Χωριό που φαίνεται

4 02 2016

Σήμερα έπεσε στα χέρια μου μια άσκηση από το Γ2 τεύχος του βιβλίου Μαθηματικών Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών του Βασίλη Παπαδάκη (εκδόσεις Σαββάλα) που με προβλημάτισε αρκετά, θα εξηγήσω παρακάτω γιατί. Τη δούλεψα κάμποση ώρα και κατέληξα σε ένα συμπέρασμα του οποίου η απλότητα το καθιστά όμορφο, ή έτσι τουλάχιστο θέλω να πιστεύω. Η ομορφιά του είναι αυτή που με ώθησε να ξαναγράψω στο ιστολόγιο τούτο το άρθρο μετά από σχεδόν δύο χρόνια σιωπής (εδώ καχάστε ελεύθερα). Αρχικά παραθέτω την εκφώνηση της άσκησης, ή τουλάχιστον το κομμάτι που με απασχολεί:

Το πρόβλημα

Δίνεται (παραγωγίσιμη) συνάρτηση \mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει για κάθε x \in \mathbb{R} :

\mathrm{f}^3(x) + \mathrm{f}(x) = 8x^3-12x^2+8x-2

Το ζητούμενο εδώ είναι να βρεθούν τα όρια \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\mathrm{f}(x).

Μια λύση

Η λύση που προτείνει ο συγγραφέας είναι εξαιρετικής κομψότητας. Βέβαια, σε σημεία της απαιτούνται ταχυδακτυλουργικά τα οποία θεωρώ ελάχιστοι μαθητές της Γ’ Λυκείου είναι σε θέση να φέρουν εις πέρας. Παρακάτω σκιαγραφώ τη λύση αυτή, ώστε να βγάλει τα δικά του συμπεράσματα ο αγαπητός αναγνώστης:

Εάν x<0, επειδή σε προηγούμενο ερώτημα έχει αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \mathrm{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}, θα είναι: \mathrm{f}(x)<\mathrm{f}(0) ή \mathrm{f}(x)<-1, από την οποία συνάγεται ότι \mathrm{f}^3(x)<\mathrm{f}(x).

Προσθέτοντας την \mathrm{f}^3(x) στα δύο μέλη της ανισότητας παίρνουμε:

2\mathrm{f}^3(x)<\mathrm{f}^3(x)+\mathrm{f}(x)
\mathrm{f}^3(x)<4x^3-6x^2+4x-1

Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει ότι \lim_{x \rightarrow - \infty}\mathrm{f}^3(x)=-\infty, οπότε \lim_{x \rightarrow -\infty}\mathrm{f}(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-\sqrt[3]{-\mathrm{f}^3(x)} ) =-\infty.

Όμοια εργάζεται κανείς εάν x>0 για να υπολογίσει το όριο στο +\infty.

Άλλη μια λύση

Βλέποντας και ξαναβλέποντας τη δοθείσα συναρτησιακή σχέση, η Μικρή Φωνούλα Μέσα Μου (Μ.Φ.Μ.Μ.) έλεγε και ξανάλεγε ότι η συνάρτηση \mathrm{f} δεν μπορεί παρά να είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση πρώτου βαθμού, την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε. Όπως καταλαβαίνει κανείς, κάτι τέτοιο θα καθιστούσε αχρείαστη την ταχυδακτυλουργική. Βέβαια, χωρίς απόδειξη όλα αυτά είναι λόγια του αέρα, οπότε σκαρφίστηκα τα παρακάτω.

Πρωτίστως εντόπισα την πολυωνυμική συνάρτηση \mathrm{p}(x) για την οποία ισχύει: \mathrm{p}^3(x) + \mathrm{p}(x) = 8x^3-12x^2+8x-2 . Εύκολα υπολογίζει κανείς ότι \mathrm{p}(x)=2x-1.

Έπειτα, υπέθεσα ότι η συνάρτηση \mathrm{f} εκτός από την \mathrm{p}, απαρτίζεται και από άλλα πράγματα. Μ’ άλλα λόγια γράφεται \mathrm{f}(x)=\mathrm{p}(x) + \mathrm{n}(x), όπου \mathrm{n}(x) μια άλλη πραγματική συνάρτηση με εξωτικά συστατικά (παρατηρείστε ότι με τον τρόπο που είναι γραμμένη η \mathrm{f}, θα μπορούσε κάλλιστα να μην περιέχει κανέναν όρο της \mathrm{p}, αν οι αντίθετοί τους περιέχονταν στην \mathrm{n}). Σε αυτήν την περίπτωση θα είναι \mathrm{f}^3(x)=\mathrm{p}^3(x)+3\mathrm{p}^2(x)\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}(x)\mathrm{n}^2(x)+\mathrm{n}^3(x). Αν αντικαταστήσουμε την \mathrm{f} και την \mathrm{f}^3 στη δοθείσα σχέση, παίρνουμε:

\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}^2(x)\mathrm{n}(x)+3\mathrm{p}(x)\mathrm{n}^2(x)+\mathrm{n}^3(x)=0, για κάθε x \in \mathbb{R}

Η τελευταία σχέση όμως γράφεται πιο βολικά ως εξής:

\mathrm{n}(x) (1+\frac{3}{4}\mathrm{p}^2(x)+[\frac{3}{2}\mathrm{p}(x)+\mathrm{n}(x)]^2)=0

Απ’ όπου προκύπτει αυτό που περίμενα εξαρχής, ότι δηλαδή \mathrm{n}(x)=0 για κάθε x \in \mathbb{R}. Η συνάρτηση \mathrm{f} λοιπόν δεν είναι άλλη από την πολυωνυμική \mathrm{p}(x)=2x-1. Τα ζητούμενα όρια υπολογίζονται εύκολα τώρα.

Σκέψεις

Όταν πήρα στα χέρια μου την άσκηση, παρόλο που η Μ.Φ.Μ.Μ. μ’ έσπρωχνε να υπολογίσω τη συνάρτηση \mathrm{f} για να κάνω τη ζωή μου πιο εύκολη, δίσταζα να το κάνω γιατί σε γενικές γραμμές δεν αντιμετωπίζουμε τέτοιου είδους ασκήσεις κατ’ αυτόν τον τρόπο. Δεν έχω δει ποτέ μέχρι τώρα σε βιβλία ή σε συζητήσεις στο διαδίκτυο να προτείνεται μια τέτοια λύση. Ακόμα κι εγώ ο ίδιος αρχικά άφησα στην άκρη αυτό που ένιωθα ότι πρέπει να δίνει την απάντηση για να ακολουθήσω τις μεθόδους που συνήθως χρησιμοποιούμε και διδάσκουμε όταν δουλεύουμε παρόμοια ζητήματα. Τι βαρετό! Πόσο απαξιωτική, απάνθρωπα ομοιογενοποιητική και καθόλου δημιουργική κατάντησε η ενασχόληση με την ξεχωριστά όμορφη τέχνη των μαθηματικών. Η διδασκαλία μας είναι ένας τσελεμεντές προς υποψήφιους επιστήμονες. Το μόνο που φτάσαμε να αποζητούμε είναι περισσότερες ασκήσεις και διαγωνίσματα για να εγκλωβίσουμε ακόμα περισσότερο τη σκέψη των μαθητών μας. Τα ανοιχτά προβλήματα εξοβελίστηκαν από το σχολείο, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής έγινε μια ευκαιρία για περισσότερα διαγωνίσματα και οι περισσότεροι μαθητές αντιμετωπίζουν σοβαρές δυσκολίες να αντιμετωπίσουν το παραμικρό πρόβλημα που απαιτεί στοιχειώδεις μαθηματικές δεξιότητες. Εν ολίγοις, την κάτσαμε!

Γι’ αυτούς που θα απορρίψουν τον τρόπο σκέψης μου ως ειδικό και μη εφαρμόσιμο σε γενικές γραμμές θα έλεγα ότι έχουν δίκιο. Θα έλεγα επίσης ότι μεγαλύτερη σημασία στα σχολικά μαθηματικά κατά την άποψή μου δεν έχει η εξωτερική επιβολή γενικών κανόνων, αλλά η διασκέδαση, η δημιουργικότητα και η εσωτερική σταδιακή δόμηση εννοιών, γενικοτήτων και κανόνων. Θα μπορούσε κανείς να αραδιάσει πολλά για να στηρίξει αυτή τη θέση, αλλά τελικά τι νόημα θα είχε κάτι τέτοιο;

Αυτά! Τα λέμε σε καναδυό χρόνια…

Advertisements

Ενέργειες

Information

2 responses

23 02 2016
γιάννης

Το ότι η συνάρτηση είναι η 2x-1 αποδεικνύεται εύκολα ως εξής:
Η δοθείσα συναρτησιακή σχέση γράφεται
f^3 (x)+f(x)=(2x-1)^3+(2x-1),\,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\Leftrightarrow
g(f(x))=g(2x-1),\,\forall x\in \mathbb{R}
όπου η συνάρτηση g(x)=x^3+x είναι «1-1» (αφού g^\prime (x)=3x^2+1>0)
άρα f(x)=2x-1,\,\forall x\in \mathbb{R}.
Ωραία η αισθητική του blog σου Κωνσταντίνε, γράφε πιο συχνά!

25 02 2016
ntinosraptis

πολύ κομψή η ιδέα σου Γιάννη. ευχαριστώ πολύ. δεν υπόσχομαι τίποτα (λέγε με Ντίνο)

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: