Η δυναμική κίνηση στην ανάλυση

27 01 2010

Υπάρχουν στοιχεία που υποστηρίζουν ότι η εισαγωγή λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας διαφοροποιεί το μαθηματικό λόγο δασκάλου και μαθητών στην τάξη (Sinclair and Yurita, 2008), οπότε κατ’ επέκταση επιδρά στη μαθηματική τους σκέψη. Κάποιες ασκήσεις ή κομμάτια της θεωρίας στην ανάλυση θα μπορούσαν να παρουσιαστούν εξαιρετικά με τη συνδρομή της δυναμικής κίνησης. Προσωπικά πιάνω τον εαυτό μου πολλές φορές να σκέφτομαι πώς θα τα παρουσίαζα στους μαθητές μου με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού. Τις προάλλες λοιπόν, καθώς λύναμε μια άσκηση (Μπάρλας, 2004), αντιλήφθηκα ότι θα ήταν εξαιρετικά χρήσιμη η οπτικοποίησή της με τη βοήθεια της GeoGebra. Η άσκηση είναι η εξής:

Να βρείτε την τιμή του \lambda >0 για την οποία η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \mathrm f(x)=x^{\lambda} e^{2\lambda -x}, x>0 γίνεται ελάχιστη (σελ. 149).

Παραθέτω μια πρόχειρη λύση της άσκησης.

Καταρχήν εξετάζω ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της τη συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη για κάθε x>0 με πρώτη παράγωγο:
\mathrm f'(x)=x^{\lambda - 1} e^{2\lambda - x} (\lambda - x)

Οπότε:
\mathrm f'(x)=0 \Leftrightarrow \lambda - x = 0 \Leftrightarrow x=\lambda
\mathrm f'(x)>0 \Leftrightarrow \lambda - x > 0 \Leftrightarrow x<\lambda
\mathrm f'(x)<0 \Leftrightarrow \lambda - x < 0 \Leftrightarrow x>\lambda

Άρα:
η συνάρτηση \mathrm f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,\lambda] και γνησίως φθίνουσα στο [\lambda,+\infty), ενώ στη θέση x=\lambda παρουσιάζει μέγιστο, το οποίο είναι ίσο με \mathrm f(\lambda)=\lambda^{\lambda} e^{\lambda}.

Η μέγιστη τιμή \mathrm f(\lambda) της συνάρτησης \mathrm f γίνεται ελάχιστη στην ίδια θέση που ελάχιστη γίνεται και η συνάρτηση \mathrm g(t)=t^{t} e^t, t>0.

Η \mathrm g είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με πρώτη παράγωγο:
g'(t)=t^{t} e^{t} (2+\ln t), t>0.

Οπότε:
\mathrm g'(t)=0 \Leftrightarrow 2+\ln t = 0 \Leftrightarrow t=e^{-2}
\mathrm g'(t)>0 \Leftrightarrow 2+\ln t > 0 \Leftrightarrow t>e^{-2}
\mathrm g'(t)<0 \Leftrightarrow 2+\ln t < 0 \Leftrightarrow t<e^{-2}

Άρα:
η συνάρτηση \mathrm g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,e^{-2}] και γνησίως αύξουσα στο [e^{-2},+\infty), ενώ στη θέση t=e^{-2} παρουσιάζει ελάχιστο.

Τελικά, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \mathrm f γίνεται ελάχιστη για \lambda = e^{-2}.♦

Η αλήθεια είναι ότι είναι λιγάκι περίεργο μια μέγιστη τιμή να γίνεται ελάχιστη! Θα προσπαθήσω με τη βοήθεια της GeoGebra να αποτυπώσω γεωμετρικά τι συμβαίνει στο παρακάτω βίντεο:

Πιστεύω ότι με τέτοιες πρακτικές παράλληλης υποστήριξης της μάθησης με κατάλληλα ηλεκτρονικά μέσα, δίνουμε τη δυνατότητα στο μαθητή να επεξεργαστεί και να κατανοήσει πολυδιάστατες έννοιες, όπως αυτές της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης, της παραμέτρου, του μέγιστου και του ελάχιστου.

Αναφορές

ΜΠΑΡΛΑΣ, Α. 2004. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης – Τεύχος Β’. Αθήνα: Ελληνοεκδοτική.

SINCLAIR, N. and V. YURITA. 2008. To be or to become: how dynamic geometry changes discourse. Research in Mathematics Education. 10 (2), pp. 135-150.

Advertisements

Ενέργειες

Information

Ποιες είναι οι σκέψεις σας;

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s




Αρέσει σε %d bloggers: