Περί αντίστροφων (συναρτήσεων) ο λόγος

11 09 2011

Ο έντονος διάλογος που είχε ακολουθήσει την έκδοση του μικρού βιβλίου του Πετράκη (2007) έχει κοπάσει. Οι ασκήσεις που ζητούν να εντοπίσει κανείς κοινά σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και των αντίστροφών τους ξαναβρίσκουν τη θέση τους στη σχετική βιβλιογραφία, ξεμυτώντας σαν ισχνά πιτσιρίκια πίσω από την πλάτη του τεράστιου ξαδέρφου που κατέφθασε για να «καθαρίσει». Παρόλα αυτά ένα σημείο παραμένει ανεξήγητα ασχολίαστο. Μια μικρή, ταπεινή πρόταση θεωρείται πάντα ως κάτι το γνωστό και δεν έτυχε να συναντήσω μια απόδειξη γι’ αυτήν σε κανένα σχετικό βιβλίο. Είναι κάτι που με προβληματίζει εδώ και καιρό, δεν έχω κατανοήσει όμως ακόμα γιατί η απόδειξη αυτής της πρότασης παραμελείται συστηματικά.

Εξηγούμαι λοιπόν: στις λυμένες ασκήσεις πολλών βιβλίων, όταν αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ο εντοπισμός κοινών σημείων της γραφικής της παράστασης με αυτή της αντίστροφής της συνάρτησης περνά χωρίς πολλά λόγια από την επίλυση του συστήματος:
\left\{ \begin{matrix} y= \textrm{f} (x)\\ y=x \end{matrix}\right.
Στην περίπτωση όμως που δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τη μονοτονία της συνάρτησης, τότε το σύστημα που επιλύεται είναι το γενικότερο:
\left\{ \begin{matrix} y=\textrm{f}(x) \\ y=\textrm{f}^{-1}(x) \end{matrix} \right.
Έτσι υποννοείται, εμμέσως πλην σαφώς, ότι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της αύξουσας συνάρτησης και της αντίστροφής της βρίσκονται επί της ευθείας y=x.

Για να δούμε όμως, γιατί η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας και αντιστρέψιμης συνάρτησης, όταν έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της συνάρτησης, αυτό θα βρίσκεται αναγκαστικά πάνω στην ευθεία y=x;

Ας υποθέσουμε ότι η γραφική παράσταση της \textrm{f} και της \textrm{f}^{-1} έχουν ένα κοινό σημείο, το M(\kappa, \lambda), που δε βρίσκεται επί της ευθείας y=x, επομένως \kappa \neq \lambda. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι \kappa < \lambda.

Εφόσον το M είναι σημείο και των δύο γραφικών παραστάσεων, θα ισχύουν οι σχέσεις:

\textrm{f}(\kappa) = \lambda \qquad (1)
\textrm{f}^{-1}(\kappa) = \lambda \quad (2)

Από τη σχέση (2) όμως προκύπτει ότι:

\kappa = \textrm{f}( \lambda ) \qquad (3)

Επειδή η \textrm{f} είναι γνησίως αύξουσα, ενώ \kappa < \lambda θα είναι και:

\textrm{f}( \kappa ) < \textrm{f}( \lambda )

Λόγω των (1) και (3) η τελευταία σχέση γίνεται: \lambda < \kappa, που είναι άτοπο.

Το θέμα βέβαια απέχει παρασάγγας από το να χαρακτηριστεί σημαντικό, απλά ήθελα να βάλω τα πράματα στη θέση τους, μιλώντας… σε απλά ελληνικά.

Αναφορές
ΠΕΤΡΑΚΗΣ, Α. 2007. Αντίστροφες συναρτήσεις. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Ζήτη

Advertisements

Ενέργειες

Information

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: