Computer Algebra System (CAS)

26 08 2012

Θεωρώ ότι είναι καιρός η κοινότητα των εκπαιδευτικών μαθηματικών να εξομολογηθεί με γενναιότητα στον εαυτό της και στην κοινωνία ότι ένα μέρος της ύλης που διδάσκεται στα σχολεία είναι ιστορικά και όχι λειτουργικά σημαντικό. Η επίλυση των πολυωνύμων για παράδειγμα, στην οποία αφιερώνεται ένα σημαντικό κομμάτι της ενέργειας των μαθητών μας, θεωρώ ότι είναι μία από αυτές τις περιπτώσεις. Δεν υποστηρίζω σε καμία περίπτωση ότι η ενασχόληση με την επίλυση μιας πρωτοβάθμιας ή δευτεροβάθμιας πολυωνυμικής εξίσωσης δεν αποφέρει σημαντικά λειτουργικά οφέλη ή ότι δεν οξύνει τις μαθηματικές ικανότητες των μαθητών μας. Κάθε άλλο. Δε θα μπορούσα να σκεφτώ κανένα άλλο μαθηματικό άθλο που να πυροδότησε τόσες εντάσεις, ίντριγκες, ευφυέστατες λύσεις, αλλά και την ανάπτυξη μιας ολόκληρης θεωρίας – κι όλα αυτά σε ένα πακέτο που οι μαθητές του γυμνασίου και του λυκείου να μπορούν να απορροφήσουν.

Για να δούμε όμως επιγραμματικά τι γίνεται και τι δε γίνεται στο σχολείο. Η έννοια της εξίσωσης εισάγεται μάλλον άτσαλα στην Α’ Γυμνασίου όπου οι μαθητές  καλούνται να λύσουν πρωτοβάθμιες εξισώσεις βασιζόμενοι περισσότερο στην επαλήθευση των τεσσάρων πράξεων που έχουν μάθει να κάνουν από το δημοτικό. Εδώ μου φαίνεται ότι η ανάγκη για ένα σπειροειδές πρόγραμμα καταστρατηγεί την εις βάθος κατανόηση του αντικειμένου. Στη Β’ Γυμνασίου ακολουθεί μια εξαιρετική παρουσίαση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης και η μεταφορική της σύνδεση με μια ζυγαριά. Κατά την άποψή μου η σύνδεση αυτή είναι μεγαλοφυής. Η έννοια της εξίσωσης, της λύσης της, η διαδικασία επίλυσης της πρωτοβάθμιας παρουσιάζονται με μαεστρία. Οι ιστορικές αναφορές λείπουν εντελώς. Το βάρος σταδιακά περνά από την επίλυση ενός πραγματικού προβλήματος στη μέθοδο. Στην Γ’ Γυμνασίου εμφανίζεται η δευτεροβάθμια και έκτοτε ξεκινά μια ολέθρια σχέση των μαθητών με αυτήν. Η διακρίνουσα κάνει την εμφάνισή της ως deus ex machina για να δώσει τη λύση στο πρόβλημα, αλλά ταυτόχρονα να δημιουργήσει άλλα προβλήματα, που θα ακολουθούν κάποιους μαθητές μέχρι το τέλος της σχολικής τους πορείας. Απογυμνωμένη από την ιστορία της, τη σημαντικότητά της, την ουσία της, η δευτεροβάθμια εξίσωση απομένει στο μνημονικό πολλών ανθρώπων κάπως έτσι:

βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες

\Delta = \beta ^2 - 4 \alpha \gamma

Νιώθω αποτυχημένος…

Ακόμα δεν μπορώ να καταλάβω πώς τα βόδια στο τετράγωνο και οι τέσσερις αγελάδες καταφέρνουν τελικά να οξύνουν τις μαθηματικές δεξιότητες των μαθητών. Ακόμα δεν μπορώ να καταλάβω πώς αν απογυμνώσεις ένα ιστορικά σημαντικό κομμάτι των μαθηματικών από την ιστορία του καταφέρνεις να εκπαιδεύσεις.  Πώς γίνεται ακόμη να δίνουμε βάση στο τεχνικό κομμάτι της επίλυσης, τη στιγμή που οποιοσδήποτε μαθητής μπορεί να πληκτρολογήσει σε έναν υπολογιστή:

solve[πολυώνυμο==0,x]

σε οποιοδήποτε CAS και να πάρει τις λύσεις σε κλάσματα του δευτερολέπτου;

Η χρήση του υπολογιστή δεν οδηγεί αναγκαστικά στην αποβλάκωση των μαθητών. Μπορεί να αναλάβει το κοπιαστικό κομμάτι των πράξεων και των αριθμητικών υπολογισμών, δίνοντάς μας τη δυνατότητα να ασχοληθούμε με την ιστορία των μαθηματικών, τη φιλοσοφία τους, το σχεδιασμό και την επίλυση πραγματικών προβλημάτων. Δηλαδή τα πράγματα που έχουν ουσία και που ευνοούν τη βαθιά κατανόηση των μαθηματικών που διδάσκουμε.

Το λογισμικό που μπορεί να αναλάβει τη διαχείριση των συμβολικών υπολογισμών είναι το Computer Algebra System (CAS) ή το σύστημα συμβολικής άλγεβρας όπως συνηθίζουμε να λέμε στα ελληνικά.

Τι είναι ένα Computer Algebra System (CAS)

Με τον όρο Computer Algebra System (CAS) χαρακτηρίζουμε κάθε λογισμικό που έχει τη δυνατότητα να διαχειρίζεται και να διευκολύνει συμβολικούς υπολογισμούς (σε αντιδιαστολή με τους αριθμητικούς υπολογισμούς, τους οποίους μπορεί να διαχειριστεί ακόμη κι ένας απλός υπολογιστής τσέπης). Η πλειοψηφία των σύγχρονων CAS υποστηρίζει μια σειρά υπολογισμών, από τους οποίους ενδιαφέρον στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση παρουσιάζουν οι εξής:

  • υπολογισμός αριθμητικών τιμών αλγεβρικών παραστάσεων,
  • παραγοντοποίηση και ανάπτυξη αλγεβρικών παραστάσεων,
  • παραγώγιση,
  • ολοκλήρωση (ορισμένο ή αόριστο ολοκλήρωμα),
  • επίλυση κάποιων διαφορικών εξισώσεων,
  • επίλυση γραμμικών και μη εξισώσεων,
  • υπολογισμός ορίων,
  • υπολογισμοί στατιστικής και
  • διαχείριση σειρών.

Ενώ σε κάποιες περιπτώσεις είναι διαθέσιμες και πρόσθετες λειτουργίες, όπως:

  • υπολογισμοί θεωρίας αριθμών και
  • σχεδίαση γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων, παραμετρικών καμπυλών ή επιφανειών.

Τι κάνουμε λοιπόν; Εφοδιάζουμε τις τάξεις με υπολογιστές και CAS και ευελπιστούμε ότι τα πράματα θα πάρουν από μόνα το δρόμο τους; Οι μαθητές ως δια μαγείας εμβαθύνουν στη διδακτέα ύλη και χρησιμοποιούν τους υπολογιστές για το καλό της ανθρωπότητας; Μάλλον όχι. Απαιτείται μακρόπνοος σχεδιασμός, έρευνα, καλές ιδέες και άνθρωποι με διάθεση – δηλαδή ακριβώς αυτά τα στοιχεία που απουσιάζουν από το ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα (πλην του τελευταίου).

Εσείς θα δίνατε εργασία στους μαθητές σας στην οποία θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν ένα CAS; Με ποια κριτήρια θα τη βαθμολογούσατε;

Πηγές

Μπορείτε να βρείτε μια συγκριτική λίστα διαθέσιμων CAS εδώ, στην οποία αναγράφονται οι άδειες υπό τις οποίες κυκλοφορεί κάθε λογισμικό, οι τιμές τους σε περίπτωση που αυτά είναι εμπορικά προϊόντα, τα λειτουργικά συστήματα πάνω στα οποία δουλεύουν, αλλά και οι υπολογιστικές δυνατότητές τους.

Advertisements

Ενέργειες

Information

2 Σχόλια

10 09 2012
Konstantinos

Θεωρώ ότι το καλύτερο CAS για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση θα ήταν το online και δωρεάν Wolfram|Alpha (το οποίο βασικά αποτελεί computational search engine που χρησιμοποιεί το Mathmatica), που δίνει βήμα-προς-βήμα λύσεις, ενώ προσφέρει κι ένα smartphone app.

Ωστόσο πιστεύω πως πρέπει να συνεχιστεί να δίνεται βάση (όμως να μην αποτελεί το μοναδικό στοιχείο) στο τεχνικό μέρος, αφού είναι αυτό που βοηθάει στην ανάπτυξη δεξιοτήτων αφηρημένου συλλογισμού, που αποτελεί το κύριο (κατά τη γνώμη μου) λόγο εκμάθησης μαθηματικών (ή τέλος πάντων της άλγεβρας). Το «βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες» συμφωνώ πως είναι κάτι εντελώς άκυρο.

Φυσικά σε δεύτερη σκέψη οι ασκήσεις μπορούν να αλλάξουν ώστε να μπορούν να οξειδώνουν τις μαθηματικές δεξιότητες των μαθητών, ενώ το τεχνικό κομμάτι να είναι εξαιρετικά μειωμένο λόγο χρήσης CAS, κάτι που θα δίνει επιπλέον διδακτικό χρόνο (αν και υποκείμενες (en: underlying; τα νεύρα μου όταν οι λέξεις μου έρχονται πρώτα στα αγγλικά και μετά προσπαθώ να τις μεταφράσω) μαθηματικές έννοιες θα πρέπει να διδάσκονται).

Πάντως πολλοί κοιτάνε για τη χρήση CAS στη μαθηματική εκπαίδευση (π.χ. να ένα paper (pdf) που βρήκα με ένα γρήγορο search στο Google), αλλά το συμπέρασμα είναι συνήθως «εκτός κι αν υπάρξει κάποια βελτίωση σε μια πτυχή των μαθηματικών δεν υπάρχει λόγος για αλλαγή».

23 09 2012
ntinosraptis

@Konstantinos: Λες: πιστεύω πως πρέπει να συνεχιστεί να δίνεται βάση (όμως να μην αποτελεί το μοναδικό στοιχείο) στο τεχνικό μέρος, αφού είναι αυτό που βοηθάει στην ανάπτυξη δεξιοτήτων αφηρημένου συλλογισμού
Μια τέτοια άποψη όμως, δε θα έπρεπε να στηρίζεται στην έρευνα; Είσαι σίγουρος ότι τα πράγματα είναι έτσι; Έχεις διαβάσει κάτι που να τεκμηριώνει αυτήν την άποψη ή είναι δική σου και θεωρείς ότι τα πράγματα μάλλον έτσι έχουν; Είσαι σίγουρος ότι η ανάπτυξη αφηρημένων συλλογισμών στηρίζεται στο τεχνικό μέρος των μαθηματικών;

Υ.Γ. Συγνώμη για την τραγικά αργοπορημένη απάντηση, τον τελευταίο καιρό δουλεύω πυρετωδώς.

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: