Morphing και ομοιοθεσία

8 04 2012

Το morphing

Το morphing (από την ελληνική λέξη μεταμόρφωση) είναι ένα ειδικό εφέ σε ταινίες και κινούμενα σχέδια που αλλάζει (ή μεταμορφώνει) μία εικόνα σε μια άλλη, μέσω μιας ομαλής μετάβασης. Τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται για να απεικονίσει ένα άτομο να μετατρέπεται σε ένα άλλο με τη βοήθεια τεχνολογικών μέσων ή ως μέρος μιας φαντασίωσης ή μιας σουρεαλιστικής ακολουθίας. Παραδοσιακά, μια τέτοια αναπαράσταση θα μπορούσε να επιτευχθεί μέσω της τεχνικής διασταυρούμενου fading σε φιλμ. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1990, αυτό έχει αντικατασταθεί από λογισμικό του υπολογιστή για να δημιουργηθούν πιο ρεαλιστικές μεταβάσεις.

Από τη wikipedia

Όταν πρώτη φορά στη ζωή μου είδα (πετυχημένο) morphing στο βίντεο κλιπ του Michael Jackson – «Black or White», έμεινα άναυδος! Ήταν ένα από τα πιο ζόρικα πράγματα που είχα δει ποτέ μου! Βέβαια, αυτό έγινε περίπου στα 1992. Είκοσι χρόνια αργότερα, με αφορμή μια συζήτηση με το Νίκο Δαπόντε, μαθαίνω ότι το εφέ λέγεται morphing και μετά από αναζήτηση στο διαδίκτυο καταλαβαίνω ότι κρύβονται πολύ όμορφα μαθηματικά πίσω από τη διαδικασία.

Οι Floater και Gotsman (1999) γράφουν ότι το «morphing είναι ουσιαστικά ο συνεχής μετασχηματισμός ενός γεωμετρικού αντικειμένου σε κάποιο άλλο» (σ. 117). Τα κύρια προβλήματα που μας απασχολούν στο morphing είναι:

  1. η αντιστοίχιση των κορυφών των δύο πολυγώνων, και
  2. ο προσδιορισμός του μονοπατιού που θα ακολουθήσουν οι κορυφές του πολυγώνου για να φτάσουν από την αρχική στην τελική τους θέση.

… η ομοιοθεσία

Η ομοιοθεσία από την άλλη, είναι μια διαδικασία που μου κέντριζε πάντα το ενδιαφέρον. Ίσως επειδή συνδέεται άμεσα με άλλα γνωστικά και πολιτισμικά αντικείμενα όπως το σχέδιο, η ζωγραφική, η τρισδιάστατη απεικόνιση μέσω υπολογιστή κλπ. Βέβαια, ένα τόσο πραγματικό και από τη φύση του διαθεματικό κομμάτι των μαθηματικών, δε θα μπορούσε παρά να εξοβελιστεί από το ελληνικό σχολείο! Αλίμονο αν οι μαθητές μας υποψιάζονταν ότι τα «ιερογλυφικά» που σκαλίζουμε στον πίνακα έχουν και… πρακτικές εφαρμογές!

… και το πάντρεμα

Η ομοιοθεσία βέβαια δεν είναι μια συνεχής διαδικασία, αλλά αν γεμίσουμε εμείς τα «κενά» από το αρχικό σχήμα στο ομοιόθετό του, τότε έχουμε morphing!

Για να δούμε λιγάκι τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω απ’ αυτήν την ιδέα. Ας θεωρήσουμε ότι το σημείο \mathrm{A'} (x_2,y_2) είναι το ομοιόθετο του \mathrm{A}(x_1,y_1) με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο \mathrm{K}(x_0,y_0) και λόγο \lambda > 0, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Θα εξετάσουμε τα δύο βασικά ερωτήματα της μεταμόρφωσης του \mathrm{A} στο \mathrm{A'}.

1. Ποιος είναι ο μετασχηματισμός σύμφωνα με τον οποίο το σημείο \mathrm{A} αντιστοιχίζεται στο ομοιόθετό του \mathrm{A'};

Είναι:

\overrightarrow{\mathrm{KA'}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{KA}}

\left(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0}\right)=\lambda\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)

\left(x_{2},y_{2}\right)=\big(\lambda x_{1}+\left(1-\lambda\right)x_{0},\lambda y_{1}+\left(1-\lambda\right)y_{0}\big)

Επομένως η αντιστοίχιση των κορυφών δίνεται από το μετασχηματισμό:

\varphi:\mathbb{R}^{2} → \mathbb{R}^{2}

\left(x,y\right) → \big(\lambda x+\left(1-\lambda\right)x_{0},\lambda y+\left(1-\lambda\right)y_{0}\big)

2. Ποιο «μονοπάτι» ακολουθεί το σημείο \mathrm{A} για να καταλήξει στη θέση του \mathrm{A'} κατά τη διαδικασία morphing; Ποια είναι η ταχύτητά του κατά τη μεταφορά;

Το μονοπάτι που ακολουθεί το σημείο καθώς μετακινείται από τη θέση \mathrm{A} στη θέση \mathrm{A'} είναι το ευθύγραμμο τμήμα:

\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)=\left(y_{1}-y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right),\; x_{1}\leq x\leq x_{2}

Αν θεωρήσουμε τώρα ότι η ταχύτητα του μετακινούμενου σημείου είναι σταθερή, τότε αυτό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η συνολική απόσταση που διανύει είναι:

\left|\overrightarrow{\mathrm{AA'}}\right| = \left|\overrightarrow{\mathrm{KA'}}-\overrightarrow{\mathrm{KA}}\right|=\left|\lambda\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)-\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)\right| =

= \left|1-\lambda\right|\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}

Επομένως, αν η κίνηση του σημείου ολοκληρωθεί σε χρόνο T, τότε η ταχύτητά του u θα είναι:

u = \frac{\left|1-\lambda\right|\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}}{T}

Μετά από χρόνο t \in \left[ 0, T \right] από την έναρξη της κίνησής του, το σημείο βρίσκεται στη θέση:

\mathrm{A}_{t}\bigg(\left(1-\frac{t}{T}\right)x_{1}+\frac{t}{T}x_{2},\left(1-\frac{t}{T}\right)y_{1}+\frac{t}{T}y_{2}\bigg)

Εφόσον όμως \left(x_{2},y_{2}\right)=\left(\lambda x_{1}+\left(1-\lambda\right)x_{0},\lambda y_{1}+\left(1-\lambda\right)y_{0}\right), η θέση του σημείου τη χρονική στιγμή t μπορεί επίσης να γραφεί:

\mathrm{A}_{t}\bigg(x_{1}-\frac{t}{T}\left(1-\lambda\right)\left(x_{1}-x_{0}\right),y_{1}-\frac{t}{T}\left(1-\lambda\right)\left(y_{1}-y_{0}\right)\bigg), ή

\mathrm{A}_{t} \bigg(x_{0} + \frac{1}{\lambda} \big( 1 - \frac{t}{T} \left( 1 - \lambda \right) \big) \left( x_{2} - x_{0} \right), y_{0} + \frac{1}{\lambda} \big( 1 - \frac{t}{T} \left( 1 - \lambda \right) \big) \left( y_{2} - y_{0} \right) \bigg)

Μετά από όλα αυτά, το ερώτημα βέβαια είναι ένα: δουλεύουν; Για να εξακριβώσω αν τα συμπεράσματα είναι ορθά, έφτιαξα στη GeoGebra ένα τρίγωνο (για την ακρίβεια τις κορυφές του) και κατασκεύασα το ομοιόθετό του με το αντίστοιχο εργαλείο. Έπειτα κατασκεύασα το ενδιάμεσο σημείο \mathrm{A}_{t}, με T=5, δίνοντας για το σημείο \mathrm{A}_{t} τις συντεταγμένες:

που προκύπτουν ουσιαστικά από την προτελευταία μορφή του \mathrm{A}_{t}. Το αρχείο (ggb) μπορείτε να το κατεβάσετε στο υπολογιστή σας κάνοντας κλικ εδώ.

Σημειώσεις

Αναφορές
FLOATER, M. S. and GOTSMAN, C. 1999. How to morph tilings injectively. Journal of Computational and Applied Mathematics. 101. pp. 117 – 129.

Advertisements

Ενέργειες

Information

3 Σχόλια

8 04 2012
poly

Πολύ «πρώτο» το αρθράκι!!! Με όμορφο τρόπο πραγματικές εφαρμογές απλών μαθηματικών!!!

8 04 2012
ntinosraptis

Ευχαριστώ. Ο διανυσματικός λογισμός (όπως και πολλά άλλα κομμάτια των μαθηματικών της μέσης εκπαίδευσης) νομίζω ότι προσφέρεται για να καταδείξει κανείς τέτοιου είδους πραγματικές και σύγχρονες εφαρμογές.

24 04 2012
Νίκος Δαπόντες

Πολύ ενδιαφέρουσα η μαθηματική προσέγγιση σου. Μου προσφέρεις στήριγμα σε όσα προσπαθώ να κάνω στο Scratch.

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: