Η θέση του υπολογιστή στη μαθηματική εκπαίδευση

1 12 2010
four colour map

το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων

εικόνα: Chas zzz brown

Όταν το 1976 οι Kenneth Appel και Wolfgang Haken απέδειξαν το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή, δίχασαν τη μαθηματική κοινότητα. Ήταν το πρώτο θεώρημα που αποδεικνύονταν με ηλεκτρονικό υπολογιστή και οι αντιρρήσεις σχετικά με τη χρήση του στην αποδεικτική διαδικασία δεν άργησαν να ακουστούν. Οι πιο θεμελιώδεις εξ αυτών είναι φιλοσοφικού περιεχομένου και έχουν να κάνουν με την επιστημολογία των μαθηματικών. Σύμφωνα με μία άποψη, η αποδοχή του ηλεκτρονικού υπολογιστή ως μέρους της αποδεικτικής διαδικασίας ουσιαστικά καθιστά τη μαθηματική επιστήμη ημι-εμπειρική (αν και ο Lakatos χαρακτηρίζει την κατασκευή μαθηματικών ως μια ούτως ή άλλως ημι-εμπειρική διαδικασία, ακόμα δηλαδή και χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών). Αυτό συμβαίνει γιατί, σύμφωνα πάντα με την ίδια άποψη, η εφαρμογή της λογικής στις χρησιμοποιούμενες μαθηματικές οντότητες παραμερίζεται, εφόσον η απόδειξη είναι εξαιρετικά πολύπλοκη, ενώ πρωτεύοντα ρόλο παίρνει η ίδια η διαδικασία. Σκέφτομαι άραγε τι να έλεγε για όλα αυτά ο Bolzano, ο άνθρωπος που πάσχισε να απαλλάξει τη μαθηματική απόδειξη από τη διαίσθηση για να τη θεμελιώσει στη λογική. Θα έβλεπε άραγε τον υπολογιστή ως μια ακόμη πρόσμειξη από την οποία θα έπρεπε να απαλλαγεί η απόδειξη, ή μια ευκαιρία να προστεθούν στα θεμέλια των μαθηματικών κυκλώματα από πυρίτιο και γραμμές κώδικα; Μια άλλη άκρως έγκυρη διαφωνία σχετικά με την αποδοχή της απόδειξης ως τέτοια, είναι αυτή που αρνείται να κατονομάσει την απόδειξη με τη βοήθεια του υπολογιστή «απόδειξη», αλλά της δίνει τον έγκυρο, πιστεύω, τίτλο του «υπολογισμού». Προσωπικά δεν έχω καταλήξει αν πρόκειται για απόδειξη ή υπολογισμό (και οι δύο πλευρές φαίνεται να έχουν ισχυρά επιχειρήματα). Υπάρχουν επίσης και κάποιες αντιρρήσεις πρακτικού (υλιστικού θα έλεγα) χαρακτήρα, σύμφωνα με τις οποίες πιθανά προβλήματα στο λογισμικό, το hardware ή ακόμα και λάθη στον ίδιο τον αλγόριθμο – λάθη που δεν υπεισέρχονται στην τυπική αποδεικτική διαδικασία που βασίζεται στην καθαρή λογική – μπορεί να οδηγήσουν σε αποδεικτικό λάθος.

Αυτός ο διάλογος έχει πολλές φιλοσοφικές και επιστημολογικές προεκτάσεις. Πρέπει όμως να αποδεχτούμε ότι αφορά κατά κύριο λόγο στην έρευνα των μαθηματικών, εκεί που η πολυπλοκότητα των υπολογισμών κάνει σχεδόν αδύνατο τον έλεγχο της ορθότητάς τους από τον άνθρωπο. Σε καμία περίπτωση όμως δεν πιστεύω ότι μια αντίστοιχη επιχειρηματολογία μπορεί ή πρέπει να θωρακίσει τη διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία απέναντι στη χρήση του υπολογιστή. Ο Conrad Wolfram στο παρακάτω βίντεο εξηγεί πώς η χρήση του υπολογιστή στη διδασκαλία των μαθηματικών απαλλάσει τους μαθητές από εξαντλητικούς υπολογισμούς (οι οποίοι σε καμία περίπτωση δεν προσεγγίζουν την πολυπλοκότητα αυτών που εμφανίζονται σε πραγματικά προβλήματα), δίνοντάς τους την ευκαιρία να ασχοληθούν με άλλα, ενδεχομένως σημαντικότερα κομμάτια των μαθηματικών, όπως: α) το να θέτει κανείς τις σωστές ερωτήσεις, β) να «μεταγλωτίζει» τον πραγματικό κόσμο σε μαθηματικά και γ) να ελέγχει και να αξιολογεί τις λύσεις του, τις απαντήσεις δηλαδή στα ερωτήματα που τέθηκαν οι οποίες προέκυψαν από τη διαδικασία του υπολογισμού.

Οι επιφυλάξεις ή ο φόβος των διδασκόντων για την ενσωμάτωση του υπολογιστή στη διδασκαλία των μαθηματικών διατυπώνονται με μια πληθώρα ενστάσεων. Κάποιες από αυτές είναι απολύτως έγκυρες και ουσιαστικές, ενώ κάποιες άλλες μετεωρίζονται στη σφαίρα του παραλόγου. Θεωρώ ότι στην περίπτωση της εκπαίδευσης στην Ελλάδα το ισχυρότερο αντεπιχείρημα είναι αυτό που θέλει τον υπολογιστή να αποβλακώνει τους μαθητές, καθώς κάνει τα πάντα εύκολα χωρίς κόπο. Παράλληλα, σύμφωνα με την ίδια λογική, ο υπολογιστής απομακρύνει την τάξη από το μοντέλο της μαθηματικής κοινότητας, αφού δεν υπάρχουν πλέον εικασίες, αποδείξεις, ανασκευές, νέες εικασίες, κ.ο.κ. σε έναν ατέρμονο κύκλο εφεύρεσης νέας γνώσης. Τα πράγματα θα ήταν έτσι αν κάναμε το τραγικό λάθος που επιμένει να κάνει η ελληνική πολιτεία: αν εισάγαμε τον υπολογιστή στη μαθησιακή διαδικασία χωρίς να επαναπροσδιορίσουμε το αναλυτικό πρόγραμμα, τις διδακτικές μας προσεγγίσεις και την ψευδαίσθηση της αυθεντίας που προσδίδει η παραδοσιακή θέση του διδάσκοντος στο ελληνικό σχολείο σε σχέση με τους μαθητές. Για να είμαστε ακριβείς, αυτό που μπορεί να κάνει ο υπολογιστής καλύτερα από οποιοδήποτε άλλο εργαλείο που χρησιμοποιούμε στην τάξη των μαθηματικών, είναι να τη μετατρέψει σε ένα μοντέλο μιας ζωντανής μικρής μαθηματικής κοινότητας. Αυτό που πρέπει να αλλάξει όμως ώστε να γίνει κάτι τέτοιο είναι ο τρόπος που διδάσκουμε τα μαθηματικά. Ο Papert (1999) γράφει εδώ ότι

Ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαραγκός είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαραγκό στην πράξη της μαραγκοσύνης. Κατ’ αναλογία ο καλύτερος τρόπος να γίνεις καλός μαθητής είναι να συμμετέχεις με έναν καλό μαθητή στην πράξη της μάθησης (σ. ix).

Αυτό που ο Papert προτείνει είναι ο δάσκαλος να πάρει τη θέση του «μάστορα» στο σχολείο. Να δείξει δηλαδή στο μαθητή πώς να χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για να λύσει άγνωστα προβλήματα, λύνοντας ο ίδιος άγνωστα προβλήματα με τη χρήση των μαθηματικών. Μ’ άλλα λόγια προτείνει τη δημιουργία μιας Κοινότητας Πρακτικής (Community of Practise) – όπως την έχουν ορίσει οι Lave και Wenger – μέσα στην ίδια την τάξη. Στο βιβλίο Logo Philosophy and Implementation (δείτε τη σχετική αναφορά στο τέλος του άρθρου) μπορείτε να διαβάσετε πολλά τέτοια παραδείγματα, τις επιτυχημένες αλλά και αποτυχημένες ιστορίες δασκάλων που προσπάθησαν να δουλέψουν κατ’ αυτόν τον τρόπο. Σε αυτό το blog έχω ήδη δημοσιεύσει πολλές φορές παραδείγματα ανάλογων εργασιών, αλλά και ο Dan Meyer μιλάει εδώ για κάτι αντίστοιχο. Η αλήθεια είναι ότι κάτι τέτοιο δεν είναι εύκολο να γίνει. Ούτε ισχυρίζομαι ότι πρέπει ένα αναλυτικό πρόγραμμα να στηρίζεται εξ ολοκλήρου στην ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών μέσα από την ενασχόληση με πρωτότυπα (ακόμα και για τον διδάσκοντα) προβλήματα . Αν θέλουμε όμως να εισάγουμε τον υπολογιστή στην τάξη των μαθηματικών, τότε νομίζω ότι αυτή η οδός δεν είναι απλά ενδεδειγμένη, αλλά μοναδική.

Αναφορές

PAPERT, S. 1999. What is Logo? Who Needs it? In Logo Philosophy and Implementation. Montreal, Canada, LCSI. Available from World Wide Web <http://www.microworlds.com/company/philosophy.pdf>

Advertisements

Ενέργειες

Information

6 Σχόλια

1 12 2010
Η θέση του υπολογιστή στη μαθηματική εκπαίδευση | Γονείς σε Δράση

[…] post by ntinosraptis var addthis_language = 'en'; Filed under 287694 ← Education Consultant Needed […]

13 12 2010
Odysseas

Καταρχήν έχω βάλει κι εγώ το ίδιο βίντεο στην τελευταία μου ανάρτηση. Συμφωνώ σε πολλά σημεία με τον Conrad Wolfram. Η ανάλυσή του μου θυμίζει τη σειρά Numb3rs.

Σου γράφω όμως για κάτι άσχετο με τα παραπάνω. Πλησιάζει ο καιρός που θα διδάξω στους μαθητές μου τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων (Ε΄ τάξη) και δεν μπορώ να καταλάβω γιατί στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων επεκτείνεται η σημασία του πολλαπλασιασμού. Εκεί, δηλαδή, που με τους ακέραιους ο πολλαπλασιασμός σημαίνει ότι παίρνω κάτι πολλές φορές, με το κλάσμα σημαίνει ότι παίρνω ένα μέρος. Το έχω ψάξει πολύ αλλά δεν έχω βρει ικανοποιητική απάντηση. Απάντηση, δηλαδή, που θα μπορούσε να καταλάβει κάποιος μαθητής. Εγώ πιστεύω ότι διαισθητικά το καταλαβαίνω αλλά αυτό δεν αρκεί για τα παιδιά. Μπορείς να μου το εξηγήσεις ή να μου προτείνεις κάτι να διαβάσω;

14 12 2010
ntinosraptis

Γεια σου Οδυσσέα,
για να απαντήσω θα ξεκινήσω με λίγη θεωρία από την Άλγεβρα. Για να διαιρέσουμε δύο αριθμούς (δύο ακεραίους στην προκειμένη περίπτωση) δε χρειάζεται να “κατασκευάσουμε” μια καινούρια πράξη, αυτή της διαίρεσης. Το μόνο που αρκεί είναι να ορίσουμε τον αντίστροφο ενός αριθμού β, ο οποίος είναι ο 1/β. Τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε δύο αριθμούς χρησιμοποιώντας μονάχα τον πολλαπλασιασμό. Η διαίρεση α:β ορίζουμε να είναι ο πολλαπλασιασμός του α με τον αντίστροφο του β, σχηματικά:

α:β = α/β = α * 1/β

Όπως καταλαβαίνεις εδώ σημαίνοντα ρόλο παίζει ο πολλαπλασιασμός αρχικά ενός ακεραίου (και αργότερα ενός κλάσματος) με ένα κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα (και αργότερα θα δούμε τι γίνεται με τους υπόλοιπους ακέραιους). Πολλαπλασιάζω λοιπόν το 6 με το 1/3, σημαίνει ότι ουσιαστικά διαιρώ το 6 με το 3. Μη βλέπεις τη διαίρεση του 6 με το 3 ως την αναζήτηση “πόσες φορές χωράει το 3 μέσα στο 6” αλλά δες τη διαίρεση σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό. Διαιρώ το 6 με το 3 μπορεί επίσης να σημαίνει σύμφωνα με τα παραπάνω “παίρνω το 1/3 του 6”, που αυτό έρχεται σε αντιστοιχία με τον πολλαπλασιασμό του 6 με κάποιον άλλο ακέραιο, για παράδειγμα με το 4, αφού 6*4 μπορεί να σημαίνει “παίρνω 4 φορές το 6”. Έτσι, όπως το 1/3 παριστάνει το ένα τρίτο μιας μονάδας, το κλάσμα 6/3 = 6 * 1/3 παριστάνει το ένα τρίτο του έξι. Το να θέλω να πάρω ένα μέρος ενός ακέραιου είναι πραγματικό πρόβλημα και προκύπτει από την καθημερινή αναγκαιότητα. Αν για παράδειγμα έξι πορτοκάλια πρέπει να μοιραστούν σε τρεις μαθητές, ο καθένας θα πάρει το 1/3 του 6, δηλαδή 1/3 * 6 = 6/3 = 2.

Τι γίνεται τώρα με τον πολλαπλασιασμό με κλάσμα που έχει αριθμητή διάφορο της μονάδας; Συνεχίζω το παράδειγμα με τον πολλαπλασιασμό του 6. Αν θέλω για παράδειγμα να πολλαπλασιάσω το 6 με το 2/3, αυτό σημαίνει ότι θα πάρω 2 φορές το 1/3 του 6 (αναγωγή στη μονάδα δηλαδή). Σχηματικά:

2/3 * 6 = (2 * 1/3) * 6 = 2* (1/3 * 6)

Ο πολλαπλασιασμός λοιπόν ενός (ακέραιου) αριθμού με ένα κλάσμα σημαίνει ότι παίρνω τον αριθμό αυτό τόσες φορές όσες δηλώνει το κλάσμα, όπως ακριβώς ο πολλαπλασιασμός με έναν ακέραιο. Τώρα, αν το κλάσμα αυτό έχει αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή, δηλαδή είναι μικρότερο από τη μονάδα (κάποτε αυτά τα κλάσματα τα λέγαμε γνήσια), τότε το αποτέλεσμα θα είναι μικρότερο από τον ακέραιο παράγοντα, αφού παίρνω λιγότερα μέρη από όσα έχω χωρίσει τον ακέραιο αριθμό. π.χ. 6 * 1/3 = 2< 6. Από την άλλη αν το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή, τότε είναι μεγαλύτερο της μονάδας (υπερβατικό) και το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο του ακέραιου παράγοντα, αφού παίρνω περισσότερα μέρη απ’ όσα έχω χωρίσει τον ακέραιο. π.χ. 6 * 6/3 = 12 > 6.Τέλος, αν πολλαπλασιάσω με ένα κλάσμα που ο αριθμητής και ο παρονομαστής του είναι ίσοι, το κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα και το αποτέλεσμα ίσο με τον ακέραιο παράγοντα, αφού παίρνω ακριβώς τόσα μέρη όσα είχα χωρίσει τον ακέραιο. π.χ. 6 * 3/3 = 6.

Κατά αντιστοιχία νομίζω μπορεί να εξηγηθεί και ο πολλαπλασιασμός κλάσματος με κλάσμα. Εδώ παίρνουμε ένα μέρος όχι μιας ακέραιας ποσότητας, αλλά ενός άλλου κλάσματος. Έτσι ο πολλαπλασιασμός του 2/3 με το 7/8 μπορεί να σημαίνει: παίρνω δύο φορές το 1/3 του 7/8. Σχηματικά:

2/3 * 7/8 = (2 * 1/3) * 7/8 = 2 * (1/3 * 7/8)

Σημ.: παρατήρησε ότι εδώ όπως και παραπάνω χρησιμοποιώ σιωπηρά την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να αλλάξω τη θέση της παρένθεσης και κατά κάποιο τρόπο το νόημα του πολλαπλασιασμού που αυτός παίρνει όταν αντιστοιχιστεί με ένα πραγματικό πρόβλημα: (α * β) * γ = α * (β * γ)

Ελπίζω να βοήθησα, πες μου σε παρακαλώ αν δεν είμαι σαφής κάπου.
Τι λες, γράφουμε ένα βιβλίο με μαθηματικά για δασκάλους;
Τη σειρά Numb3rs που λες δεν την έχω δει ποτέ, αλλά μου κίνησες την περιέργεια!

14 12 2010
Odysseas

Καταρχήν να μείνουμε στο παράδειγμα 1/3*6. Τ’ άλλα 2/3*6 και 2/3*3/4 είναι αυτονόητα.

Σκέφτομαι να τους βάλω το εξής πρόβλημα. Πήρα 5 εξάδες κύβων. Αυτό το γράφουμε σαν πολλαπλασιασμό 5*6. Τώρα πήρα 4 εξάδες κύβων αυτό το γράφουμε σαν πολλαπλασιασμό 4*6 ……… Πήρα μισή ή ½ εξάδα κύβων. Αυτό το γράφουμε σαν πολλαπλασιασμό; Τι αλλάζει σ’ αυτήν την περίπτωση; Και να γίνει μια συζήτηση πάνω σ’ αυτό. Ή εναλλακτικά να τους ρωτήσω πόσες εξάδες κύβων πρέπει να πάρετε για τον πολλαπλασιασμό 5*6; για το 4*6; για το 3*6; … για το 1/2*6; για το 1/3*6;

Οι καλοί πιστεύω πως θα το καταλάβουν αμέσως. Τι γίνεται όμως μ’ αυτούς που δε θα το καταλάβουν; Φυσικά, δε θα βάλω μόνο ένα πρόβλημα και δε θα χρησιμοποιήσω μόνο κύβους. Πάλι όμως κάτι δε μου κολλάει. Δε φαίνεται ξεκάθαρα, όπως στον πολλαπλασιασμό των ακεραίων, ότι εδώ παίρνουμε ένα κομμάτι από έναν ακέραιο ή ένα κλάσμα.

Με άλλα λόγια το σημείο που θέλει ξεκαθάρισμα απ’ αυτά που μου γράφεις είναι:

«Διαιρώ το 6 με το 3 μπορεί επίσης να σημαίνει σύμφωνα με τα παραπάνω “παίρνω το 1/3 του 6”, που αυτό έρχεται σε αντιστοιχία με τον πολλαπλασιασμό του 6 με κάποιον άλλο ακέραιο, για παράδειγμα με το 4, αφού 6*4 μπορεί να σημαίνει “παίρνω 4 φορές το 6”.»

Δεν είναι καθόλου σαφές αν είσαι 10 και 11 χρονών. Σίγουρα φταίει ο τρόπος με τον οποίο διδάσκουμε τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση στο Δημοτικό. Αυτό ψάχνω να βρω. Πώς θα το βελτιώσω, ώστε τα παιδιά να μεταβούν φυσιολογικά από τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων. Αν γίνει αυτό μπορεί να γίνει πιο ομαλά και η μετάβαση στη διαίρεση.

Στη σειρά πρωταγωνιστεί ένας μαθηματικός που διαλευκάνει αστυνομικά εγκλήματα μέσω των μαθηματικών. Εσένα μπορεί να μη σου αρέσει γιατί είσαι μαθηματικός και μπορεί ναν σου φανούν υπερβολικά αυτά που κάνει ο συγκεκριμένος τύπος αλλά εγώ δεν έχω τέτοια προβλήματα λόγω έλλειψης γνώσεων.

Για το βιβλίο να ξεκαθαρίσουμε αυτό και βλέπουμε. Μη νομίζεις πάντως ότι θα το διαβάσει και κανένας. ΧΑΧΑΧΑ!

15 12 2010
ntinosraptis

Δυστυχώς δε νομίζω ότι μπορώ να αναλύσω περαιτέρω τη σκέψη μου, ούτε να εκφραστώ πιο στοιχειωδώς και μάλλον δεν έχω διαβάσει τίποτα που να κάνει κάτι τέτοιο, οπότε δεν μπορώ να προτείνω κατάλληλο ανάγνωσμα. Το πρόβλημα με τις εξάδες κύβων που αναφέρεις μου φαίνεται εξαιρετικό έναυσμα για την ενασχόληση με τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων. Το μόνο που σκέφτομαι εδώ, το οποίο ενδεχομένως να βοηθήσει τους μαθητές να σκεφτούν πιο ολιστικά τον πολλαπλασιασμό, είναι να πειστούν ότι ακόμη κι όταν πολλαπλασιάζουν με ακέραιους ουσιαστικά πολλαπλασιάζουν με κλάσματα που τυχαίνει να έχουν τη μονάδα παρονομαστή. Μπορείς να το πας παραπέρα χρησιμοποιώντας ένα ισοδύναμο κλάσμα που δεν έχει τη μονάδα παρονομαστή. Έτσι για παράδειγμα 6 * 3 = 6 * 3/1 = 6 * 6/2 κ.ο.κ.. Αυτή η προσέγγιση προετοιμάζει να μεταφερθεί κανείς από το σύνολο των φυσικών στο σύνολο των ρητών αλλά και να αντιληφθεί ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι και ρητοί, κατ’ επέκταση μπορούν να γραφούν ως κλάσματα. Παράλληλα όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μεταφέρονται από το σύνολο των φυσικών στο υπερσύνολό του, αυτό των ρητών.
Μάλλον δεν μπορώ να βοηθήσω πολύ, αλλά προς το παρόν αυτά σκέφτομαι.

15 12 2010
Odysseas

Μην αγχώνεσαι. Καταρχήν θα δοκιμάσω αυτό που σου είπα. Με ευχαριστεί που σου αρέσει. Αυτό σημαίνει πως μαθηματικά είναι εντάξει.Μόλις δω τα αποτελέσματα θα σου πω.

Καλή και η πρόταση «6 * 3 = 6 * 3/1 = 6 * 6/2». Αν έχω χρόνο θα τη δοκιμάσω.

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: