14,0.82)(3.16,3.26)
\psline(0,3)(3,3)
\psline(3,3)(3,1)
\psline(3,1)(0,1)
\psline(0,1)(0,3)
\rput{73.89}(1.07,2.11){\psellipse(0,0)(0.75,0.58)}
\rput{75.96}(1.87,2.04){\psellipse(0,0)(0.75,0.65)}
\rput[tl](2.62,1.54){$ \Omega $}
\rput[tl](0.26,2.98){$ \mathrm{A} $}
\rput[tl](2.38,3.06){$ \mathrm{B} $}
\end{pspicture*}

Επιλέξτε στο LyX το εργαλείο Εισαγωγή κώδικα TeX και στο κόκκινο ορθογώνιο που θα εμφανιστεί το κείμενό σας επικολλήστε τον κώδικα. Ήρθε η ώρα να πειράξουμε λιγάκι τον κώδικα, ώστε να σκιαστεί το κομμάτι του γραφικού που αντιστοιχεί στην τομή των δύο συνόλων. Αυτή τη δουλειά θα την κάνουμε με την εντολή \psclip. Αντιγράψτε τις γραμμές 07 και 08 του κώδικα, οι οποίες σχεδιάζουν τις δύο ελλείψεις. Εισάγετε πριν  τη γραμμή 07 τις εντολές:

\psclip{
 \rput{81.12}(0.76,0.56){\psellipse[linestyle=none](0,0)(.75,0.58)}
 \rput{75.76}(2.09,0.51){\psellipse[linestyle=none](0,0)(0.75,0.65)}
}
\psframe*[linecolor=lightgray](-0.14,0.82)(3.16,3.26)
\endpsclip

Η \psclip δίνει το κομμάτι που αντιστοιχεί στην τομή των γραμμών που βρίσκονται μέσα στις αγκύλες της. Παρατηρήστε ότι στις δύο ελλείψεις μέσα στην \psclip κάναμε μια μικρή αλλαγή, προσθέσαμε την επιλογή [linestyle=none] για να μην εμφανιστεί δύο φορές το περίγραμμα της τομής. Τις ελλείψεις θα τις σχεδιάσουμε ξανά αργότερα (γραμμές 07 και 08 του «παλιού» κώδικα). Αμέσως μετά δώσαμε την εντολή \psframe* για να δηλώσουμε το επιθυμητό χρώμα της τομής. Η εντολή αυτή ουσιαστικά δημιουργεί ένα γκρι πλαίσιο που καλύπτει ολόκληρη την εικόνα (προσέξτε ότι οι συντεταγμένες που την ακολουθούν καλύπτουν εξολοκλήρου την εικόνα), εφόσον όμως ακολουθεί την \psclip{έλλειψη1, έλλειψη2}, μόνο το κομμάτι της τομής εμφανίζεται τελικά, δίνοντάς του γκρι χρώμα.  Η τελική μορφή του κώδικα είναι η παρακάτω:

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.14,0.82)(3.16,3.26)
\psline(0,3)(3,3)
\psline(3,3)(3,1)
\psline(3,1)(0,1)
\psline(0,1)(0,3)
\psclip{
 \rput{81.12}(0.76,0.56){\psellipse[linestyle=none](0,0)(.75,0.58)}
 \rput{75.76}(2.09,0.51){\psellipse[linestyle=none](0,0)(0.75,0.65)}
}
\psframe*[linecolor=lightgray](-1.1,-1.12)(4.12,2.08)
\endpsclip
\rput{73.89}(1.07,2.11){\psellipse(0,0)(0.75,0.58)} 
\rput{75.96}(1.87,2.04){\psellipse(0,0)(0.75,0.65)} 
\rput[tl](2.62,1.54){$ \Omega $} 
\rput[tl](0.26,2.98){$ \mathrm{A} $} 
\rput[tl](2.38,3.06){$ \mathrm{B} $} 
\end{pspicture*}

Σε περίπτωση που οι χαρακτήρες Α, Β και Ω δεν εμφανίζονται εκεί που θέλετε, μπορείτε να αλλάξετε τις συντεταγμένες τους, ώστε να εμφανιστούν ακριβώς εκεί που επιθυμείτε.

Αν θέλετε να αλλάξετε τις διαστάσεις της εικόνας σας, μπορείτε να το κάνετε διαφοροποιώντας τις μονάδες μέτρησης στους άξονες x και y στη γραμμή 00 του κώδικα. Αυτό γίνεται ορίζοντας άλλες τιμές για τις παραμέτρους xunit και yunit.

Σημειώστε ότι για να εξάγετε το κείμενό σας σε pdf είναι αναγκαίο να χρησιμοποιήσετε το μετατροπέα ps2pdf, καθώς κανένας άλλος δεν μπορεί να διαχειριστεί σωστά τα σχήματα που δημιουργούνται με το PsTricks.

Σημειώσεις

[1] Το \LaTeX, που αρχικά σχεδιάστηκε από τον Leslie Lamport,  δεν είναι ουσιαστικά λογισμικό, αλλά μια γλώσσα για το \TeX. Το \TeX είναι ένα σύστημα στοιχειοθεσίας που σχεδιάστηκε από τον Donald Knuth και κυκλοφόρησε το 1978, με σκοπό:

  1. να δώσει τη δυνατότητα στον καθένα να γράψει βιβλία υψηλής αισθητικής και
  2. να κατασκευάσει ένα σύστημα που θα έδινε ακριβώς τα ίδια αποτελέσματα σε οποιονδήποτε υπολογιστή.




Περί αντίστροφων (συναρτήσεων) ο λόγος

11 09 2011

Ο έντονος διάλογος που είχε ακολουθήσει την έκδοση του μικρού βιβλίου του Πετράκη (2007) έχει κοπάσει. Οι ασκήσεις που ζητούν να εντοπίσει κανείς κοινά σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και των αντίστροφών τους ξαναβρίσκουν τη θέση τους στη σχετική βιβλιογραφία, ξεμυτώντας σαν ισχνά πιτσιρίκια πίσω από την πλάτη του τεράστιου ξαδέρφου που κατέφθασε για να «καθαρίσει». Παρόλα αυτά ένα σημείο παραμένει ανεξήγητα ασχολίαστο. Μια μικρή, ταπεινή πρόταση θεωρείται πάντα ως κάτι το γνωστό και δεν έτυχε να συναντήσω μια απόδειξη γι’ αυτήν σε κανένα σχετικό βιβλίο. Είναι κάτι που με προβληματίζει εδώ και καιρό, δεν έχω κατανοήσει όμως ακόμα γιατί η απόδειξη αυτής της πρότασης παραμελείται συστηματικά.

Εξηγούμαι λοιπόν: στις λυμένες ασκήσεις πολλών βιβλίων, όταν αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ο εντοπισμός κοινών σημείων της γραφικής της παράστασης με αυτή της αντίστροφής της συνάρτησης περνά χωρίς πολλά λόγια από την επίλυση του συστήματος:
\left\{ \begin{matrix} y= \textrm{f} (x)\\ y=x \end{matrix}\right.
Στην περίπτωση όμως που δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τη μονοτονία της συνάρτησης, τότε το σύστημα που επιλύεται είναι το γενικότερο:
\left\{ \begin{matrix} y=\textrm{f}(x) \\ y=\textrm{f}^{-1}(x) \end{matrix} \right.
Έτσι υποννοείται, εμμέσως πλην σαφώς, ότι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της αύξουσας συνάρτησης και της αντίστροφής της βρίσκονται επί της ευθείας y=x.

Για να δούμε όμως, γιατί η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας και αντιστρέψιμης συνάρτησης, όταν έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της συνάρτησης, αυτό θα βρίσκεται αναγκαστικά πάνω στην ευθεία y=x;

Ας υποθέσουμε ότι η γραφική παράσταση της \textrm{f} και της \textrm{f}^{-1} έχουν ένα κοινό σημείο, το M(\kappa, \lambda), που δε βρίσκεται επί της ευθείας y=x, επομένως \kappa \neq \lambda. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι \kappa < \lambda.

Εφόσον το M είναι σημείο και των δύο γραφικών παραστάσεων, θα ισχύουν οι σχέσεις:

\textrm{f}(\kappa) = \lambda \qquad (1)
\textrm{f}^{-1}(\kappa) = \lambda \quad (2)

Από τη σχέση (2) όμως προκύπτει ότι:

\kappa = \textrm{f}( \lambda ) \qquad (3)

Επειδή η \textrm{f} είναι γνησίως αύξουσα, ενώ \kappa < \lambda θα είναι και:

\textrm{f}( \kappa ) < \textrm{f}( \lambda )

Λόγω των (1) και (3) η τελευταία σχέση γίνεται: \lambda < \kappa, που είναι άτοπο.

Το θέμα βέβαια απέχει παρασάγγας από το να χαρακτηριστεί σημαντικό, απλά ήθελα να βάλω τα πράματα στη θέση τους, μιλώντας… σε απλά ελληνικά.

Αναφορές
ΠΕΤΡΑΚΗΣ, Α. 2007. Αντίστροφες συναρτήσεις. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Ζήτη





Ο θρήνος ενός μαθηματικού

15 07 2011

Χτες, σχεδόν τυχαία, ανακάλυψα στο διαδίκτυο ένα από τα πιο δυνατά κείμενα που διάβασα ποτέ για τα σχολικά μαθηματικά. Μεταφράζω την πρώτη από τις 25 σελίδες από το «θρήνο ενός μαθηματικού» (A mathematician’s lament) του Paul Lockhart.

Ένας μουσικός ξυπνά από έναν τρομερό εφιάλτη. Στο όνειρό του βρίσκεται σε μια κοινωνία όπου η μουσική εκπαίδευση έχει γίνει υποχρεωτική. «Βοηθάμε τους μαθητές μας να γίνουν πιο ανταγωνιστικοί σε έναν όλο και περισσότερο γεμάτο από ήχους κόσμο». Εκπαιδευτικοί, σχολικά συστήματα και το κράτος έχουν τεθεί επικεφαλής αυτού του ζωτικής σημασίας έργου. Ανατίθενται μελέτες, σχηματίζονται επιτροπές και αποφάσεις παίρνονται – όλα χωρίς τη συμμετοχή ή συμβουλή ούτε ενός επαγγελματία μουσικού ή συνθέτη.

Εφόσον είναι γνωστό ότι οι μουσικοί βάζουν κάτω τις ιδέες τους σε παρτιτούρες, αυτές οι περίεργες μαύρες τελείες και γραμμές πρέπει να αποτελούν τη «γλώσσα της μουσικής». Είναι επιτακτική ανάγκη οι μαθητές να μάθουν άπταιστα τη γλώσσα αυτή, αν θέλουν να αποκτήσουν σε κάποιο βαθμό μουσική ικανότητα· πράγματι, θα ήταν γελοίο να περιμένουμε ένα παιδί να τραγουδήσει ένα τραγούδι ή να παίξει κάποιο όργανο χωρίς να έχει ισχυρά θεμέλια στη μουσική σημειογραφία και θεωρία. Το να παίζει και να ακούει κανείς μουσική, πόσο μάλλον να συνθέτει ένα πρωτότυπο κομμάτι, θεωρούνται πολύ προχωρημένα θέματα και γενικώς έχουν μετατεθεί για το πανεπιστήμιο, και πιο συχνά για το μεταπτυχιακό.

Όσον αφορά τα σχολεία βασικής και μέσης εκπαίδευσης, η αποστολή τους είναι να εκπαιδεύσουν τους μαθητές ώστε να χρησιμοποιούν αυτή τη γλώσσα – να παίζουν πέρα – δώθε με τα σύμβολά της, σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σύνολο κανόνων: «Στην ώρα της μουσικής βγάζουμε τις κόλλες πενταγράμμου, ο δάσκαλος γράφει μερικές νότες στον πίνακα κι εμείς τις αντιγράφουμε ή τις μεταφέρουμε σε άλλο κλειδί. Πρέπει να είμαστε σίγουροι ότι γράφουμε τα κλειδιά στην αρχή του πενταγράμμου σωστά, κι ο δάσκαλός μας επιμένει πολύ ότι πρέπει να μαυρίζουμε εντελώς τις νότες με αξία τετάρτου. Μια φορά είχαμε μια άσκηση με μια χρωματική κλίμακα και την έκανα σωστά, αλλά ο δάσκαλος δε μου έβαλε καλό βαθμό γιατί είχα βάλει τα στελέχη να δείχνουν προς τη λάθος μεριά.»

Με όλη τους τη σοφία, οι εκπαιδευτικοί σύντομα αντιλαμβάνονται ότι ακόμα και σε πολύ μικρά παιδιά μπορεί να παρέχεται τέτοιου είδους μουσική εκπαίδευση. Στην πραγματικότητα, θεωρείται αρκετά επαίσχυντο αν το τριτάκι κάποιου δεν έχει απομνημονεύσει εξ ολοκλήρου τον κύκλο των πέμπτων. «Θα χρειαστεί να κάνω στο γιο μου ιδιαίτερα. Δεν κάθεται να διαβάσει μουσική με τίποτα. Λέει ότι είναι βαρετή. Κάθεται και χαζεύει έξω από το παράθυρο, ενώ ψιθυρίζει μελωδίες και φτιάχνει ανόητα τραγουδάκια.»

Στις μεγαλύτερες τάξεις η πίεση αυξάνεται. Εξάλλου οι μαθητές πρέπει να είναι έτοιμοι για τα διαγωνίσματα και τις εξετάσεις εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Οι μαθητές διδάσκονται Κλίμακες και Τρόπους, Μέτρο, Αρμονία και Αντίστιξη. «Είναι πολλά αυτά που πρέπει να μάθουν, όμως αργότερα στο πανεπιστήμιο όταν θα έχουν την ευκαιρία να τα ακούσουν αυτά τα πράγματα, θα εκτιμήσουν όλη τη σκληρή δουλειά που κατέβαλαν στο λύκειο». Φυσικά, δεν είναι πολλοί οι φοιτητές που επικεντρώνονται στη μουσική, οπότε μόνο λίγοι θα καταφέρουν να ακούσουν τη μουσική που οι μαύρες τελείες αναπαριστούν. Παρόλα αυτά είναι σημαντικό κάθε μέλος της κοινωνίας να μπορεί να αναγνωρίζει μια αλλαγή τονικότητας ή μια φούγκα, ασχέτως αν δεν τις ακούσουν ποτέ. «Να σου πω την αλήθεια, οι περισσότεροι μαθητές δεν είναι πολύ καλοί στη μουσική. Βαριούνται στην τάξη, οι δεξιότητές τους είναι περιορισμένες, και οι εργασίες τους μετά βίας διαβάζονται. Οι περισσότεροι από αυτούς δε δίνουν δεκάρα για το πόσο σημαντική είναι η μουσική στις μέρες μας· θέλουν απλά να πάρουν όσο το δυνατόν λιγότερα μαθήματα μουσικής και να ξεμπερδεύουν. Υποθέτω ότι απλά υπάρχουν άνθρωποι που το έχουν και άλλοι που δεν το ‘χουν. Είχα όμως μια μαθήτρια κάποτε, ήταν φοβερή! Τα φύλλα της ήταν άψογα. Κάθε νότα στη θέση της, τέλεια καλλιγραφία, διέσεις, υφέσεις, σκέτη ομορφιά. Θα γίνει φοβερή μουσικός μια μέρα.»

Καθώς ξυπνάει λουσμένος στον κρύο ιδρώτα, ο μουσικός αντιλαμβάνεται, όλος ευγνωμοσύνη, ότι ήταν ένα τρελό όνειρο. «Μα, φυσικά!» καθησυχάζει τον εαυτό του, «Καμιά κοινωνία δε θα μείωνε ποτέ μια τόσο όμορφη και ουσιαστική μορφή τέχνης σε κάτι τόσο ανόητο και ασήμαντο· κανένας πολιτισμός δε θα μπορούσε να φανεί τόσο σκληρός στα παιδιά του ώστε να τους στερήσει ένα τόσο φυσικό, ικανοποιητικό μέσο ανθρώπινης έκφρασης. Τι παραλογισμός!»

Εντωμεταξύ, στην άλλη μεριά της πόλης ένας ζωγράφος ξυπνά από ένα παρόμοιο εφιάλτη…





Πολυώνυμα για τη Β’ Λυκείου

12 05 2011

Κινητήρια δύναμη ήταν η ανάγκη να κατηγοριοποιήσω τις ασκήσεις που μπορεί να αντιμετωπίσει ένας μαθητής της Β’ Λυκείου κατά την ενασχόλησή του με το σχολικό βιβλίο. Κατέληξα λοιπόν σε ένα σύνολο σημειώσεων, στις οποίες προσπαθώ σε απλά ελληνικά:

  1. να συνοψίσω τα σημαντικότερα στοιχεία της θεωρίας του σχολικού βιβλίου,
  2. να περιγράψω τη μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε για να επιλύσουμε κάποια προβλήματα συγκεκριμένων μορφών που συναντώνται στο σχολικό βιβλίο και
  3. να αποσαφηνίσω τη μεθοδολογία με την επίλυση επιλεγμένων ασκήσεων από το σχολικό βιβλίο.

Βρείτε τις σημειώσεις για τα πολυώνυμα της Β’ Λυκείου εδώ (pdf). Οι λυμένες ασκήσεις είναι του σχολικού βιβλίου, οπότε αρίθμηση και σελίδες αναφέρονται σε αυτό. Όπως πάντα τα σχόλιά σας και οι παρατηρήσεις καλοδεχούμενες!





Τραπέζιο στη GeoGebra – η κατασκευή ενός εργαλείου

22 04 2010

Τις προάλλες χρειάστηκε να σχεδιάσω ένα τραπέζιο στη GeoGebra. Το γεγονός ότι δεν υπάρχει αντίστοιχο εργαλείο στην αρχική εγκατάσταση καθιστά το σχεδιασμό μια μάλλον χρονοβόρα διαδικασία. Αποφάσισα λοιπόν ότι προτιμότερο θα ήταν να κατασκευάσω εγώ δύο εργαλεία που θα σχεδιάζουν τραπέζια και ισοσκελή τραπέζια, αντίστοιχα [1]. Η διαδικασία κατασκευής ενός εργαλείου στη GeoGebra είναι πολύ απλή. Το μόνο που χρειάζεται να έχει κανείς κατά νου είναι ο χρήστης και τα στοιχεία που θα χρειαστεί να εισάγει κάθε φορά που θα χρησιμοποιεί το συκγεκριμένο εργαλείο. Το βίντεο που ακολουθεί περιγράφει τη διαδικασία.

Τα δύο εργαλεία που κατασκευάστηκαν μπορεί κανείς να βρει εδώ.

Αυτό που με προβληματίζει είναι το τρίτο σημείο στη σειρά κατασκευής (το σημείο C στο Σχήμα 1), το οποίο μετά το σχεδιασμό του τραπέζιου χρειάζεται μεν ώστε να ορίζει τη μη παράλληλη πλευρά ΒΕ, αλλά δεν αποτελεί κορυφή του. Επομένως αν χρειαστεί να εκτυπωθεί για παράδειγμα το σχήμα, ο χρήστης θα πρέπει πρωτίστως να εξαφανίσει το σημείο απενεργοποιώντας την εντολή «Δείξε το αντικείμενο». Ίσως ξεπεραστεί το προβληματάκι στην επόμενη έκδοση (v.2) του εργαλείου!

snapshot 55

Σχήμα 1

Σημειώσεις

[1] Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το σχεδιασμό εργαλείων μπορείτε να βρείτε στην ελληνική μετάφραση του εγχειριδίου της GeoGebra που θα βρείτε εδώ, καθώς και στο επίσημο εγχειρίδιο χρήσης της έκδοσης 3.2 που βρίσκεται εδώ (στα αγγλικά).








Αρέσει σε %d bloggers: