Οι κωνικές τομές ως γεωμετρικοί τόποι

16 03 2011

Μια αρχική παρουσίαση των κωνικών τομών (ως τομές ενός διπλού κώνου και ενός επιπέδου) με τη βοήθεια υπολογιστή μπορεί να βασιστεί σε μια παρουσίαση του Wolfram Demonstrations Project. Σημειώστε ότι για να διαχειριστείτε δυναμικά την παρουσίαση, θα πρέπει να έχετε εγκαταστήσει στον υπολογιστή σας τον Wolfram CDF Player. Αν πάλι δεν έχετε υπολογιστή στην τάξη σας, ή για κάποιο λόγο δεν μπορείτε να εγκαταστήσετε το CDF Player, ένας φακός που φωτίζει υπό διάφορες γωνίες τον τοίχο αρκεί για την παρουσίαση. Το μόνο πρόβλημα που θα ανακύψει, βέβαια, είναι η περίπτωση της υπερβολής. Εκεί ένας δεύτερος φακός είναι αναγκαίος για να προσομοιωθεί ο διπλός κώνος. Θα χρειαστείτε επίσης κολλητική ταινία για να στερεώσετε τους φακούς μεταξύ τους.

Όμως, είναι επίσης χρήσιμο να παρουσιαστούν οι κωνικές τομές ως γεωμετρικοί τόποι. Σ’ αυτήν την περίπτωση η εξαιρετική ιδέα με το φακό (μου τη μετέφερε ένας μαθητής μου) δεν μπορεί να βοηθήσει πολύ. Η απαίτηση για κίνηση καθιστά τον υπολογιστή απαραίτητο εργαλείο. Παρακάτω περιγράφω τη διαδικασία που ακολούθησα στη GeoGebra για να κατασκευάσω το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από μια ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής. Για να απλοποιήσω την κατασκευή της παραβολής πήρα την εστία της πάνω στον οριζόντιο άξονα και τη διευθετούσα της κάθετη σ’ αυτόν.

  1. Όρισα ένα σημείο Ε πάνω στον άξονα x'x (εστία).
  2. Πήρα το συμμετρικό του Ε’ ως προς την αρχή των αξόνων.
  3. Όρισα μια ευθεία a, κάθετη στον x'x που διέρχεται από το Ε’ (διευθετούσα).
  4. Όρισα μια ημιευθεία AC και εξαφάνισα το σημείο C. Έπειτα όρισα ένα σημείο Β που κινείται πάνω στην ημιευθεία.
  5. Κατασκεύασα ένα κύκλο c με κέντρο το Ε και ακτίνα ίση με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ως εξής:
    «Κύκλος με κέντρο και ακτίνα» \rightarrow κλικ στο σημείο Ε \rightarrow Ακτίνα: Τμήμα[Α,Β]
  6. Κατασκεύασα ένα κύκλο d με κέντρο το Ε’ και ακτίνα ίση με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
  7. Έφερα την εφαπτομένη f στον κύκλο d από το σημείο τομής του με τον άξονα x'x (που βρίσκεται προς το μέρος της εστίας) και έπειτα εξαφάνισα τον κύκλο d.
  8. Μεγάλωσα αρκετά το τμήμα ΑΒ, ώστε ο κύκλος c και η ευθεία f να τέμνονται. Όρισα τα σημεία τομής τους.
  9. Ενεργοποίησα τα ίχνη των σημείων τομής ως εξής:
    Δεξί κλικ σε κάθε σημείο \rightarrow κλικ στην επιλογή «Ίχνος ενεργό»
  10. Μετακίνησα το σημείο Β στην ημιευθεία για να σχηματίσω το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από την ευθεία a και το σημείο Ε.

Σημ.: Για να μην εμφανίζονται ο κύκλος c και η ευθεία f παρά μόνον όταν τέμνονται, πρέπει αυτό να αναφερθεί στον «Όρο για την εμφάνιση του αντικειμένου». Ακολουθώ την εξής διαδικασία: Δεξί κλικ στο αντικείμενο (κύκλος ή ευθεία) \rightarrow Ιδιότητες \rightarrow Καρτέλα «Σύμβουλος» \rightarrow Όρος για εμφάνιση του αντικειμένου: Τμήμα[Α,Β] > Τμήμα[Ο,Ε].

Μπορείτε να βρείτε το αρχείο που κατασκεύασα στον προσωπικό μου φάκελο στο GeoGebra Upload Manager, καθώς επίσης και άλλα δύο αρχεία για την κατασκευή της έλλειψης και της υπερβολής με παρόμοιο τρόπο (τα αρχεία είναι: parabola_construction.ggb, ellipse_construction.ggb και hyperbola_construction.ggb).

Advertisements

Ενέργειες

Information

2 Σχόλια

17 03 2011
Nίκος Δαπόντες

Κώστα, ενδιαφέρουσες οι κατασκευές των κωνικών με το Geogebra.΄Επισκέφθηκα και τη σελίδα σου με τα προγράμματα και εκεί είδα ότι έχεις κάνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Δυστυχώς δεν μπόρεσα να το ανοίξω.

17 03 2011
ntinosraptis

Ευχαριστώ Νίκο, θα το κοιτάξω άμεσα

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: