Για τη νοητική διασύνδεση των πολλαπλών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης

20 10 2011

Το άρθρο του Νίκου Δαπόντε Οι πίνακες τιμών: ένας γόνιμος τρόπος αναπαράστασης μιας κίνησης ήρθε την κατάλληλη στιγμή. Βλέπετε, αυτόν τον καιρό με απασχολούν πολύ οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές όταν χρειάζεται να «μεταγλωττίσουν» αλγεβρικές σε γεωμετρικές έννοιες. Αυτοί οι προβληματισμοί μου πάντα αναδύονται την περίοδο που βρισκόμαστε στις εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων με τους μαθητές της Γ’ Λυκείου, αλλά και στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τους μαθητές της Β’ Λυκείου. Η κατασκευή της ημιτονοειδούς καμπύλης (ένα θέμα με το οποίο έχω ασχοληθεί και εδώ), η γεωμετρική επίλυση μιας εξίσωσης ή μιας ανίσωσης, η κλίση της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης ως παράγωγος και τόσα άλλα γεωμετρικά ζητήματα που εγείρονται στη μελέτη της Άλγεβρας και της Ανάλυσης φαντάζουν τουλάχιστον εξωγήινα σε μια μεγάλη μερίδα μαθητών (και μη μου πείτε ότι δεν είναι έτσι τα πράγματα).

Για να σκεφτούμε όμως λιγάκι, γιατί είναι έτσι τα πράγματα; Γιατί δεν έχουν γίνει οι κατάλληλες νοητικές διασυνδέσεις ανάμεσα στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις από τους μαθητές; Το θέμα βέβαια είναι τεράστιο και υπάρχει μεγάλος όγκος σχετικής αρθρογραφίας σε επιστημονικά περιοδικά. Για να δώσω τη δική μου προσέγγιση και να καταφέρω να διαπραγματευτώ μια λύση, θα ανατρέξω στη ρίζα του. Πρώτη φορά στη μαθητική του καριέρα, ένα παιδί έρχεται σε επαφή με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στη Β’ Γυμνασίου. Στις Οδηγίες για τη διδασκαλία των θετικών μαθημάτων των Α’, Β’ και Γ’ τάξεων ημερήσιου και εσπερινού Γυμνασίου για το σχολικό έτος 2011 – 2012 αναγράφεται για τη σχετική παράγραφο 3.2 «Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης» του πρώτου μέρους του σχολικού βιβλίου:

§3.2 (Να διατεθούν 3 ώρες)

Να δοθούν ασκήσεις και προβλήματα με γραφικές παραστάσεις τις οποίες θα πρέπει οι μαθητές να «διαβάσουν» για να βρουν ποιες τιμές του y αντιστοιχούν σε δεδομένες τιμές του x και αντιστρόφως. Τέτοιες είναι η ερώτηση 5, η καμπύλη θερμοκρασίας ενός τόπου (§4.5 του νέου σχολικού βιβλίου της Α’ Λυκείου) και άλλες που μπορούν να αναζητηθούν στο διαδίκτυο.
Να μη διδαχθούν οι εφαρμογές 2 (συμμετρικό σημείου) και 3 (τύπος απόστασης σημείων), οι ερωτήσεις κατανόησης 3, 4 και οι ασκήσεις 3, 5 και 6. Στις ασκήσεις 4 και 7 μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα και όχι ο τύπος απόστασης σημείων. Αντίθετα να δοθεί έμφαση στην εφαρμογή 4 και στις ασκήσεις 8, 9 και 10.

Καταλαβαίνει λοιπόν κανείς, με μια δεύτερη ανάγνωση, ότι το βάρος εδώ δίνεται στην εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Η ίδια η κατασκευή της γραφικής παράστασης μάλλον έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Είναι λογικό εξάλλου, αφού στην παρούσα φάση κάτι τέτοιο απαιτεί την κοπιώδη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών. Στις περιπτώσεις που ζητείται από το μαθητή να κατασκευάσει μια γραφική παράσταση (ασκήσεις 8, 9 και 10) ο πίνακας τιμών είναι έτοιμος, ενώ σε μία μόνο περίπτωση ο μαθητής καλείται να κατασκευάσει έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του τύπου της συνάρτησης (δραστηριότητα 1). Οπότε οι ασκήσεις 8, 9 και 10 μάλλον αποσυνδέουν τον τύπο μιας συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση, παρά καταφέρνουν να δημιουργήσουν την εντύπωση στο μαθητή ότι πρόκειται για δύο αναπαραστάσεις της ίδιας σχέσης (αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ως τέτοια). Αυτή η αποσύνδεση ενδεχομένως να είναι θεμιτή σε μεγαλύτερες τάξεις, εκεί που για παράδειγμα μπορεί μια συνάρτηση να μην εκφράζεται με έναν αναλυτικό τύπο, αλλά παρόλα αυτά είμαστε σε θέση να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση (π.χ. την αντίστροφη συνάρτηση της \textrm{f}(x) = e^x + \ln x – θα αναφερθώ σε επόμενο άρθρο σε αυτή τη διαδικασία). Θεωρώ όμως ότι στην παρούσα φάση, κάτι τέτοιο δεν εξυπηρτεί τους διδακτικούς στόχους που έχει θέσει το ίδιο το υπουργείο, σύμφωνα με το οποίο οι πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης (λεκτική διατύπωση, γραφική παράσταση, αλγεβρικός τύπος, πίνακας τιμών) γίνονται αντικείμενο συστηματικής διαπραγμάτευσης. Εξάλλου, η κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης από ένα πίνακα τεσσάρων ή πέντε τιμών, δημιουργεί τη λανθασμένη εντύπωση ότι μια συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως θα περιμέναμε, δηλαδή ότι η γραφική της παράσταση είναι μια λεία καμπύλη που ακολουθεί ομαλά το νοητό μονοπάτι που δημιουργούν τα σημεία του πίνακα τιμών, όπως ο Κοντορεβυθούλης τα πετραδάκια του!

Είναι εμφανές ότι η επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου μιας συνάρτησης αποκλείει τους μαθητές από την κατασκευή τους και κατ’ επέκταση τη δημιουργία νοητικών διασυνδέσεων ανάμεσα στις πολλαπλές εκφάνσεις μιας συνάρτησης. Παράλληλα, σε αυτό το στάδιο ο ίδιος ο υπολογισμός της αριθμητικής τιμής μιας συνάρτησης για κάποιο x δε βρίσκεται στην καρδιά των διδακτικών στόχων. Προτείνω επομένως, αμέσως μετά τις δραστηριότητες που οι μαθητές χειρονακτικά συμπληρώνουν έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου κάποιας συνάρτησης, να ανατίθεται η όλη διαδικασία στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Από τους μαθητές μπορεί να ζητείται η «μεταγλώττιση» της συνάρτησης σε κώδικα.

Μια τέτοια ενέργεια έχει τα εξής προτερήματα:

  1. Καθιστά τη συμπλήρωση του πίνακα τιμών μια διαδικασία που δεν καταναλώνει πολύ χρόνο.
  2. Δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατασκευάσουν μεγάλους πίνακες τιμών.
  3. Ο αυτόματος υπολογισμός πολλών τιμών της συνάρτησης δίνει την αίσθηση ότι η συνάρτηση είναι μια διαδικασία και ότι δεν απαιτείται εκ των προτέρων μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής που θα «νοηματοδοτήσει» τη συνάρτηση, αφού χειρονακτικά μονάχα με αυτήν ο τύπος της μπορεί να δουλευτεί για να παράξει μια τιμή (Thompson, 1994).
  4. Η πληθώρα των σημείων που μπορεί να παραχτεί με τη βοήθεια του υπολογιστή ισχυροποιεί την έννοια της συνέχειας (ή της μη συνέχειας) στη σχηματιζόμενη καμπύλη.
  5. Μπορούν να δοθούν παραδείγματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν ακολουθεί το λείο μονοπάτι που θα περίμενε κανείς αν είχε στη διάθεσή του έναν πίνακα τιμών με 4 ή 5 ζεύγη.
  6. Μπορούν εύκολα να γίνουν συσχετισμοί των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \textrm{f}(x) =\alpha x + \beta και \textrm{f}(x) =\alpha x^2 + \beta x + \gamma (τελευταίο κεφάλαιο στο βιβλίο της Άλγεβρας της Α’ Λυκείου) με διαγράμματα απόστασης – χρόνου ή ταχύτητας – χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλή και επιταχυνόμενη κίνηση (πρώτο κεφάλαιο στο βιβλίο Φυσικής της Α’ Λυκείου).
  7. Οι μαθητές εξοικειώνονται με τη «μεταγλώττιση» μαθηματικών συναρτήσεων σε κώδικα.

Στο παρακάτω βίντεο δείχνω έναν εύκολο τρόπο με τον οποίο μπορεί να παράξει κανείς έναν πίνακα 61 τιμών για τη συνάρτηση \textrm{f}(x) = x^2 - 3. Παράλληλα, τα παραγόμενα ζεύγη μπορούν αυτομάτως να αντιστοιχιστούν σε σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, και όλα αυτά με τη βοήθεια του λογιστικού φύλλου της GeoGebra. Προτείνω λοιπόν να δώσουμε στους μαθητές μας τη δυνατότητα να κατασκευάσουν οι ίδιοι μια συνάρτηση, η οποία να έχει νόημα για τους εαυτούς τους, να κατασκευάσουν χειρονακτικά έναν πίνακα μερικών τιμών και έπειτα με τη βοήθεια λογισμικού να τον επεκτείνουν, ενώ παράλληλα να δουν τη γραφική τους παράσταση να «ζωντανεύει» πάνω στην οθόνη τους, καθώς αναπαριστούν τα ζεύγη τιμών με σημεία.

Αναφορές

THOMPSON, P. W. 1994. Students, functions and the undergraduate curriculum. In: E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, J. Kaput, eds. Research in collegiate mathematics education. I. USA: American Mathematical Society, pp. 21 – 44.

Advertisements

Ενέργειες

Information

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: