Λογιστική – Φιλοσοφία: 1 – 0

χρονογραμμή βασικών εννοιών και θεωρημάτων των μαθηματικών της γ' λυκείου

Με αφορμή ένα άρθρο στο blog Μαθηματικά + Λογοτεχνία αναλογίστηκα και πάλι, μετά από πολύ καιρό ομολογουμένως, ότι η ιστορία και η φιλοσοφία των μαθηματικών έχουν εξοστρακιστεί από την τάξη μου. Τέτοιες ενέργειες μπορεί να φαίνονται εκ πρώτης όψεως μηδενικής σημασίας, θα προσπαθήσω όμως να βάλω τις σκέψεις μου σε μια σειρά για να καταδείξω πως τελικά δεν είναι ολωσδιόλου δευτερεύουσες.

Είναι αλήθεια πως η τεράστια ύλη δημιουργεί άγχος και απαιτήσεις και μας κάνει όλους να τρέχουμε για να προλάβουμε το τρένο της ποσότητας, αφήνοντας πίσω μας το σταθμό της ποιότητας. Εξάλλου ο όγκος και η φύση του αναλυτικού προγράμματος είναι τέτοια, που πολλές φορές η διδασκαλία των μαθηματικών ανάγεται σε παρουσίαση εξειδικευμένων τακτικών και μεθόδων επίλυσης συγκεκριμένων ασκήσεων. Ο Δοξιάδης (2004) περιγράφει πώς η τεράστια ύλη των σχολικών μαθηματικών αποτρέπει το σχολείο να εκτελέσει το ρόλο του, ο οποίος είναι να δημιουργεί σκεπτόμενους ανθρώπους (αν και αυτό σηκώνει πολύ κουβέντα), και ανάγει τη διδασκαλία των μαθηματικών σε διδασκαλία ευρετικών μεθόδων.

Αυτή η πίεση λοιπόν για να «βγει η ύλη» δεν αφήνει και πολλά περιθώρια για την ιστορία και τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Γιατί όμως είναι σημαντική η ιστορία; Είναι απλά αισθητικοί οι λόγοι που την τοποθετούν σε μια σχολική τάξη, ή μήπως μια τέτοια ενέργεια μπορεί να έχει εκπαιδευτικές προεκτάσεις;

Σήμερα θεωρούμε ότι οι μαθητές μας για να αποκτήσουν τις μαθηματικές ικανότητες που η κοινωνία μας έχει ορίσει ως αναγκαίες, είναι σημαντικό να μορφοποιήσουν νοήματα όχι μόνο ομογενή μέσα στα πλαίσια της τάξης, αλλά και συμβατά με αυτά που η μαθηματική κοινότητα υποστηρίζει (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, 2007). Σε περίπτωση που η μετάβαση από προσωπικά σε κοινά αποδεκτά νοήματα και αντιλήψεις γίνει διαμέσου διαπραγματεύσεων, υποθέσεων και δοκιμών, αναδύεται η κοινωνική διάσταση των μαθηματικών (Τουμάσης, 1994). Αυτή σηματοδοτεί το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι μια προσωρινή, αναθεωρίσιμη ανθρώπινη κατασκευή. Η τελευταία παραδοχή επηρεάζει με τη σειρά της την οντολογία της μαθηματικής γνώσης, αφού την καθιστά μια πλαστική οντότητα ανοιχτή σε τροποποιήσεις. Η οντολογία με τη σειρά της επηρεάζει τη μαθηματική φιλοσοφία και επιστημολογία.

Μια τέτοια στάση απέναντι στα μαθηματικά μάλλον αντίκειται στην πλατωνική αρχή ότι η γνώση προϋπάρχει στον κόσμο των Ιδεών, ακόμα κι αν δεν το αντιλαμβανόμαστε, γεγονός που προσδίδει κάποια απόσταση ανάμεσα στο μαθητή και τη γνώση (Αναπολιτάνος, 1985). Η αναφορά στην πλατωνική θεώρηση ίσως να οφείλεται στις προσωπικές μου εμπειρίες. Ως μαθητής και αργότερα φοιτητής, δε θυμάμαι να άκουσα ποτέ ότι το τάδε θεώρημα εφευρέθηκε, κατασκευάστηκε ή δημιουργήθηκε. Τα θεωρήματα πάντα ανακαλύπτονταν. Ήταν δηλαδή εκεί, προϋπήρχαν και περίμεναν υπομονετικά το μυαλό που θα καταφέρει να τα συλλάβει και να ενημερώσει την υπόλοιπη ανθρωπότητα για την ύπαρξή τους. Καταλαβαίνω αυτή τη θεώρηση, αλλά προσωπικά δεν την ασπάζομαι. Αυτό βέβαια δε σημαίνει και πολλά πράγματα. Ένα από τα καλύτερα βιβλία που διάβασα ποτέ ήταν η ασκητική του Καζαντζάκη, παρόλο που δε συμφωνώ σχεδόν με τίποτα από αυτά που γράφονται εκεί. Η πλατωνική θεώρηση λοιπόν μου θυμίζει λιγάκι ένα καρέ του Logicomix στο οποίο ο Βίτγκενσταϊν ουρλιάζει σε μια μαθήτριά του:

Δε θα κατέβει η Γεωμετρία στο επίπεδό σου, ανεγκέφαλο πλάσμα! Εσύ πρέπει να βάλεις το χοντροκέφαλό σου να δουλέψει για να ανέβεις στο δικό της!!!

Μάλλον συνειρμικά μου ‘ρχεται στο μυαλό ένας δικός μου καθηγητής που υποστήριζε τότε που ήμουν φοιτητής ότι αυτοί που παραπονιούνται και θέλουν περισσότερα παιδαγωγικά μαθήματα καλά θα κάνουν να μάθουν πρώτα το αντικείμενό τους και μετά η παιδαγωγική «θα ‘ρθει». Δε διαφωνώ στο παραμικρό βέβαια ότι όποιος θέλει να διδάξει οτιδήποτε, θα πρέπει πρώτα να κατέχει το αντικείμενο. Η παιδαγωγική όμως όπως δείχνει η πράξη δεν «έρχεται» ποτέ. Για την ακρίβεια, έχει χάσει το δρόμο, κάπου ανάμεσα στα πέντε κεφάλαια άλγεβρας και δυο – τρία της γεωμετρίας ή στα ανεξάντλητα μαθηματικά κατεύθυνσης, γενικής παιδείας και τη γεωμετρία. Έτσι οι μαθητές χάνουν το παιχνίδι και σταματούν να φιλοσοφούν, να σκέφτονται από μόνοι τους δηλαδή και να αναλογίζονται ότι η επιστημονική κοινότητα πρέπει να λειτουργεί περίπου όπως και η τάξη τους: ανοιχτά προβλήματα, ανάλυση, σύνθεση, προτάσεις για λύση, νέες προτάσεις, αντιρρήσεις, ανασκευές, συναίνεση, νέες αντιρρήσεις… Η ιστορία είναι η απόδειξη ότι τα μαθηματικά που οι μαθητές καταπιάνονται δημιουργήθηκαν μ’ αυτόν τον τρόπο και δεν κατασκευάστηκαν μαγικά από υπερ-ανθρώπους. Εκατοντάδες ή χιλιάδες χρόνια χρειάστηκε να περάσουν για να καταλήξει η μαθηματική κοινότητα σε αυτά τα κομψά αποτελέσματα που σε δυο-τρεις αράδες καταφέρνουν να συγκεντρώσουν τη σοφία των πιο λαμπρών μυαλών της ανθρωπότητας. Όμως οι μαθητές μας με τον τρόπο που καλούμαστε να διδάξουμε αποκόπτονται από την επιστημολογία· παύει να τους ενδιαφέρει πώς λειτουργεί και πώς θα έπρεπε να λειτουργεί η επιστήμη.

Για να μην κατηγορηθώ όμως ότι είμαι μόνο λόγια, κατασκεύασα ένα απλό εργαλείο. Έκλεψα μια ιδέα από τη διδασκαλία της ιστορίας για να τη μπολιάσω με τη διδασκαλία των μαθηματικών, ώστε να μπορέσουν και οι ιστορίες των μεγάλων μαθηματικών να τρυπώσουν στην τάξη μου, μιας που τις έχω πετάξει έξω. Έφτιαξα μια χρονογραμμή [1] των θεωρημάτων και των βασικότερων εννοιών των μαθηματικών της Γ’ Λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης. Τα μεγαθήρια Bolzano, Leibniz, Lagrange, Cauchy μπήκαν όλοι στη… σειρά. (Παρατήρηση: οι μαθητές, όπως κι εγώ, προτιμούν τις βρώμικες ιστορίες, όπως αυτή που λέει ότι ο κανόνας του L’ Hôpital δεν ανήκει στον ίδιο, αλλά στο Johann Bernoulli και άλλα τέτοια).

Αναφορές

ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΣ, Δ. 1985. Εισαγωγή στη φιλοσοφία των μαθηματικών. Αθήνα: Νεφέλη.

ΔΟΞΙΑΔΗΣ, Α. 2004. Σχολικά μαθηματικά: ο εφιάλτης και το όνειρο. Popular Science (ελληνική έκδοση). 27, σσ. 5-6. Διαθέσιμο στον Παγκόσμιο Ιστό: <http://anamorfosis.net/?p=94>

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. 2007. Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των μαθηματικών του γενικού λυκείου κατά το σχολικό έτος 2007-2008. Αθήνα: ΟΕΔΒ. Διαθέσιμο στον παγκόσμιο ιστό: <http://www.pi-schools.gr/lessons/mathematics/odigies_did_math_lyk.pdf>

ΤΟΥΜΑΣΗΣ, Μ. 1994. Σύγχρονη διδακτική των μαθηματικών. Αθήνα: Gutenberg

Σημειώσεις

[1] Βασική πηγή για την κατασκευή της χρονογραμμής ήταν η μεγαλύτερη βάση δεδομένων σχετική με την ιστορία των μαθηματικών στο ίντερνετ, το αρχείο MacTutor History of Mathematics του πανεπιστημίου St Andrews της Σκοτίας.