Η πολυπλοκότητα μιας απλής ερώτησης

7 04 2011
snapshot

Αναζητώντας εστίες

Υπάρχουν εκείνες οι καταπληκτικές ερωτήσεις που ακούς για πρώτη φορά και απλά… κωλώνεις! Το αίμα κυλάει δυνατά στα μηνίγγια και οι χτύποι της καρδιάς ανεβαίνουν. Ολόκληρος ο οργανισμός γυρεύει μιαν απάντηση. Βέβαια, η διατύπωσή τους είναι τόσο απλή, τόσο γεμάτη χάρη που αναρωτιέσαι πώς γίνεται να μην το έχεις σκεφτεί τόσα χρόνια. Με μια τέτοια ερώτηση συναντήθηκα τις προάλλες. Ένας μαθητής μου με ρώτησε αν θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε τις εστίες μιας κωνικής τομής με μοναδικό δεδομένο το περίγραμμά της. Με ξάφνιασε το ερώτημα. Δεν το είχα σκεφτεί ποτέ. Ούτε μου είχαν ξανακάνει ποτέ αυτήν την ερώτηση. Κι όμως, ακούγεται τόσο απλή και θεμελιώδης… τόσο πραγματική.

Από κάπου έπρεπε να αρχίσουμε όμως, οπότε ξεκινήσαμε να κουβεντιάζουμε για την παραβολή. Αρχικά θεώρησα ότι μάλλον κάποια ακόμη δεδομένα, πέραν του περιγράμματος, θα ήταν αναγκαία για να βρεθεί η εστία μιας παραβολής. Θέσαμε λοιπόν κάποιες συγκεκριμένες προϋποθέσεις για να φέρουμε το πρόβλημα στα μέτρα μας (μου θυμίζει λιγάκι τον Polya αυτή η διεργασία: Αν δεν μπορείς να λύσεις το προτεινόμενο πρόβλημα προσπάθησε να λύσεις πρώτα κάποιο σχετικό πρόβλημα. Θα μπορούσες να φανταστείς ένα πιο προσβάσιμο σχετικό πρόβλημα; Ένα πιο γενικό πρόβλημα; Ένα πιο ειδικό πρόβλημα; Ένα ανάλογο πρόβλημα; Θα μπορούσες να λύσεις ένα μέρος του προβλήματος;…). Αν ξέραμε τον άξονα συμμετρίας της, αν ξέραμε ποια είναι η διευθετούσα της, αν, αν,… Μερικές υποθέσεις φαινόταν μάλλον επιτακτικές, άλλες όχι και τόσο καίριες. Εξαλείψαμε κάποιες, άλλες πάλι τις δεχτήκαμε. Δώσαμε μερικές λύσεις. Όμως, τα τελευταία δεκαπέντε λεπτά μιας διδακτικής ώρας που σηματοδότησαν όλο το χρόνο που αφιερώσαμε στο συγκεκριμένο πρόβλημα, κάθε άλλο παρά αρκετά ήταν για να δώσουμε μια οριστική μορφή στη λύση του. Πάντως προσωπικά, πιστεύω πως αν είχαμε τη δυνατότητα να αφιερώσουμε περισσότερο χρόνο σ’ αυτό το πρόβλημα (ή σε ανάλογα προβλήματα που θέτουν οι ίδιοι οι μαθητές και είναι ολοφάνερο ότι έχουν σημαντικές εκπαιδευτικές προεκτάσεις) απ’ ότι αφιερώνουμε στις ατελείωτες αράδες τύπων των μαθηματικών κατεύθυνσης της Β’ Λυκείου, οι μαθητές μας θα βρίσκονταν σε θέση να κάνουν κάτι εντελώς απρόσμενο: να εμβαθύνουν σε ένα εξαιρετικά χρήσιμο κομμάτι των μαθηματικών του Λυκείου. Αλλά από τη στιγμή που μπορεί κανείς να απομνημονεύσει τους περίπου 30 αφειδώς παραθεμένους τύπους στο βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης της Β’ Λυκείου στο κεφάλαιο των κωνικών τομών μονάχα, ποιος ο λόγος να αυτενεργήσει, να κατασκευάσει ο/η ίδιος/α τη γνώση του/της και να νοηματοδοτήσει τα μαθηματικά αντικείμενα που καλείται να μελετήσει; Ας μην είμαστε αφελείς!

Ας επιστρέψω όμως στην επίλυση του προβλήματος. Επειδή μετά το τέλος εκείνης της ώρας δεν ένιωθα πολύ ευχαριστημένος με τη λύση που προέκυψε (οι προϋποθέσεις για την εύρεση της εστίας μου φαίνονταν πολλές), την επομένη έψαξα το θέμα στο ίντερνετ. Κάποια στιγμή λοιπόν βρέθηκα στον ιστότοπο της Μαθηματικής Επιθεώρησης, όπου βάλθηκα να διαβάζω φευγαλέα τους τίτλους των άρθρων του 63ου τεύχους. Ώσπου… τι τύχη! Ο Απλακίδης (2005) γράφει για την «εύρεση των εστιών των κωνικών τομών από το περίγραμμά τους» εδώ. Αναλογίστηκα ποια ήταν η τελευταία φορά που έψαχνα κάτι συγκεκριμένο και κατάφερα να εντοπίσω την ακριβή απάντηση στο ερώτημά μου. Η αλήθεια είναι ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει σπάνια. Απόλαυσα λοιπόν το κείμενο (χωρίς να καταφέρω ούτε μια στιγμή να βγάλω από το μυαλό μου πόσο μεγάλη πρέπει να είναι η δεύτερη διάσταση του πισινού μου που βρήκα ένα άρθρο σαν αυτό) και σκέφτηκα πως ένα βιντεάκι με οδηγίες για την εύρεση των εστιών μιας έλλειψης από το περίγραμμά της θα ήταν μια πολύ καλή απάντηση στο αρχικό ερώτημα. Αφιερωμένο λοιπόν στο μαθητή μου το επόμενο βίντεο, από το οποίο έχω βέβαια παραλείψει τις αποδείξεις των προτάσεων, αφού βρίσκονται όλες στην εργασία που ανέφερα προηγουμένως.

 Μπορείτε επίσης να ακούσετε τη διαδικασία στο παρακάτω podcast.

https://sites.google.com/site/mathcasts/home/podcasts/ellipse_foci.mp3?attredirects=0&d=1

Αναφορές

ΑΠΛΑΚΙΔΗΣ, Ι.Α. 2005. Εύρεση των εστιών των κωνικών τομών από το περίγραμμά τους. Μαθηματική Επιθεώρηση. 63, σσ. 28 – 34.

Advertisements

Ενέργειες

Information

15 Σχόλια

8 04 2011
csar

Πολύ καλό

8 04 2011
ntinosraptis

Κι εγώ το ίδιο πιστεύω. Τα εύσημά μας ανήκουν δικαιωματικά στον κ. Απλακίδη, νομίζω.

8 04 2011
csar

Το «πολύ καλό» δεν πήγαινε μόνο στο άρθρο του κ. Απλακίδη. Και το βίντεο είναι πολύ καλό και γενικά η επίδειξη του τρόπου σκέψης ενός μαθηματικού απέναντι σε ένα άγνωστο πρόβλημα είναι πολύ χρήσιμη για τους μαθητές.

Όμως για να είμαι ειλικρινής πιο πολύ χάρηκα για την ερώτηση του μαθητή, που ήταν τόσο εύστοχη. Προσωπικά έχω χρόνια να ασχοληθώ με την εκπαίδευση και όταν το έκανα ήταν για να βοηθήσω μαθητές που δεν ήθελαν να μείνουν μετεξεταστέοι στα μαθηματικά. Τέτοια ερώτηση από μαθητή δε θα έβλεπα ούτε στα όνειρά μου.

8 04 2011
Odysseas

Εμένα μου άρεσε πιο πολύ, ούτως ή άλλως το μαθηματικό κομμάτι δεν το καταλαβαίνω, ότι άδραξες την ευκαιρία και δίδαξες εμπνεόμενος από μια ερώτηση ενός μαθητή σου. Δεν ξέρω πόσο συχνά μπορείς να το κάνεις αυτό.

Επίσης, σημαντικό είναι που τους έδειξες πώς σκέφτεσαι όταν προσπαθείς να λύσεις ένα πρόβλημα. Συμφωνώ φυσικά απόλυτα και με τη διαπίστωσή σου πως τέτοιες δραστηριότητες ωφελούν ποlύ περισσότερο τους μαθητές από την καθημερινή πρακτική.

Το πρόβλημα είναι πώς είναι δυνατόν τέτοιες πρακτικές να παγιωθούν και να γίνουν ο κανόνας και όχι η εξαίρεση στην τάξη.

Άσχετο. Έχω γράψει κάποια πράγματα σχετικά με τη διδασκαλία των μαθηματικών στο blog μου π.χ. για το Μέσο Όρο ή για την επίλυση των προβλημάτων. Οι συγκεκριμένες αναρτήσεις εμφανίζονται όταν μπαίνεις στο blog μου. Θα ήθελα και τη γνώμη κάποιου μαθηματικού, αν φυσικά υπάρχει χρόνος.

9 04 2011
ntinosraptis

Οδυσσέα, υποψιάζομαι ότι για να παγιωθούν τέτοιες πρακτικές θα χρειαστεί πολύ περισσότερο από ένα «νέο λύκειο»…

10 04 2011
Odysseas

Δυστυχώς, το νέο λύκειο για την ώρα είναι απλά τίτλοι μαθημάτων με τις αντίστοιχες ώρες διδασκαλίας τους.

Πέρα απ’ αυτά έχεις κατορθώσεις να διδάξεις στους μαθητές σου κάποιες από τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων που αναφέρει ο Polya;

Σου απάντησα και για το Μέσο Όρο.

9 04 2011
ntinosraptis

@csar: Και να φανταστείς ότι αυτός ο μαθητής που μου έκανε την ερώτηση είναι μεν ένα πολύ έξυπνο παιδί, πάσχει όμως από οξεία τεμπελιά! Με αποτέλεσμα οι επιδόσεις του στο σχολείο να είναι μέτριες. Θεωρώ ότι αν τέτοιους μαθητές, δηλαδή έξυπνους ανθρώπους με χαμηλά κίνητρα (πραγματικά πιστεύω ότι αποτελούν τη συντριπτική πλειοψηφία) τους άφηνες να δουλεύουν σε θέματα που οι ίδιοι επιλέγουν, θα μεγαλουργούσαν.

10 04 2011
Κατερίνα

Πραγματικά πολύ καλή δουλειά! Συνολικά..
Πώς επηρέασε η εναλλακτική προσέγγιση τους μαθητές;
Έχεις παρατηρήσει «αλλαγή στάσης» απέναντι στο μάθημα;
Ή είναι πολύ πρόσφατο;
Κι εγώ φέτος κάνω πάρα πολλά πειράματα, στην Α’ Λυκείου αφού Β’ δεν έχω, κυρίως όμως «εννοιολογικά», «συντακτικά», «δομικά» σε επίπεδο σκέψης και λογικής, χωρίς υποστήριξη τεχνολογίας.. Αυτό που παρατηρώ είναι πως -ανεξάρτητα αν δεν έγιναν «αστέρια» στα Μαθηματικά- με το που χτυπάει κουδούνι για μέσα είναι όλοι στις θέσεις τους κι όταν χτυπάει για έξω δεν κουνιέται κανείς κι ενώ αποχωρώ εγώ μένουν και συζητάνε μεταξύ τους αυτά που κάναμε στο μάθημα.. 🙂 Είναι πραγματικά πολύ εντυπωσιακό πως αντιδρούν τα παιδιά στην αντικομφορμιστική διδασκαλία που τους ανοίγει τρόπους σκέψεις και προβληματιμού.. Μεγάλη απόλαυση για τον διδάσκοντα..

Καλή σου μέρα
υ.γ. περιμένω τα αποτελέσματα από την εργασία με τις συναρτήσεις..:)

11 04 2011
ntinosraptis

Κατερίνα, δεν είναι ότι ακολουθώ μια εναλλακτική προσέγγιση. Απλά τέθηκε μια πολύ καλή ερώτηση με σημαντικές εκπαιδευτικές προεκτάσεις και άρπαξα την ευκαιρία. Αυτό θα το έκανα ούτως ή άλλως, σε οποιοδήποτε εκπαιδευτικό πλαίσιο. Το πρόβλημα με την όλη προσέγγιση όμως, καθώς ξανασκέφτομαι τα πράματα, είναι ότι την έρευνα την έκανα εγώ. Αυτή δεν είναι δική μου δουλειά, η έρευνα έπρεπε να γίνει από τους ίδιους τους μαθητές. Ο ρόλος μου θα έπρεπε να είναι αποκλειστικά υποστηρικτικός. Θα μπορούσα ενδεχομένως να προτείνω κάποιες πηγές, παράλληλες ασκήσεις σχετικές με τα βήματα της διαδικασίας, να απαντήσω σε ερωτήσεις ή να προσπαθήσω μαζί με τους μαθητές να εμπλακώ στη διαδικασία επίλυσης (το τελευταίο βέβαια έγινε, αλλά για 15′ της ώρας). Δεν έγινε κάτι τέτοιο και προσωπικά πιστεύω ότι δε θα μπορούσε να γίνει. Επαναλαμβάνομαι, αλλά όταν πρέπει να μάθεις 30 τύπους μονάχα για να αντεπεξέρθεις στις απαιτήσεις του σχολείου, είναι «παράλογο» να «σπαταλάς» το χρόνο σου ερευνώντας πώς μπορείς να βρεις τις εστίες μιας κωνικής από το περίγραμμά της. Ακόμα κι αν μια τέτοια διαδικασία θα ήταν σχετική με ‘σένα, αφού ο ίδιος έθεσες το ερώτημα, παρόλο που θα σε εισήγαγε ομαλά στις ερευνητικές διαδικασίες, παρόλο που θα σου έδινε την ευκαιρία να λύσεις ένα πραγματικό πρόβλημα με πραγματικές προεκτάσεις. Δε συμφωνείς;

10 04 2011
Νίκος Δαπόντες

Ντίνο, να μια άλλη πρωτότυπη δουλειά που βγήκε από τα σπλάχνα της διδασκαλίας. Δύσκολη η απάντηση στο ερώτημα του μαθητή αλλά ανοίγει ένα δρόμο για ενασχόληση με «νέα προβλήματα». Παρόλο που δεν είμαι Μαθηματικός θα ήθελα κάποια στιγμή να καταπιαστώ με τέτοια προβλήματα, προφανώς στο περιβάλλον του Scratch!
Που διδάσκεις φέτος; Θα περάσεις από Σύρο το Μάη;

11 04 2011
ntinosraptis

Νίκο, περιμένω το project σου στη Scratch. Προσπάθησα να φτιάξω ένα εργαλείο στη GeoGebra ώστε να αυτοματοποιήσω τη διαδικασία, αλλά δε δουλεύει για όλες τις ελλείψεις. Χρειάζεται να ασχοληθώ κι άλλο μαζί του, αλλά μάλλον παίρνει αναβολή για το καλοκαίρι το εγχείρημα. Για να δούμε τι θα βγει με τη Scratch!

11 04 2011
ntinosraptis

@Odyssea. Κοίταξε, από το γυμνάσιο ακόμα, όταν ξεκινάμε να ασχολούμαστε με προβλήματα και μπαίνουν στο παιχνίδι οι εξισώσεις, η μεθοδολογία επίλυσης που προτείνεται στα σχολικά βιβλία βασίζεται ουσιαστικά σε ευρετικές μεθόδους του Polya (ή καλύτερα, σε ευρετικές μεθόδους που ο Polya περιέγραψε). Οπότε ουσιαστικά όλοι βασίζονται εκεί όταν διδάσκουν στους μαθητές τους πώς να λύνουν προβλήματα.

16 04 2011
Κατερίνα

Ναι! Γενικά συμφωνώ.. :), αλλά σε ένα δυο λιγάκι διαφωνώ..
Στο ό,τι δεν το βλέπεις σαν «εναλλακτική προσέγγιση». Είναι. Ανεξάρτητα από το πως προέκυψε, δηλαδή αν ήταν κάτι που εσύ σχεδίασες ή κάτι που προέκυψε από ερώτηση των μαθητών. Εγώ θεωρώ «εναλλακτική προσέγγιση», ο,τιδήποτε διαφοροποιείται από το αυστηρό αναλυτικό πρόγραμμα και τις οδηγίες διδασκαλίας που το συνοδεύουν.
Η τάξη αποτελεί ένα δυναμικό σύστημα και οι αναδυόμενες ιδιότητές του είναι απρόβλεπτες και συχνά οδηγούν σε όμορφες αυτοσχέδιες διδακτικές παρεμβάσεις. Θα κάνω μια ανάρτηση σχετικά με κάτι που μου προέκυψε εμένα φέτος, για να καταλάβεις τι λέω.
Το ζητούμενο είναι να αντιλαμβανόμαστε έγκαιρα (we, the teachers.. like Stella 🙂 ) την ευκαιρία και να δίνουμε την σκυτάλη στα παιδιά..
Ορθά παρατηρείς πως ίσως έπρεπε να αφήσεις να το βρουν μόνα τους, υποδεικνύοντας και υποστηρίζοντας την έρευνά τους, αλλά.. κι εμείς παιδιά είμαστε και μερικές φορές μπροστά σ’ αυτό που «ανακαλύπτουμε» είναι τέτοιος ο ενθουσιασμός μας που δεν προλαβαίνουμε να το «στήσουμε» με κάποια εκπαιδευτική φόρμουλα.
Αλλά, Κώστα, αν δεν σε συνεπαίρνει εσένα τον ίδιο η μάθηση, πώς θα μπορείς να εμπνεύσεις τους άλλους να μάθουν πώς να μαθαίνουν;

Σε γενικές γραμμές συμφωνώ πως έπρεπε να το διαχειριστείς κάπως διαφορετικά, αλλά είμαι σίγουρη πως θα το κάνεις, δηλαδή πως θα το μεθοδεύσεις καλύτερα, την επόμενη φορά..
Εύκολο είναι να ρωτήσει κάποιο παιδί, αυτό που θέλουμε να ρωτήσει. Συμφωνείς;

16 04 2011
Κατερίνα

ΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ
http://mathandliterature.blogspot.com/2011/04/blog-post_16.html

Να διευκρινίσω πως η συγκεκριμένη «αξιοποίση» του άρθρου ήταν κάτι που προέκυψε αυθόρμητα, επειδή το ίδιο το άρθρο προσφέρονταν για κάτι τέτοιο. Κείμενα παρόμοια δίνω στα παιδιά, αναρτώντας τα στον πίνακα της τάξης τους, αλλά περιοριζόμαστε στο να τα διαβάσουμε και να τα σχολιάσουμε..
Επίσης να διευκρινίσω πως η όλη «διδακτική παρέμβαση» μας «κόστισε» μόλις μια διδακτική ώρα, αφού το κείμενο είχε διαβαστεί στο σπίτι και στο σπίτι επίσης γράψανε τα σχόλια της αξιολόγησης.

Το όλο project το παρουσίασα εκ των υστέρων σε τριημερίδα που διοργανώνουν οι σχολικοί σύμβουλοι, «βελτιώνοντας την εκπαίδευση-καινοτόμες διδακτικές παρεμβάσεις».. Τίποτε όμως δεν ήταν προσχεδιασμένο, γι’ αυτό λέω ότι μερικές φορές οι δυνατότητες που μας προσφέρει μια κατάσταση δεν είναι a priori προβλέψιμες..
Φυσικά, αν ευνοούν οι συνθήκες, του χρόνου θα το επαναλάβω, αλλά θα είναι εντελώς διαφορετικός ο σχεδιασμός, αφού θα υπάρχει η πρότερη εμπειρία.

καλό βράδυ

27 06 2011
Sanjay Gulati

hello ,

I am Sanjay Gulati , a mathematics teacher from india.

I use Geogebra for teaching mathematics to my students.

I have a blog , please visit it at http://mathematicsbhilai.blogspot.com/. There are lots of geogebra applets posted there.

Please link my blog to your blog.

Sanjay Gulati

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: