Τα κρυμμένα μαθηματικά μιας απλής κατασκευής

23 06 2010

Αυτό που ήθελα ήταν να κατασκευάσω στη GeoGebra μια μηχανή που να μετατρέπει την κυκλική σε ευθύγραμμη ή καλύτερα σε σχεδόν ευθύγραμμη κίνηση. Δεν είναι το πλεόν πρωτότυπο πρόβλημα, όμως αυτό που εμφανίστηκε αφού έπαιξα λιγάκι με τη GeoGebra ήταν μια μέθοδος κατασκευής διάφορων καμπυλών [1]. Περιγράφω λοιπόν την όλη κατασκευή που φαίνεται στο σχήμα 1:

Σχήμα 1

Σχήμα 1

  • Θεωρώ αρχικά ένα κύκλο. Για να διευκολύνω τις πράξεις θεωρώ τον μοναδιαίο κύκλο με εξίσωση: x^2+y^2=1.
  • Ένα σημείο \mathrm C (x_1,y_1) κινείται επί του μοναδιαίου κύκλου.
  • Θεωρώ ένα σημείο \mathrm D (d,0), με d \geq 0.
  • Θεωρώ το σημείο \mathrm F (x_1 + l,y_1) με l \geq d+1, το οποίο βρίσκεται στην ίδια παράλληλη με τον άξονα x'x ευθεία που διέρχεται από το \mathrm C.
  • Θεωρώ το σημείο \mathrm E (x_2,y_2) το οποίο βρίσκεται επί της ευθείας \mathrm {CD} και απέχει από το σημείο \mathrm C απόσταση ίση με l= \mathrm {CF}.
  • Έστω \mathrm G(x,y) το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \mathrm {EF}.

Για να δούμε τώρα τι είδους καμπύλες διαγράφει το \mathrm G καθώς το \mathrm C κινείται πάνω στον κύκλο. Για να ακολουθήσω τη δική μου ανακαλυπτική πορεία, παραθέτω πρώτα μερικά σχήματα. Πρόκειται για τις καμπύλες που διαγράφει το σημείο \mathrm G καθώς η παράμετρος d παίρνει διάφορες τιμές.

Για d=0 το \mathrm G διαγράφει μια καμπύλη που φαίνεται να είναι κύκλος (αργότερα θα αποδειχτεί ότι πράγματι είναι κύκλος) όπως φαίνεται στο σχήμα 2:

σχήμα 2

Σχήμα 2: d = 0

Όταν d=1, δηλαδή ίσο με την ακτίνα του κύκλου, το \mathrm G διαγράφει μια ανοιχτή καμπύλη. Παρατηρείστε ότι όταν \mathrm C \equiv \mathrm D τότε η ευθεία \mathrm {CD} δεν ορίζεται και κατ’ επέκταση ούτε το σημείο \mathrm E.

σχήμα 3

Σχήμα 3: d = 1

Για d ελάχιστα μεγαλύτερο του 1 η παραπάνω καμπύλη κλείνει όπως φαίνεται στο σχήμα 4.

σχήμα 4

Σχήμα 4: το d παίρνει λίγο μεγαλύτερες του 1 τιμές

Καθώς το d αυξάνει η κλειστή καμπύλη γίνεται πιο «πεπιεσμένη» στα άκρα της και πιο «οξεία» στην κορυφή όπως φαίνεται στο σχήμα 5.

σχήμα 5

Σχήμα 5

Το d συνεχίζει να αυξάνει για να δώσει μια κλειστή καμπύλη «8», όπως φαίνεται στο σχήμα 6.

σχήμα 6

Σχήμα 6

Μετά από κάποια τιμή του d η καμπύλη γίνεται συμμετρική με αυτή του σχήματος 5, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.

σχήμα 7

Σχήμα 7

Μπορείτε να παίξετε με την κατασκευή εδώ και να ψάξετε για αντιστοιχίες με «διάσημες» καμπύλες εδώ.

Θέλω όμως να ασχοληθώ και με τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από τις καμπύλες.

Η εξίσωση της ευθείας \mathrm{CD} είναι: y=y_1 \frac{x-d}{x_1 - d}.

Επειδή το σημείο \mathrm E(x_2,y_2) είναι σημείο της παραπάνω ευθείας, θα ισχύει:

y_2=y_1 \frac{x_2 - d}{x_1 - d} (1),

ενώ το μήκος \mathrm{CE} είναι ίσο με l, επομένως:

(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = l^2 (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει με απλές πράξεις ότι:

x_2=l \frac{d-x_1}{\sqrt{1-2x_1d+d^2}}+x_1 (3).

Και επειδή το \mathrm G είναι το μέσον του \mathrm{EF} θα έχει συντεταγμένες x=\frac{1}{2}(x_1+x_2+l) και y=\frac{1}{2}(y_1+y_2).

Λόγω της σχέσης (3) και έχοντας υπόψη ότι x_1^2+y_1^2=1, μετά από πράξεις καταλήγουμε στις συντεταγμένες του

\mathrm G \bigg ( x_1 \big (1 - \frac{l}{2 \sqrt{1-2x_1d+d^2}} \big ) + \frac{l}{2} \big (1+\frac{d}{\sqrt{1-2x_1d+d^2}} \big ),y_1 \big (1-\frac{l}{2\sqrt{1-2x_1d+d^2}} \big ) \bigg )

  • Αν d=0,
    οι συντεταγμένες του σημείου \mathrm G γίνονται:
    x=x_1 \big (1 - \frac{l}{2} \big ) + \frac{l}{2} και y=y_1 \big (1 - \frac{l}{2} \big ).
    Επομένως ισχύει \big ( x- \frac{l}{2} \big )^2 +y^2 = \big ( \frac{l}{2} - 1 \big )^2,
    οπότε το \mathrm G διαγράφει τον κύκλο με κέντρο το σημείο (\frac{l}{2},0) και ακτίνα (\frac{l}{2} - 1)
  • Αν d=1,
    είδαμε ότι το \mathrm C δεν μπορεί να ταυτίζεται με το \mathrm D ενώ οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης που δημιουργείται είναι:
    x = \cos \theta - \frac{\sqrt{2}}{4} l \sqrt{1 - \cos \theta} + \frac{l}{2},
    y=\sin \theta \big (1 - \frac{l}{2 \sqrt{2(1- \cos \theta)}} \big ), με \theta \neq 0
  • Αν d>1,
    θα δώσω μόνο τις παραμετρικές εξισώσεις των καμπυλών, οι οποίες προκύπτουν άμεσα από τις συντεταγμένες του σημείου \mathrm G και είναι:
    x=\cos \theta \big ( 1 - \frac{l}{2 \sqrt{1 - 2 d \cos \theta + d^2}} \big ) + \frac{l}{2} \big ( 1 + \frac{d}{\sqrt{1 - 2 d \cos \theta + d^2}}\big ),
    y=\sin \theta \big (1 - \frac{l}{2 \sqrt{1-2 d \cos \theta + d^2}} \big )
    Το ερώτημα που γεννάται εδώ είναι πότε η καμπύλη παίρνει το σχήμα «8». Για να γίνει κάτι τέτοιο, η εξίσωση y=0 θα πρέπει να έχει τρεις λύσεις. Δύο που προκύπτουν από την \sin \theta = 0 και μία που προκύπτει από την 1 - \frac{l}{2 \sqrt{1-2 d \cos \theta + d^2}}=0. Η τελευταία εξίσωση δίνει την τρίτη λύση αν -1< \frac{4+4 d^2 - l^2}{8 d} < 1.

Ας κάνω ένα σύντομο απολογισμό. Αυτό το παιχνίδι με την απλή κατασκευή ήταν αφορμή για να ασχοληθώ με:

  1. την εξίσωση ευθείας
  2. την εξίσωση κύκλου
  3. τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος
  4. την κατασκευή παραμετρικών εξισώσεων καμπύλης
  5. την κατασκευή καρτεσιανής εξίσωσης καμπύλης
  6. την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων
  7. τη διαχείριση πολύπλοκων παραστάσεων
  8. τη διερεύνηση περιπτώσεων

Το επιχείρημά μου εδώ είναι ότι η εισαγωγή νέων τεχνολογιών στην τάξη δε νεκρώνει αναγκαστικά τη μαθηματική σκέψη («αφού όλα γίνονται αυτόματα»), αλλά θα μπορούσε να αποτελέσει το έναυσμα για βαθιά ενασχόληση με τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από απλές (και όχι μόνο) κατασκευές.

Σημειώσεις

[1] Δείτε την υλοποίηση του Ν. Δαπόντε στη Scratch εδώ και μια διαφοροποιημένη υλοποίηση εδώ.

Advertisements

Ενέργειες

Information

4 Σχόλια

23 06 2010
Νίκος Δαπόντες

Κώστα, ενδιαφέρον και προκλητικό το άρθρο σου. Τόσο προκλητικό που μου δημιούργησε την αναάγκη να «δοκιμαστώ» στο scratch.

23 06 2010
ntinosraptis

Περιμένω εναγωνίως το project σου!

25 06 2010
Νίκος Δαπόντες

Το έφτιαξα με αυτοματοποιημένο τρόπο και σου το έστειλα με e-mail.

4 10 2010
Ανώνυμος

καμπυλη ανοιχτη

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: