La educación prohibida

11 11 2013




Παραγοντοποίηση: ένα διάγραμμα ροής

29 05 2013

Τις προάλλες έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο «Μαθηματικά Α’ Λυκείου» των Μάκρα, Μαυρογιάννη, Σαλίχου που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Καστανιώτη (έκδοση: Σεπτέμβριος, 2000). Φυλλομετρώντας το, ανακάλυψα ένα διάγραμμα ροής σχετικό με την παραγοντοποίηση. Τι καταπληκτική ιδέα! Συνειδητοποίησα αμέσως ότι ουσιαστικά πάντα συμβούλευα τους μαθητές της Γ’ Γυμνασίου να διαχειρίζονται αλγοριθμικά την παραγοντοποίηση. Να κάνουν δηλαδή διαδοχικούς ελέγχους, ώστε με τη βοήθεια κατάλληλων διεργασιών να καταλήγουν σε ένα γινόμενο πρώτων παραγόντων. Μάλιστα, είχα κατασκευάσει σχετικά mindmaps, ποτέ όμως δεν είχα σκεφτεί να φτιάξω ένα διάγραμμα ροής. Είχα λοιπόν αυτό που αγγλιστί αποκαλείται ένα aha! moment. Ήξερα ότι έπρεπε να κατασκευάσω ένα διάγραμμα ροής για την παραγοντοποίηση που να ταιριάζει στη διδασκαλία μου και στον τρόπο που τη διαχειρίζομαι.

Έβαλα λοιπόν τα πράματα σε μια σειρά. Πρώτα έπρεπε να πληροφορηθώ για τα βασικά της κατασκευής ενός διαγράμματος ροής. Ανέτρεξα στη Wikipedia, όπου διάβασα:

Σύμβολα Έναρξης και Λήξης
Αναπαριστώνται ως κύκλοι, οβάλ ή στρογγυλεμένα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που περιέχουν τη λέξη «έναρξη», «λήξη» ή μια φράση που να δείχνει την αρχή ή το τέλος της διαδικασίας.

Βέλη
Δείχνουν αυτό που ονομάζεται στην επιστήμη των υπολογιστών «ροή ελέγχου». Ένα βέλος που έρχεται από ένα σύμβολο και καταλήγει σε ένα άλλο δείχνει ότι ο έλεγχος ακολουθεί την ίδια πορεία.

Στάδια Επεξεργασίας
Αναπαριστώνται από ορθογώνια παραλληλόγραμμα, π.χ. «πρόσθεσε 1 στο Χ», «αποθήκευσε τις αλλαγές» κ.λ.π.

Υποθέσεις/Αποφάσεις
Αναπαριστώνται από ρόμβους. Τυπικά περιέχουν ερώτηση «ΝΑΙ/ΟΧΙ» ή «ΑΛΗΘΕΣ/ΨΕΥΔΕΣ». Αυτό το σύμβολο συνήθως έχει δύο βέλη να βγαίνουν από αυτό, ένα από το πλάι που αντιστοιχεί στο ΟΧΙ/ΨΕΥΔΕΣ και ένα από κάτω που αντιστοιχεί στο ΝΑΙ/ΑΛΗΘΕΣ. Τα βέλη πρέπει πάντα να σημειώνονται.

Επόμενο βήμα η κατασκευή. Άνοιξα το Inkscape για να φτιάξω το παρακάτω διάγραμμα ροής που μοιράζομαι μαζί σας. Η αλήθεια είναι ότι δεν τήρησα ευλαβικά τους κανόνες που διάβασα στη Wikipedia, αλλά ήθελα το αποτέλεσμα να είναι λειτουργικό και να αποτυπώνει τη διαδικασία που ακολουθώ όταν παραγοντοποιώ μία παράσταση.

factor_flowchart





14 Φεβρουαρίου

2 05 2013

Το παιχνίδι με τα κέρματα
Όταν πήγαινα στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού μου άρεσε πάρα πολύ να παίζω ένα παιχνίδι με κέρματα. Κρατούσα σταθερό με το δάχτυλό μου ένα κέρμα πάνω στο τραπέζι και ακουμπούσα ένα δεύτερο κέρμα πάνω στο πρώτο. Έπειτα προσπαθούσα να περιστρέψω το δεύτερο κέρμα γύρω από το πρώτο, το σταθερό, όπως θα έκανε και μία ρόδα ποδηλάτου. Τώρα που το ξανασκέφτομαι, όλες οι ρόδες ποδηλάτων που κυλούν πάνω στον πλανήτη κάνουν ακριβώς αυτή τη δουλειά, αν αναλογιστεί κανείς πως και η Γη είναι στρόγγυλη! Βέβαια, τα κέρματα έχουν σχετικά συγκρίσιμες ακτίνες, ενώ από την άλλη η μέση ακτίνα της Γης είναι – με πρόχειρους υπολογισμούς – περίπου 18.202.857 φορές μεγαλύτερη από την ακτίνα του ποδηλάτου μου.

Η ρόδα του ποδηλάτου
Πολλά χρόνια αργότερα, μια άλλη – φαινομενικά ασύνδετη – απορία μου είχε γεννηθεί:

Τι καμπύλη διαγράφει ένα σημείο του λάστιχου ενός ποδηλάτου, καθώς αυτό κινείται σε μια ευθεία;

Ε λοιπόν, αυτή η καμπύλη ονομάζεται κυκλοειδής. Μπορείτε να τη δείτε στο παρακάτω animated gif που βρίσκεται στη σελίδα της κυκλοειδούς καμπύλης στην Wikipedia.

Cycloid

Κυκλοειδής καμπύλη – Εικόνα: Zorgit

Το περίεργο είναι ότι μέχρι τότε δεν είχα ακούσει ποτέ γι’ αυτήν, ευτυχώς όμως ήξερα αρκετά καλά τη Wolfram Mathematica ώστε να την προγραμματίσω για να μου δώσει την καμπύλη που ήθελα (δείτε εδώ την κυκλοειδή καμπύλη φτιαγμένη στη Mathematica από τον Eric Weisstein στον ιστότοπο Wolfram MathWorld).

Τα ρίχνουμε όλα στο μπολ μας…
Πολύ ωραία. Γιατί δε συνδυάζουμε λοιπόν το παιχνίδι με τα κέρματα, με την ερώτηση για τη ρόδα του ποδηλάτου; Αν το κάναμε, θα παίρναμε μια ερώτηση που μοιάζει με αυτήν εδώ:

Ποια καμπύλη διαγράφει ένα σταθερό σημείο ενός κύκλου ο οποίος κυλάει πάνω σε έναν άλλο κύκλο;

Ωραία ερώτηση!

Μια απάντηση
Ζητούμενο εδώ λοιπόν είναι να εντοπίσουμε αυτήν την καμπύλη, η οποία όμως, όπως μπορεί να καταλάβει οποιοσδήποτε έχει παίξει το παιχνίδι με τα κέρματα, είναι διαφορετική για κάθε ζευγάρι κερμάτων. Το σχήμα της καμπύλης δηλαδή, εξαρτάται από το μέγεθος των κύκλων. Όπως και να ‘χει το όνομά της είναι επικυκλοειδής, και αυτή η ελληνική λέξη χρησιμοποιείται σε όλον τον κόσμο για να περιγραφεί τούτη η καμπύλη.

Παρακάτω μπορείτε να δείτε την επικυκλοειδή καμπύλη που σχηματίζουν δύο ίσοι κύκλοι. Αυτή λέγεται καρδιοειδής καμπύλη γιατί μοιάζει με μια καρδιά. Όταν ο κύκλος που κυλάει έχει ακτίνα μισή από αυτή του σταθερού κύκλου, τότε σχηματίζονται δύο γωνιακά σημεία στην καμπύλη, που τώρα λέγεται νεφροειδής γιατί μοιάζει με δύο νεφρά. Αν η ακτίνα του κύκλου που κυλάει είναι τρεις φορές μικρότερη από την ακτίνα του σταθερού κύκλου, τότε η καμπύλη που σχηματίζεται έχει τρία γωνιακά σημεία κ.ο.κ.. Αναλογίζομαι ότι αν κατάφερνα ποτέ να κάνω το γύρο του κόσμου πάνω στο ποδήλατό μου διαγράφοντας ένα μέγιστο κύκλο, τότε η βαλβίδα της ρόδας μου θα διέγραφε μια επικυκλοειδή καμπύλη με 18 εκατομμύρια (και κάτι) γωνιακά σημεία!

καρδιοειδές

Καρδιοειδές – Εικόνα: WojciechSwiderski

Στις εικόνες που ακολουθούν εμφανίζονται οι επικυκλοειδείς καμπύλες που σχηματίζονται όταν ο εξωτερικός κύκλος που κυλάει1 έχει ακτίνα (α) ίση, (β) μισή, (γ) υποτριπλάσια, (δ) υποτετραπλάσια της ακτίνας του σταθερού κύκλου.

Για τους… μικρούς
Για να δούμε λοιπόν πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καρδιοειδή καμπύλη με απλά γεωμετρικά εργαλεία σε ένα Περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας (ΠΔΓ), όπως η GeoGebra. Η διαδικασία είναι απλή, κατ’ επέκταση κατάλληλη για μικρούς μαθητές, ακόμη και του Δημοτικού σχολείου. Βέβαια, δεν εννοώ σε καμία περίπτωση ότι μαθητές Δημοτικού θα μπορούσαν να εμπλακούν με τα μαθηματικά της καρδιοειδούς καμπύλης, όμως η κατασκευή της και μόνο – σε κατάλληλο ΠΔΓ και με έναυσμα το παιχνίδι με τα κέρματα, ή το ποδήλατο – μπορεί να αποτελέσει μια εισαγωγή σε έννοιες όπως κύκλος (κέντρο, ακτίνα), ίσες γωνίες, σημείο, κίνηση, γεωμετρικός τόπος κλπ.. Δείτε το βίντεο.

Σε περίπτωση που αναρωτιέστε γιατί οι γωνίες α και β είναι μεταξύ τους ίσες, κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα.proof_1Καθώς το κέντρο Λ του επίκυκλου (Λ,ρ) μετακινείται μέχρι τη θέση Λ’, τα διαδοχικά σημεία επαφής των δύο κύκλων σχηματίζουν τα τόξα ΑΒ και Α’Β επί των δύο κύκλων (Κ,ρ) και (Λ,ρ) αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε τώρα ότι οι γωνίες α και β είναι εκφρασμένες σε ακτίνια (rad), τα μήκη των τόξων θα είναι:

\mathrm{AB} =\alpha\cdot\rho  και  \mathrm{A'B}=\beta\cdot\rho

Επειδή όμως τα τόξα είναι ίσα, προκύπτει ότι: \alpha\cdot\rho=\beta\cdot\rho, απ’ όπου τελικά έχουμε ότι \alpha = \beta.

Για τους λίγο μεγαλύτερους
Η κατασκευή με τη βοήθεια ΠΔΓ δίνει μια πρώτης τάξεως ευκαιρία να υπολογιστούν οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης. Παρατηρείστε πόσο εύκολα μπορεί να δομηθεί ένα φύλλο εργασίας με εύστοχες και διαδοχικές ερωτήσεις που θα οδηγήσουν στο ζητούμενο, εν προκειμένω την κατασκευή των παραμετρικών εξισώσεων.

Παρακάτω ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ είναι ο σταθερός κύκλος και αυτός με κέντρο το σημείο Λ είναι ο επίκυκλος. Το σημείο Α’ είναι αυτό που μας ενδιαφέρει, μιας που διαγράφει την καρδιοειδή καμπύλη καθώς ο επίκυκλος συμπληρώνει μία πλήρη περιστροφή γύρω από το σταθερό κύκλο (Κ, ρ=1).


proof_2

Ε: Τι σχέση έχουν οι γωνίες α και γ του σχήματος;
Α: Οι δύο γωνίες είναι ίσες ως εντός εναλλάξ.
Ε: Πώς μπορεί να εκφραστεί η γωνία ω με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Επειδή οι γωνίες α, β και γ είναι ίσες, η γωνία \omega=\pi -\beta - \gamma =\pi-2\alpha
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Λ, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Γνωρίζουμε ότι:

\cos\alpha=\frac{x_\Lambda}{2}  και  \sin\alpha=\frac{y_\Lambda}{2}

Οπότε, οι συντεταγμένες του σημείου Λ είναι (2\cos\alpha, 2 \sin\alpha).
Ε: Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α’, αν εκφραστούν με τη βοήθεια της γωνίας α;
Α: Τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΛΗ και ΛΖ είναι:

(\Lambda \mathrm{H})=\cos\omega=\cos (\pi-2\alpha)=-\cos(2\alpha)
(\Lambda \mathrm{Z})=\sin (\pi - 2 \alpha) = \sin(2\alpha)

Και επειδή x_{A'} = x_\Lambda + (\Lambda \mathrm{H}) θα είναι: x_{A'}=2\cos\alpha-\cos(2\alpha).
Επίσης, θα είναι: y_{A'}=y_\Lambda - (\Lambda \mathrm{Z}), οπότε y_{A'}=2\sin\alpha - \sin(2\alpha).

Αυτό που καταφέραμε είναι να εκφράσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α’ με τη βοήθεια της γωνίας α, κατασκευάσαμε δηλαδή τις παραμετρικές συντεταγμένες της καρδιοειδούς μας καμπύλης, οι οποίες είναι:

x=2\cos\alpha-\cos(2\alpha)
y=2\sin\alpha -\sin(2\alpha)

Αν καταφέρουμε να απαλείψουμε την παράμετρο \alpha από τις παραπάνω εξισώσεις, θα προκύψει η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης. Έγραψα σε ένα κίτρινο χαρτί:

σάρωση0011

Να λοιπόν η καρτεσιανή εξίσωση της καρδιοειδούς καμπύλης μας:

(x^2+y^2-3)^2=4(3-2x).

Η GeoGebra έχει τη δυνατότητα να σχεδιάζει πεπλεγμένες καμπύλες, οπότε αν εισάγετε την παραπάνω εξίσωση, θα πάρετε αυτό το αποτέλεσμα:καρδιοειδέςΚαι μιας που στην εξίσωση εμφανίζεται το άθροισμα x^2+y^2, που στο μυαλό μου είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το μέτρο του μιγαδικού z=x+yi, με x,y \in \mathbb{R}, σκέφτομαι πως αν θέλαμε να εκφράσουμε την καρδιοειδή ως ένα γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z, τότε αυτός θα έπρεπε να επαληθεύει τη σχέση

\big( z\bar{z} - 3 \big)^2=4 \big( 3 - (z + \bar{z}) \big)

Αν πάλι θέλαμε να εκφράσουμε το μιγαδικό z με τη βοήθεια της παραμέτρου \alpha που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω, τότε δεν έχουμε παρά να αναλογιστούμε ότι:

z=2\cos \alpha - \cos (2\alpha) + i(2 \sin \alpha - \sin (2 \alpha )), ή
z = 2(\cos \alpha + i \sin \alpha) - (\cos (2 \alpha) + i \sin (2 \alpha)), ή
z=2 e^{i \alpha} - e^{2 i \alpha}

Αν αφαιρέσουμε τη μονάδα και από τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης, ομορφαίνουν τα πράγματα:

z - 1 = -( e^{i \alpha} - 1)^2
z = 1 - (e^{i \alpha} - 1)^22

Και οι διερευνήσεις βέβαια, δε σταματούν εδώ. Είναι εντυπωσιακές οι εκπαιδευτικές προεκτάσεις που μπορεί να πάρει η μελέτη μιας καμπύλης όπως η καρδιοειδής. Καθόλου άσχημα για μια καμπύλη που αρχικά μελετήθηκε από τον Δανό αστρονόμο Ole Rømer στα 1674, προκειμένου να λύσει ένα άκρως πρακτικό πρόβλημα, αυτό της βέλτιστης μορφής της οδόντωσης γραναζιών.

Αναφορές
WEISSTEIN, ERIC W. «Cycloid» from MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html

Δείτε επίσης
Η καρδιοειδής στο MacTutor
Η καρδιοειδής στο Wolfram MathWorld
Η καρδιοειδής στο Xah’s math blog


1.  Ο κύκλος που κυλάει επάνω στο σταθερό κύκλο λέγεται επίκυκλος. Διαβάζω στο λεξικό της κοινής νεοελληνικής, στην πύλη για την ελληνική γλώσσα, στο λήμμα επίκυκλος:

επίκυκλος ο: (μαθημ.) κύκλος του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια άλλου μεγαλύτερου κύκλου. [λόγ. < ελνστ.  ἐπίκυκλος]

2. Σε επόμενο άρθρο θα δούμε έναν όμορφο τρόπο να εμφανίζονται οι παραμετρικές σας καμπύλες στη GeoGebra.





Πόσο μεγάλο είναι το άπειρο;

14 10 2012

Σε αυτό το βίντεο του TED-Ed

χρησιμοποιώντας τα θεμέλια της θεωρίας συνόλων, εξερευνούμε τη δύσκολη έννοια του «απείρου των απείρων» και πώς οδήγησε τους μαθηματικούς να συμπεράνουν ότι τα μαθηματικά περιέχουν αναπάντητες ερωτήσεις.

Οι δημιουργοί:
Dennis Wildfogel εκπαιδευτικός
Aaron Augenblick σκηνοθέτης
Lisa Thomas παραγωγός
Hal Lee animator

Δείτε ολόκληρο το μάθημα στο site του TED-Ed, εμπλουτισμένο με 5 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, 3 ανοικτές ερωτήσεις αλλά και προτάσεις για περισσότερο διάβασμα πάνω στο θέμα.





Reductio ad absurdum

12 10 2012

Αυτήν την περίοδο οι μαθητές της Α’ τάξης του Λυκείου εισάγονται στην αποδεικτική διαδικασία της απαγωγής στο άτοπο. Η πρώτη επαφή των μαθητών με την απαγωγή στο άτοπο είναι σχεδόν πάντα δύσκολη, ειδικά αν συνοδεύεται από ασκήσεις του σχολικού βιβλίου τύπου:

Αν ο \alpha είναι ρητός και ο \beta άρρητος, τότε να δείξετε ότι ο \alpha + \beta είναι άρρητος.

Την περίοδο που διάβαζα το 1089 and all that του David Acheson, σκεφτόμουν ότι η απαγωγή στο άτοπο μπορεί να είναι ακόμη και διασκεδαστική. Με στόχο να εισάγω ομαλά τους μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία της απαγωγής στο άτοπο και με τη βοήθεια ενός πολύ έξυπνου και ελκυστικού κουίζ, έφτιαξα μια παρουσίαση. Βασίζεται σε δύο προβλήματα που παρουσιάζονται στο βιβλίο, τα οποία είναι αυτό των επτά γεφυρών του Königsberg και του υπολογισμού του πλήθους των πρώτων αριθμών.

Αρχικά δίνω στους μαθητές μια φωτοτυπία ενός πρόχειρου σχεδιαγράμματος της παλιάς πόλης του Königsberg (κατεβάστε το αρχείο από εδώ σε μορφή odt) και τους εξηγώ το πρόβλημα:

Μπορεί κανείς να διασχίσει τις τέσσερις περιοχές της πόλης του Königsberg κατά τέτοιο τρόπο ώστε ώστε να περάσει καθεμιά από τις επτά γέφυρες μία και μόνο φορά;

Αφού οι μαθητές καταλήξουν στο συμπέρασμα μόνοι τους, με τη βοήθεια της παρουσίασης βλέπουμε πώς ο Euler κατάφερε να λύσει το πρόβλημα, αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει τέτοια διαδρομή.

Ακολουθεί μια πιο «μαθηματική» απόδειξη του Ευκλείδη ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος.

Δείτε την παρουσίαση παρακάτω, μπορείτε επίσης αν θέλετε να την κατεβάσετε από εδώ (odp).

Το σλάιντ απαιτεί την χρήση JavaScript.

Σημειώστε ότι το κομμάτι της παρουσίασης που είναι σχετικό με τις γέφυρες του Königsberg, καθώς επίσης και το κουίζ στη φωτοτυπία, είναι παιδαγωγικά αξιποιήσιμο ακόμη και με πολύ μικρότερα παιδιά.





Morphing και ομοιοθεσία

8 04 2012

Το morphing

Το morphing (από την ελληνική λέξη μεταμόρφωση) είναι ένα ειδικό εφέ σε ταινίες και κινούμενα σχέδια που αλλάζει (ή μεταμορφώνει) μία εικόνα σε μια άλλη, μέσω μιας ομαλής μετάβασης. Τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται για να απεικονίσει ένα άτομο να μετατρέπεται σε ένα άλλο με τη βοήθεια τεχνολογικών μέσων ή ως μέρος μιας φαντασίωσης ή μιας σουρεαλιστικής ακολουθίας. Παραδοσιακά, μια τέτοια αναπαράσταση θα μπορούσε να επιτευχθεί μέσω της τεχνικής διασταυρούμενου fading σε φιλμ. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1990, αυτό έχει αντικατασταθεί από λογισμικό του υπολογιστή για να δημιουργηθούν πιο ρεαλιστικές μεταβάσεις.

Από τη wikipedia

Όταν πρώτη φορά στη ζωή μου είδα (πετυχημένο) morphing στο βίντεο κλιπ του Michael Jackson – «Black or White», έμεινα άναυδος! Ήταν ένα από τα πιο ζόρικα πράγματα που είχα δει ποτέ μου! Βέβαια, αυτό έγινε περίπου στα 1992. Είκοσι χρόνια αργότερα, με αφορμή μια συζήτηση με το Νίκο Δαπόντε, μαθαίνω ότι το εφέ λέγεται morphing και μετά από αναζήτηση στο διαδίκτυο καταλαβαίνω ότι κρύβονται πολύ όμορφα μαθηματικά πίσω από τη διαδικασία.

Οι Floater και Gotsman (1999) γράφουν ότι το «morphing είναι ουσιαστικά ο συνεχής μετασχηματισμός ενός γεωμετρικού αντικειμένου σε κάποιο άλλο» (σ. 117). Τα κύρια προβλήματα που μας απασχολούν στο morphing είναι:

  1. η αντιστοίχιση των κορυφών των δύο πολυγώνων, και
  2. ο προσδιορισμός του μονοπατιού που θα ακολουθήσουν οι κορυφές του πολυγώνου για να φτάσουν από την αρχική στην τελική τους θέση.

… η ομοιοθεσία

Η ομοιοθεσία από την άλλη, είναι μια διαδικασία που μου κέντριζε πάντα το ενδιαφέρον. Ίσως επειδή συνδέεται άμεσα με άλλα γνωστικά και πολιτισμικά αντικείμενα όπως το σχέδιο, η ζωγραφική, η τρισδιάστατη απεικόνιση μέσω υπολογιστή κλπ. Βέβαια, ένα τόσο πραγματικό και από τη φύση του διαθεματικό κομμάτι των μαθηματικών, δε θα μπορούσε παρά να εξοβελιστεί από το ελληνικό σχολείο! Αλίμονο αν οι μαθητές μας υποψιάζονταν ότι τα «ιερογλυφικά» που σκαλίζουμε στον πίνακα έχουν και… πρακτικές εφαρμογές!

… και το πάντρεμα

Η ομοιοθεσία βέβαια δεν είναι μια συνεχής διαδικασία, αλλά αν γεμίσουμε εμείς τα «κενά» από το αρχικό σχήμα στο ομοιόθετό του, τότε έχουμε morphing!

Για να δούμε λιγάκι τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω απ’ αυτήν την ιδέα. Ας θεωρήσουμε ότι το σημείο \mathrm{A'} (x_2,y_2) είναι το ομοιόθετο του \mathrm{A}(x_1,y_1) με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο \mathrm{K}(x_0,y_0) και λόγο \lambda > 0, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Θα εξετάσουμε τα δύο βασικά ερωτήματα της μεταμόρφωσης του \mathrm{A} στο \mathrm{A'}.

1. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός σύμφωνα με τον οποίο το σημείο \mathrm{A} αντιστοιχίζεται στο ομοιόθετό του \mathrm{A'};

Είναι:

\overrightarrow{\mathrm{KA'}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{KA}}

\left(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0}\right)=\lambda\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)

\left(x_{2},y_{2}\right)=\big(\lambda x_{1}+\left(1-\lambda\right)x_{0},\lambda y_{1}+\left(1-\lambda\right)y_{0}\big)

Επομένως η αντιστοίχιση των κορυφών δίνεται από το μετασχηματισμό:

\varphi:\mathbb{R}^{2} → \mathbb{R}^{2}

\left(x,y\right) → \big(\lambda x+\left(1-\lambda\right)x_{0},\lambda y+\left(1-\lambda\right)y_{0}\big)

2. Ποιο «μονοπάτι» ακολουθεί το σημείο \mathrm{A} για να καταλήξει στη θέση του \mathrm{A'} κατά τη διαδικασία morphing; Ποια είναι η ταχύτητά του κατά τη μεταφορά;

Το μονοπάτι που ακολουθεί το σημείο καθώς μετακινείται από τη θέση \mathrm{A} στη θέση \mathrm{A'} είναι το ευθύγραμμο τμήμα:

\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)=\left(y_{1}-y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right),\; x_{1}\leq x\leq x_{2}

Αν θεωρήσουμε τώρα ότι η ταχύτητα του μετακινούμενου σημείου είναι σταθερή, τότε αυτό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η συνολική απόσταση που διανύει είναι:

\left|\overrightarrow{\mathrm{AA'}}\right| = \left|\overrightarrow{\mathrm{KA'}}-\overrightarrow{\mathrm{KA}}\right|=\left|\lambda\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)-\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)\right| =

= \left|1-\lambda\right|\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}

Επομένως, αν η κίνηση του σημείου ολοκληρωθεί σε χρόνο T, τότε η ταχύτητά του u θα είναι:

u = \frac{\left|1-\lambda\right|\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}}{T}

Μετά από χρόνο t \in \left[ 0, T \right] από την έναρξη της κίνησής του, το σημείο βρίσκεται στη θέση:

\mathrm{A}_{t}\bigg(\left(1-\frac{t}{T}\right)x_{1}+\frac{t}{T}x_{2},\left(1-\frac{t}{T}\right)y_{1}+\frac{t}{T}y_{2}\bigg)

Εφόσον όμως \left(x_{2},y_{2}\right)=\left(\lambda x_{1}+\left(1-\lambda\right)x_{0},\lambda y_{1}+\left(1-\lambda\right)y_{0}\right), η θέση του σημείου τη χρονική στιγμή t μπορεί επίσης να γραφεί:

\mathrm{A}_{t}\bigg(x_{1}-\frac{t}{T}\left(1-\lambda\right)\left(x_{1}-x_{0}\right),y_{1}-\frac{t}{T}\left(1-\lambda\right)\left(y_{1}-y_{0}\right)\bigg), ή

\mathrm{A}_{t} \bigg(x_{0} + \frac{1}{\lambda} \big( 1 - \frac{t}{T} \left( 1 - \lambda \right) \big) \left( x_{2} - x_{0} \right), y_{0} + \frac{1}{\lambda} \big( 1 - \frac{t}{T} \left( 1 - \lambda \right) \big) \left( y_{2} - y_{0} \right) \bigg)

Μετά από όλα αυτά, το ερώτημα βέβαια είναι ένα: δουλεύουν; Για να εξακριβώσω αν τα συμπεράσματα είναι ορθά, έφτιαξα στη GeoGebra ένα τρίγωνο (για την ακρίβεια τις κορυφές του) και κατασκεύασα το ομοιόθετό του με το αντίστοιχο εργαλείο. Έπειτα κατασκεύασα το ενδιάμεσο σημείο \mathrm{A}_{t}, με T=5, δίνοντας για το σημείο \mathrm{A}_{t} τις συντεταγμένες:

που προκύπτουν ουσιαστικά από την προτελευταία μορφή του \mathrm{A}_{t}. Το αρχείο (ggb) μπορείτε να το κατεβάσετε στο υπολογιστή σας κάνοντας κλικ εδώ.

Σημειώσεις

Αναφορές
FLOATER, M. S. and GOTSMAN, C. 1999. How to morph tilings injectively. Journal of Computational and Applied Mathematics. 101. pp. 117 – 129.





Για τη νοητική διασύνδεση των πολλαπλών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης

20 10 2011

Το άρθρο του Νίκου Δαπόντε Οι πίνακες τιμών: ένας γόνιμος τρόπος αναπαράστασης μιας κίνησης ήρθε την κατάλληλη στιγμή. Βλέπετε, αυτόν τον καιρό με απασχολούν πολύ οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές όταν χρειάζεται να «μεταγλωττίσουν» αλγεβρικές σε γεωμετρικές έννοιες. Αυτοί οι προβληματισμοί μου πάντα αναδύονται την περίοδο που βρισκόμαστε στις εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων με τους μαθητές της Γ’ Λυκείου, αλλά και στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τους μαθητές της Β’ Λυκείου. Η κατασκευή της ημιτονοειδούς καμπύλης (ένα θέμα με το οποίο έχω ασχοληθεί και εδώ), η γεωμετρική επίλυση μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης, η κλίση της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης ως παράγωγος και τόσα άλλα γεωμετρικά ζητήματα που εγείρονται στη μελέτη της Άλγεβρας και της Ανάλυσης φαντάζουν τουλάχιστον εξωγήινα σε μια μεγάλη μερίδα μαθητών (και μη μου πείτε ότι δεν είναι έτσι τα πράγματα).

Για να σκεφτούμε όμως λιγάκι, γιατί είναι έτσι τα πράγματα; Γιατί δεν έχουν γίνει οι κατάλληλες νοητικές διασυνδέσεις ανάμεσα στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις από τους μαθητές; Το θέμα βέβαια είναι τεράστιο και υπάρχει μεγάλος όγκος σχετικής αρθρογραφίας σε επιστημονικά περιοδικά. Για να δώσω τη δική μου προσέγγιση και να καταφέρω να διαπραγματευτώ μια λύση, θα ανατρέξω στη ρίζα του. Πρώτη φορά στη μαθητική του καριέρα, ένα παιδί έρχεται σε επαφή με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στη Β’ Γυμνασίου. Στις Οδηγίες για τη διδασκαλία των θετικών μαθημάτων των Α’, Β’ και Γ’ τάξεων ημερήσιου και εσπερινού Γυμνασίου για το σχολικό έτος 2011 – 2012 αναγράφεται για τη σχετική παράγραφο 3.2 «Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης» του πρώτου μέρους του σχολικού βιβλίου:

§3.2 (Να διατεθούν 3 ώρες)

Να δοθούν ασκήσεις και προβλήματα με γραφικές παραστάσεις τις οποίες θα πρέπει οι μαθητές να «διαβάσουν» για να βρουν ποιες τιμές του y αντιστοιχούν σε δεδομένες τιμές του x και αντιστρόφως. Τέτοιες είναι η ερώτηση 5, η καμπύλη θερμοκρασίας ενός τόπου (§4.5 του νέου σχολικού βιβλίου της Α’ Λυκείου) και άλλες που μπορούν να αναζητηθούν στο διαδίκτυο.
Να μη διδαχθούν οι εφαρμογές 2 (συμμετρικό σημείου) και 3 (τύπος απόστασης σημείων), οι ερωτήσεις κατανόησης 3, 4 και οι ασκήσεις 3, 5 και 6. Στις ασκήσεις 4 και 7 μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα και όχι ο τύπος απόστασης σημείων. Αντίθετα να δοθεί έμφαση στην εφαρμογή 4 και στις ασκήσεις 8, 9 και 10.

Καταλαβαίνει λοιπόν κανείς, με μια δεύτερη ανάγνωση, ότι το βάρος εδώ δίνεται στην εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Η ίδια η κατασκευή της γραφικής παράστασης μάλλον έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Είναι λογικό εξάλλου, αφού στην παρούσα φάση κάτι τέτοιο απαιτεί την κοπιώδη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών. Στις περιπτώσεις που ζητείται από το μαθητή να κατασκευάσει μια γραφική παράσταση (ασκήσεις 8, 9 και 10) ο πίνακας τιμών είναι έτοιμος, ενώ σε μία μόνο περίπτωση ο μαθητής καλείται να κατασκευάσει έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του τύπου της συνάρτησης (δραστηριότητα 1). Οπότε οι ασκήσεις 8, 9 και 10 μάλλον αποσυνδέουν τον τύπο μιας συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση, παρά καταφέρνουν να δημιουργήσουν την εντύπωση στο μαθητή ότι πρόκειται για δύο αναπαραστάσεις της ίδιας σχέσης (αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ως τέτοια). Αυτή η αποσύνδεση ενδεχομένως να είναι θεμιτή σε μεγαλύτερες τάξεις, εκεί που για παράδειγμα μπορεί μια συνάρτηση να μην εκφράζεται με έναν αναλυτικό τύπο, αλλά παρόλα αυτά είμαστε σε θέση να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση (π.χ. την αντίστροφη συνάρτηση της \textrm{f}(x) = e^x + \ln x – θα αναφερθώ σε επόμενο άρθρο σε αυτή τη διαδικασία). Θεωρώ όμως ότι στην παρούσα φάση, κάτι τέτοιο δεν εξυπηρτεί τους διδακτικούς στόχους που έχει θέσει το ίδιο το υπουργείο, σύμφωνα με το οποίο οι πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης (λεκτική διατύπωση, γραφική παράσταση, αλγεβρικός τύπος, πίνακας τιμών) γίνονται αντικείμενο συστηματικής διαπραγμάτευσης. Εξάλλου, η κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης από ένα πίνακα τεσσάρων ή πέντε τιμών, δημιουργεί τη λανθασμένη εντύπωση ότι μια συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως θα περιμέναμε, δηλαδή ότι η γραφική της παράσταση είναι μια λεία καμπύλη που ακολουθεί ομαλά το νοητό μονοπάτι που δημιουργούν τα σημεία του πίνακα τιμών, όπως ο Κοντορεβυθούλης τα πετραδάκια του!

Είναι εμφανές ότι η επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου μιας συνάρτησης αποκλείει τους μαθητές από την κατασκευή τους και κατ’ επέκταση τη δημιουργία νοητικών διασυνδέσεων ανάμεσα στις πολλαπλές εκφάνσεις μιας συνάρτησης. Παράλληλα, σε αυτό το στάδιο ο ίδιος ο υπολογισμός της αριθμητικής τιμής μιας συνάρτησης για κάποιο x δε βρίσκεται στην καρδιά των διδακτικών στόχων. Προτείνω επομένως, αμέσως μετά τις δραστηριότητες που οι μαθητές χειρονακτικά συμπληρώνουν έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου κάποιας συνάρτησης, να ανατίθεται η όλη διαδικασία στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Από τους μαθητές μπορεί να ζητείται η «μεταγλώττιση» της συνάρτησης σε κώδικα.

Μια τέτοια ενέργεια έχει τα εξής προτερήματα:

  1. Καθιστά τη συμπλήρωση του πίνακα τιμών μια διαδικασία που δεν καταναλώνει πολύ χρόνο.
  2. Δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατασκευάσουν μεγάλους πίνακες τιμών.
  3. Ο αυτόματος υπολογισμός πολλών τιμών της συνάρτησης δίνει την αίσθηση ότι η συνάρτηση είναι μια διαδικασία και ότι δεν απαιτείται εκ των προτέρων μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής που θα «νοηματοδοτήσει» τη συνάρτηση, αφού χειρονακτικά μονάχα με αυτήν ο τύπος της μπορεί να δουλευτεί για να παράξει μια τιμή (Thompson, 1994).
  4. Η πληθώρα των σημείων που μπορεί να παραχτεί με τη βοήθεια του υπολογιστή ισχυροποιεί την έννοια της συνέχειας (ή της μη συνέχειας) στη σχηματιζόμενη καμπύλη.
  5. Μπορούν να δοθούν παραδείγματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν ακολουθεί το λείο μονοπάτι που θα περίμενε κανείς αν είχε στη διάθεσή του έναν πίνακα τιμών με 4 ή 5 ζεύγη.
  6. Μπορούν εύκολα να γίνουν συσχετισμοί των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \textrm{f}(x) =\alpha x + \beta και \textrm{f}(x) =\alpha x^2 + \beta x + \gamma (τελευταίο κεφάλαιο στο βιβλίο της Άλγεβρας της Α’ Λυκείου) με διαγράμματα απόστασης – χρόνου ή ταχύτητας – χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλή και επιταχυνόμενη κίνηση (πρώτο κεφάλαιο στο βιβλίο Φυσικής της Α’ Λυκείου).
  7. Οι μαθητές εξοικειώνονται με τη «μεταγλώττιση» μαθηματικών συναρτήσεων σε κώδικα.

Στο παρακάτω βίντεο δείχνω έναν εύκολο τρόπο με τον οποίο μπορεί να παράξει κανείς έναν πίνακα 61 τιμών για τη συνάρτηση \textrm{f}(x) = x^2 - 3. Παράλληλα, τα παραγόμενα ζεύγη μπορούν αυτομάτως να αντιστοιχιστούν σε σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, και όλα αυτά με τη βοήθεια του λογιστικού φύλλου της GeoGebra. Προτείνω λοιπόν να δώσουμε στους μαθητές μας τη δυνατότητα να κατασκευάσουν οι ίδιοι μια συνάρτηση, η οποία να έχει νόημα για τους εαυτούς τους, να κατασκευάσουν χειρονακτικά έναν πίνακα μερικών τιμών και έπειτα με τη βοήθεια λογισμικού να τον επεκτείνουν, ενώ παράλληλα να δουν τη γραφική τους παράσταση να «ζωντανεύει» πάνω στην οθόνη τους, καθώς αναπαριστούν τα ζεύγη τιμών με σημεία.

Αναφορές

THOMPSON, P. W. 1994. Students, functions and the undergraduate curriculum. In: E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, J. Kaput, eds. Research in collegiate mathematics education. I. USA: American Mathematical Society, pp. 21 – 44.








Αρέσει σε %d bloggers: