Περάσανε, που λέτε, τρεις τέσσερις μήνες κι είχαμε πια μπει για τα καλά στο χειμώνα. Εγώ είχα πάει στο σχολείο για αρκετό καιρό και μπορούσα να συλλαβίζω, να διαβάζω και να γράφω λιγουλάκι· ήξερα και την προπαίδεια ως το έξι εφτά τριάντα πέντε και δε νομίζω πως θα μπορούσα να προχωρήσω ρούπι πέρα από αυτό, ακόμα κι αν ήτανε να ζήσω αιώνια. Έτσι κι αλλιώς τα μαθηματικά δεν τα ‘χω και σε μεγάλη εκτίμηση.

Mark Twain, Οι περιπέτειες του Χακ Φιν
Μετάφραση: Άννα Παπασταύρου,
Εκδόσεις Παπαδόπουλος

Στην αρχική σελίδα του Wolfram Education Portal διαβάζει κανείς:

Καλωσήρθατε στην εκπαιδευτική πύλη της Wolfram

Το όνομα της Wolfram είναι έμπιστο στο χώρο της εκπαίδευσης εδώ και καιρό – ως κατασκευαστές της Mathematica, της Wolfram|Alpha και του Wolfram Demonstrations Project, έχουμε δημιουργήσει μερικά από τα πιο δυναμικά διαθέσιμα διδακτικά και μαθησιακά εργαλεία. Με χαρά σας προσφέρουμε τις καλύτερες τεχνολογίες μας εδώ στην εκπαιδευτική πύλη της Wolfram, οργανωμένες ανά μάθημα. Στην πύλη θα βρείτε ένα δυναμικό εγχειρίδιο, σχέδια μαθημάτος, μικροεφαρμογές, διαδραστικές παρουσιάσεις, και άλλα κατασκευασμένα από τους ειδικούς της εκπαίδευσης της Wolfram. Μπορείτε να ρίξετε μια ματιά στα είδη του υλικού που προσφέρουμε παρακάτω, αλλά για να έχετε πλήρη πρόσβαση σε όλα τα αρχεία, θα χρειαστεί να δημιουργήσετε ένα δωρεάν λογαριασμό.

Η πύλη βρίσκεται σε φάση beta, οπότε ελεύθερα εξερευνήστε το υλικό που έχουμε συλλέξει και ανατροφοδοτήστε, ώστε να μας βοηθήσετε να βελτιώσουμε το έργο.

Η κίνηση της Wolfram, σε συνδυασμό με την ανακοίνωση της Apple ότι “επανανακαλύπτει” το εγχειρίδιο με το  νέο iBooks 2 και το iBooks Author, σηματοδοτούν μια νέα εποχή για το σχολικό εγχειρίδιο. Δείτε το παρακάτω βίντεο της επίσημης παρουσίασης του iBooks 2.

Βρισκόμαστε άραγε προ των πυλών μιας ευρείας αντικατάστασης του τυπωμένου εγχειριδίου από το ψηφιακό αντίστοιχό του;

Σήμερα, ανάμεσα σε 29 συνολικές αναζητήσεις που κατέληξαν στη Μαθηματική Εκπαίδευση & Τεχνολογία υπήρχε και μία που μ’ έβαλε σε σκέψεις: “τεστ για τη γλώσσα προγραμματισμού scratch”.Γιατί άραγε να ψάχνει κάποιος στο διαδίκτυο τεστ για τη scratch; Τα σενάρια που κατασκεύασα, προσπαθώντας να κατανοήσω πώς δύο έννοιες που μέσα στο κεφάλι μου έχουν καταχωρηθεί σε αντιδιαμετρικά αντίθετες γωνιές (αυτές είναι οι έννοιες “τεστ” και “scratch”) κατέληξαν στην ίδια σειρά συμβόλων στο πλαίσιο αναζήτησης της Google, ήταν τα εξής:

1. εκπαιδευτικός πρόκειται να εξετάσει μαθητές στη scratch και ψάχνει καλές ιδέες,
2. μαθητής πρόκειται να εξεταστεί στη scratch και ψάχνει “παλιά θέματα”,
3. αυτοδίδακτος θέλει να εξετάσει τον εαυτό του και να ελέγξει τις γνώσεις του,
4. κάποιος με θεωρητικό εδιαφέρον για τη scratch αναζητά αποδείξεις ότι ακόμα και αυτή (όπως και κάθε άλλο εκπαιδευτικό εργαλείο) μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά το δοκούν, δηλαδή ακόμη και σε ένα πλαίσιο που διέπεται από φιλοσοφικές, εκπαιδευτικές, γνωσιοθεωρητικές και ψυχολογικές θεωρήσεις ακριβώς αντίθετες από τις αρχικά παραδεκτές,
5. λοιπά πιθανά σενάρια.

Όπως και να ‘χει, από την πρώτη φορά που εξετάστηκα γραπτά σε γλώσσα προγραμματισμού μέχρι σήμερα, αδυνατώ να καταλάβω πώς γλώσσες προγραμματισμού και γραπτές εξετάσεις συνταιριάζονται. Πιστεύω ότι τα τεστ και η scratch, όπως το λάδι και το νερό, δεν πάνε μαζί. Εκτός βέβαια αν θες να κάνεις μερικούς μαθητές να μισήσουν πολύ γρήγορα τον προγραμματισμό και τελικά να χάσουν το ενδιαφέρον τους για τη scratch, ένα καταπληκτικό εργαλείο που θα μπορούσε να αποτελέσει μια διέξοδο της καταπιεσμένης δημιουργικότητας των ελλήνων μαθητών. Αν θέλεις να μείνεις ήσυχος ότι εσύ ή άλλοι μπορείς/ούν να διαχειρίζεσαι/ονται τη scratch, μπορείς να το κάνεις με πολλούς τρόπους οι οποίοι θα είναι συν τοις άλλοις δημιουργικοί και διασκεδαστικοί (όπως για παράδειγμα η κατασκευή ενός παιχνιδιού)! Επ’ αυτού προτείνω το παρακάτω ανάγνωσμα (ένα από τα λίγα κείμενα του Prensky που θα πρότεινα σε οποιονδήποτε): Students as Designers and Creators of Educational Computer Games.

Δεν είναι κρίμα να παίρνεις ένα εργαλείο με τόσες εκπαιδευτικές δυνατότητες και να το εγκλωβίζεις μέσα στα στενά πλαίσια ενός συστήματος που πάσχει από προσκόλληση στα διαγωνίσματα, τα τεστ, τη βαθμοθηρία και πάσης φύσεως ξεπερασμένη αξιολογική διαδικασία; Τι νόημα έχει να απαιτείς από κάποιον:

1ο ΘΕΜΑ
Να σχεδιαστεί λουλούδι, του οποίου τα πέταλα αλλάζουν χρώμα κάθε 5 δευτερόλεπτα

όταν έτσι τσαλαπατάς κάθε διάθεση για παιχνίδι, πειραματισμό και συνεργασία;

Σχετικά
Για τη scratch έχω γράψει παλιότερα εδώ. Πολλές ιδέες, κομμάτια κώδικα, επεξηγήσεις και μια γεύση πρακτικής φιλοσοφίας που διέπει τη scratch μπορείτε να πάρετε από το blog του Νίκου Δαπόντε Προγραμματίζοντας στο SCRATCH, ενώ ένα υπέροχο online βιβλίο που θα σας πάρει από το χέρι μέχρι το πρώτο σας παιχνίδι στη Scratch βρίσκεται εδώ και κατασκευάστηκε από φοιτητές του τμήματος μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων του πανεπιστημίου Θεσσαλίας.

Alain de Botton – On Pessimism from The School of Life on Vimeo.

Επί του πρακτέου λοιπόν, στην περίπτωση της στερεομετρίας, θεωρώ ότι η χρήση απτών αντικειμένων, ή γενικότερα εποπτικών μέσων στη διδασκαλία της είναι επιβεβλημένη. Σύμφωνα με τη θεωρία δραστηριοτήτων (activity theory) η διάδραση με το περιβάλλον συμβαίνει μονάχα διαμέσου αντικειμένων και σημείων. Η χρήση εποπτικών μέσων και διαχειρίσιμων αντικειμένων♣ (manipulatives) στη διδασκαλία των μαθηματικών, τα οποία βοηθούν στην κιναισθητική προσέγγιση  κάποιων τομέων είναι γενικά παραδεκτή, αλλά δε θεωρείται πανάκεια για την κατανόηση μαθηματικών εννοιών (Moyer, 2001). Η χρήση απτών αντικειμένων από μόνη της, δεν μπορεί να εγγυηθεί ότι οι μαθητές θα κατασκευάσουν τις νοητικές διασυνδέσεις που έχουν κατά νου οι δάσκαλοι, ούτε καν ότι θα γίνουν οποιουδήποτε είδους νοητικές διασυνδέσεις (Clements, 1999). Αυτή βέβαια η άποψη ανακύπτει αν σκεφτόμαστε με όρους που επιβάλλει το πρόγραμμα σπουδών, δηλαδή αξιολογώντας τη χρησιμότητα των διαχειρίσιμων αντικειμένων μόνο σε σχέση με την επιθυμητή κατανόηση τομέων που επιβάλλεται από το πρόγραμμα σπουδών. Έτσι, αν οι μαθητές αποδώσουν καλύτερα σε μια αξιολογική δραστηριότητα μετά από τη χρήση διαχειρίσμων αντικειμένων, τότε σύμφωνα με αυτήν την άποψη, τα μαθησιακά αντικείμενα θα έχουν πετύχει το σκοπό τους. Όμως, υπάρχει και μια άλλη εκπαιδευτική προσέγγιση στο θέμα. Αν αντιληφθούμε τα διαχειρίσιμα μαθησιακά αντικείμενα ως “αντικείμενα για να σκεφτείς με αυτά” (Papert, 1993), ή ως αντικείμενα που πυροδοτούν το μαθηματικό διάλογο, τότε γίνεται προφανές ότι τέτοια αντικείμενα είναι όχι απλά χρήσιμα, αλλά αναγκαία σε οποιαδήποτε μαθησιακή εξερεύνηση.

Το Google SketchUp είναι λογισμικό μοντελοποίησης σε 3 διαστάσεις. Δεν έχει σημαντικές απαιτήσεις σε hardware (αφού τρέχει στο δικό μου υπολογιστή χωρίς κανένα πρόβλημα) και διατίθεται σε δύο βασικές εκδόσεις: την απλή (δωρεάν) και την “επαγγελματική” Pro (με κόστος που κυμαίνεται περί τα $500). Θεωρώ ότι η σημαντικότερη διαφορά ανάμεσα στις δύο εκδόσεις είναι τα δυναμικά αντικείμενα, κάτι που δεν έχει κανείς τη δυνατότητα να κατασκευάσει με την απλή έκδοση. Παρόλα αυτά η Google προσφέρει μια “ψηφιακή αποθήκη” το Google 3D Warehouse, δηλαδή μια βάση τρισδιάστατων μοντέλων με δυνατότητα αναζήτησης, από την οποία μπορεί κανείς να κατεβάσει δωρεάν δυναμικά και μη μοντέλα και να τα διαχειριστεί με οποιαδήποτε έκδοση του λογισμικού. Σε αυτήν την σελίδα μπορείτε να κατεβάσετε δωρεάν τη βασική έκδοση, αλλά και να βρείτε επεκτάσεις της έκδοσης Pro. Για να χρησιμοποιήσετε το Google SketchUp θα χρειαστεί, αφού το κατεβάσετε, να το εγκαταστήσετε στον υπολογιστή σας. Έχοντας πει όλα αυτά, θεωρώ ότι η απλή έκδοση ενδείκνυται στην περίπτωση της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μπορείτε όμως να δείτε περισσότερα σχετικά με την πολιτική της Google για την εκπαίδευση εδώ.

Για να δούμε όμως τι μπορεί να κάνει το SketchUp. Παρακολουθήστε το βίντεο που έχω ετοιμάσει σχετικά με την κατασκευή τεσσάρων βασικών στερεών σχημάτων (ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, κύλινδρος, κώνος, σφαίρα). Ακολουθεί ένα ενδεικτικό πρόβλημα που καταφέρνει με μεγάλη ευκολία να διασυνδέσει την πραγματικότητα με τα μαθηματικά, το οποίο ανέκυψε μάλλον τυχαία καθώς κατασκεύαζα ένα σιλό στο Google SketchUp.

Πρόβλημα:
Πόσοι τόνοι σιταριού χωρούν στο παρακάτω σιλό, αν είναι γνωστό ότι η πυκνότητα του αποθηκευμένου σιταριού είναι 1,8 kg/l. (Σημ.: αν δε δοθεί εξαρχής η πυκνότητα του αποθηκευμένου σιταριού, αυτό ενδεχομένως να λειτουργήσει κι ως έναυσμα για την ανάδυση της έννοιας της πυκνότητας και της χρησιμότητάς της)

Click to view slideshow.
(Τα σχήματα που διάλεξα σε αυτό το slideshow είναι ενδεικτικά της χρήσης του SketchUp και κατασκευάστηκαν πολύ εύκολα. Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο SketchUp που κατασκευάστηκε εδώ.)

Ένας μαθητής για να λύσει το παραπάνω πρόβλημα θα κληθεί να:

1. υπολογίσει μήκη ευθύγραμμων τμημάτων, αφαιρώντας ήδη γνωστά,
2. χρησιμοποιήσει το πυθαγόρειο θεώρημα,
3. υπολογίσει τον όγκο ενός κυλίνδρου,
4. υπολογίσει τον όγκο ενός κώνου,
5. μετατρέψει σε κατάλληλες μονάδες τα ευρήματά του/της,
6. χρησιμοποιήσει (ή να επανανακαλύψει) την έννοια της πυκνότητας.

Καθόλου άσχημα για ένα πρόβλημα που δημιουργήθηκε κατά την κατασκευή ενός ψηφιακού αντικειμένου, με μοναδικό έναυσμα την καθαρή περιέργεια. Τι λέτε;

Σχετικοί σύνδεσμοι

Δείτε παρακάτω τρεις βιβλιοθήκες ψηφιακών διαχειρίσιμων αντικειμένων:

National Library of Virtual Manipulatives
Illuminations: Activities
Interactivate: Activities

Αναφορές

CLEMENTS, D. H. 1999. “Concrete” manipulatives, concrete ideas. Contemporary Issues in Early Childhood, 1 (1), pp. 45 – 60.

MOYER, P. S. 2001. Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47 (2), pp. 175 – 197.

PAPERT, S. 1993. Mindstorms – Children, Computers and Powerful Ideas. 2nd ed. New York: Basic Books.

♣ Ας μου επιτραπεί η συγκεκριμένη μετάφραση για τον όρο manipulatives, αλλά δεν κατάφερα να εντοπίσω κάποια που να αποδίδει τον όρο πιο πιστά. Εδώ θέλω να γίνει αντιληπτό ότι οι μαθητές μπορούν να διαχειριστούν με τα χέρια τους ή ηλεκτρονικά αυτά τα μαθηασιακά αντικείμενα.

Για να σκεφτούμε όμως λιγάκι, γιατί είναι έτσι τα πράγματα; Γιατί δεν έχουν γίνει οι κατάλληλες νοητικές διασυνδέσεις ανάμεσα στις συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις από τους μαθητές; Το θέμα βέβαια είναι τεράστιο και υπάρχει μεγάλος όγκος σχετικής αρθρογραφίας σε επιστημονικά περιοδικά. Για να δώσω τη δική μου προσέγγιση και να καταφέρω να διαπραγματευτώ μια λύση, θα ανατρέξω στη ρίζα του. Πρώτη φορά στη μαθητική του καριέρα, ένα παιδί έρχεται σε επαφή με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στη Β’ Γυμνασίου. Στις Οδηγίες για τη διδασκαλία των θετικών μαθημάτων των Α’, Β’ και Γ’ τάξεων ημερήσιου και εσπερινού Γυμνασίου για το σχολικό έτος 2011 – 2012 αναγράφεται για τη σχετική παράγραφο 3.2 “Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης” του πρώτου μέρους του σχολικού βιβλίου:

§3.2 (Να διατεθούν 3 ώρες)

Να δοθούν ασκήσεις και προβλήματα με γραφικές παραστάσεις τις οποίες θα πρέπει οι μαθητές να “διαβάσουν” για να βρουν ποιες τιμές του αντιστοιχούν σε δεδομένες τιμές του και αντιστρόφως. Τέτοιες είναι η ερώτηση 5, η καμπύλη θερμοκρασίας ενός τόπου (§4.5 του νέου σχολικού βιβλίου της Α’ Λυκείου) και άλλες που μπορούν να αναζητηθούν στο διαδίκτυο.
Να μη διδαχθούν οι εφαρμογές 2 (συμμετρικό σημείου) και 3 (τύπος απόστασης σημείων), οι ερωτήσεις κατανόησης 3, 4 και οι ασκήσεις 3, 5 και 6. Στις ασκήσεις 4 και 7 μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα και όχι ο τύπος απόστασης σημείων. Αντίθετα να δοθεί έμφαση στην εφαρμογή 4 και στις ασκήσεις 8, 9 και 10.

Καταλαβαίνει λοιπόν κανείς, με μια δεύτερη ανάγνωση, ότι το βάρος εδώ δίνεται στην εξαγωγή συμπερασμάτων από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Η ίδια η κατασκευή της γραφικής παράστασης μάλλον έρχεται σε δεύτερη μοίρα. Είναι λογικό εξάλλου, αφού στην παρούσα φάση κάτι τέτοιο απαιτεί την κοπιώδη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών. Στις περιπτώσεις που ζητείται από το μαθητή να κατασκευάσει μια γραφική παράσταση (ασκήσεις 8, 9 και 10) ο πίνακας τιμών είναι έτοιμος, ενώ σε μία μόνο περίπτωση ο μαθητής καλείται να κατασκευάσει έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του τύπου της συνάρτησης (δραστηριότητα 1). Οπότε οι ασκήσεις 8, 9 και 10 μάλλον αποσυνδέουν τον τύπο μιας συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση, παρά καταφέρνουν να δημιουργήσουν την εντύπωση στο μαθητή ότι πρόκειται για δύο αναπαραστάσεις της ίδιας σχέσης (αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ως τέτοια). Αυτή η αποσύνδεση ενδεχομένως να είναι θεμιτή σε μεγαλύτερες τάξεις, εκεί που για παράδειγμα μπορεί μια συνάρτηση να μην εκφράζεται με έναν αναλυτικό τύπο, αλλά παρόλα αυτά είμαστε σε θέση να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση (π.χ. την αντίστροφη συνάρτηση της – θα αναφερθώ σε επόμενο άρθρο σε αυτή τη διαδικασία). Θεωρώ όμως ότι στην παρούσα φάση, κάτι τέτοιο δεν εξυπηρτεί τους διδακτικούς στόχους που έχει θέσει το ίδιο το υπουργείο, σύμφωνα με το οποίο οι πολλαπλές αναπαραστάσεις της συνάρτησης (λεκτική διατύπωση, γραφική παράσταση, αλγεβρικός τύπος, πίνακας τιμών) γίνονται αντικείμενο συστηματικής διαπραγμάτευσης. Εξάλλου, η κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης από ένα πίνακα τεσσάρων ή πέντε τιμών, δημιουργεί τη λανθασμένη εντύπωση ότι μια συνάρτηση συμπεριφέρεται όπως θα περιμέναμε, δηλαδή ότι η γραφική της παράσταση είναι μια λεία καμπύλη που ακολουθεί ομαλά το νοητό μονοπάτι που δημιουργούν τα σημεία του πίνακα τιμών, όπως ο Κοντορεβυθούλης τα πετραδάκια του!

Είναι εμφανές ότι η επίπονη και χρονοβόρα διαδικασία της κατασκευής ενός πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου μιας συνάρτησης αποκλείει τους μαθητές από την κατασκευή τους και κατ’ επέκταση τη δημιουργία νοητικών διασυνδέσεων ανάμεσα στις πολλαπλές εκφάνσεις μιας συνάρτησης. Παράλληλα, σε αυτό το στάδιο ο ίδιος ο υπολογισμός της αριθμητικής τιμής μιας συνάρτησης για κάποιο δε βρίσκεται στην καρδιά των διδακτικών στόχων. Προτείνω επομένως, αμέσως μετά τις δραστηριότητες που οι μαθητές χειρονακτικά συμπληρώνουν έναν πίνακα τιμών με τη βοήθεια του αλγεβρικού τύπου κάποιας συνάρτησης, να ανατίθεται η όλη διαδικασία στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Από τους μαθητές μπορεί να ζητείται η “μεταγλώττιση” της συνάρτησης σε κώδικα.

Μια τέτοια ενέργεια έχει τα εξής προτερήματα:

1. Καθιστά τη συμπλήρωση του πίνακα τιμών μια διαδικασία που δεν καταναλώνει πολύ χρόνο.
2. Δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατασκευάσουν μεγάλους πίνακες τιμών.
3. Ο αυτόματος υπολογισμός πολλών τιμών της συνάρτησης δίνει την αίσθηση ότι η συνάρτηση είναι μια διαδικασία και ότι δεν απαιτείται εκ των προτέρων μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής που θα “νοηματοδοτήσει” τη συνάρτηση, αφού χειρονακτικά μονάχα με αυτήν ο τύπος της μπορεί να δουλευτεί για να παράξει μια τιμή (Thompson, 1994).
4. Η πληθώρα των σημείων που μπορεί να παραχτεί με τη βοήθεια του υπολογιστή ισχυροποιεί την έννοια της συνέχειας (ή της μη συνέχειας) στη σχηματιζόμενη καμπύλη.
5. Μπορούν να δοθούν παραδείγματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν ακολουθεί το λείο μονοπάτι που θα περίμενε κανείς αν είχε στη διάθεσή του έναν πίνακα τιμών με 4 ή 5 ζεύγη.
6. Μπορούν εύκολα να γίνουν συσχετισμοί των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και (τελευταίο κεφάλαιο στο βιβλίο της Άλγεβρας της Α’ Λυκείου) με διαγράμματα απόστασης – χρόνου ή ταχύτητας – χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλή και επιταχυνόμενη κίνηση (πρώτο κεφάλαιο στο βιβλίο Φυσικής της Α’ Λυκείου).
7. Οι μαθητές εξοικειώνονται με τη “μεταγλώττιση” μαθηματικών συναρτήσεων σε κώδικα.

Στο παρακάτω βίντεο δείχνω έναν εύκολο τρόπο με τον οποίο μπορεί να παράξει κανείς έναν πίνακα 61 τιμών για τη συνάρτηση . Παράλληλα, τα παραγόμενα ζεύγη μπορούν αυτομάτως να αντιστοιχιστούν σε σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, και όλα αυτά με τη βοήθεια του λογιστικού φύλλου της GeoGebra. Προτείνω λοιπόν να δώσουμε στους μαθητές μας τη δυνατότητα να κατασκευάσουν οι ίδιοι μια συνάρτηση, η οποία να έχει νόημα για τους εαυτούς τους, να κατασκευάσουν χειρονακτικά έναν πίνακα μερικών τιμών και έπειτα με τη βοήθεια λογισμικού να τον επεκτείνουν, ενώ παράλληλα να δουν τη γραφική τους παράσταση να “ζωντανεύει” πάνω στην οθόνη τους, καθώς αναπαριστούν τα ζεύγη τιμών με σημεία.

Αναφορές

THOMPSON, P. W. 1994. Students, functions and the undergraduate curriculum. In: E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, J. Kaput, eds. Research in collegiate mathematics education. I. USA: American Mathematical Society, pp. 21 – 44.

Εξηγούμαι λοιπόν: στις λυμένες ασκήσεις πολλών βιβλίων, όταν αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ο εντοπισμός κοινών σημείων της γραφικής της παράστασης με αυτή της αντίστροφής της συνάρτησης περνά χωρίς πολλά λόγια από την επίλυση του συστήματος:

Στην περίπτωση όμως που δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τη μονοτονία της συνάρτησης, τότε το σύστημα που επιλύεται είναι το γενικότερο:

Έτσι υποννοείται, εμμέσως πλην σαφώς, ότι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της αύξουσας συνάρτησης και της αντίστροφής της βρίσκονται επί της ευθείας .

Για να δούμε όμως, γιατί η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας και αντιστρέψιμης συνάρτησης, όταν έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της συνάρτησης, αυτό θα βρίσκεται αναγκαστικά πάνω στην ευθεία ;

Ας υποθέσουμε ότι η γραφική παράσταση της και της έχουν ένα κοινό σημείο, το , που δε βρίσκεται επί της ευθείας , επομένως . Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι .

Εφόσον το είναι σημείο και των δύο γραφικών παραστάσεων, θα ισχύουν οι σχέσεις:

Από τη σχέση όμως προκύπτει ότι:

Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, ενώ θα είναι και:

Λόγω των και η τελευταία σχέση γίνεται: , που είναι άτοπο.

Το θέμα βέβαια απέχει παρασάγγας από το να χαρακτηριστεί σημαντικό, απλά ήθελα να βάλω τα πράματα στη θέση τους, μιλώντας… σε απλά ελληνικά.

Αναφορές
ΠΕΤΡΑΚΗΣ, Α. 2007. Αντίστροφες συναρτήσεις. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Ζήτη

φωτο: Simon Cock

Για όσους πηγαίνουν στην παραλία πάντα με ένα βιβλίο ανά χείρας, έφτιαξα μια λίστα με τα 9 καλύτερα επιστημονικά άρθρα που διάβασα φέτος. Έτοιμα για να τα κατεβάσετε στην ταμπλέτα σας ή τον ebook reader σας (η εκτύπωση είναι πολύ ντεμοντέ και καθόλου “πράσινη”), είναι εγγυημένα να σας προσφέρουν ώρες απόλαυσης και προβληματισμού. Μπορείτε να βρείτε άρθρα για τη χρήση των blog στην εκπαιδευτική διαδικασία, να διαβάσετε σχετικά με τις πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ στην εκπαίδευση, ή για το πώς και γιατί χρησιμοποιεί κανείς την ιστορία στη διδασκαλία των μαθηματικών. Η λίστα επίσης διαθέτει άρθρα σχετικά με τη φιλοσοφία των μαθηματικών, τη δυναμική γεωμετρία και την κοινωνική διαμόρφωση της Logo.

1. YANG, S. – H. 2009. Using blogs to enhance critical reflection and community of practice. Educational Technology & Society. 12 (2), pp. 11 – 21.
2. RAY, B. B. and M. M. HOCUTT. 2006. Teacher-created, teacher-centered weblogs: Perceptions and practices. Journal of Computing in Teacher Education. 23 (1), pp. 11 – 18.
3. MOR, Y. and R.  NOSS. 2008. Programming as mathematical narrative. Int. J. Cont. Engineering Education and Life-Long Learning. 18 (2), pp. 214 – 233.
4. JIMOYIANNIS, A. and V. KOMIS. 2007. Examining teachers’ beliefs about ICT in education: Implications of a teacher preperation programme. Teacher Development. 11 (2), pp. 149 – 173.
5. JANKVIST, U. T. 2009. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education. Educational Studies in Mathematics. 71 (3), pp. 235 – 261.
6. PIMM, D., M. BEISIEGEL and I. MEGLIS. 2008. Would the real Imre Lakatos please stand up. Interchange. 39 (4), pp. 469 – 481.
7. THOMAIDIS, Y. and C. TZANAKIS. 2004. Historical evolution and students’ conception of the order relation on the number line: the notion of historical “parallelism” revisited. Proceedings from TSG17 at ICME 10. Copenhagen, 4 – 11 July 2004.
8. RUTHVEN, K., S. HENNESSY and R. DEANEY. 2007. Constructions of dynamic geometry: A study of the interpretative flexibility of educational software in classroom practice. Computers and Education. 51, pp. 297 – 317.
9. AGALIANOS, A., G. WHITTY and R. NOSS. 2006. The social shaping of Logo. Social Studies of Science. 36 (2), pp. 241 – 267.

Καλή ανάγνωση και καλό καλοκαίρι!

Ένας μουσικός ξυπνά από έναν τρομερό εφιάλτη. Στο όνειρό του βρίσκεται σε μια κοινωνία όπου η μουσική εκπαίδευση έχει γίνει υποχρεωτική. “Βοηθάμε τους μαθητές μας να γίνουν πιο ανταγωνιστικοί σε έναν όλο και περισσότερο γεμάτο από ήχους κόσμο”. Εκπαιδευτικοί, σχολικά συστήματα και το κράτος έχουν τεθεί επικεφαλής αυτού του ζωτικής σημασίας έργου. Ανατίθενται μελέτες, σχηματίζονται επιτροπές και αποφάσεις παίρνονται – όλα χωρίς τη συμμετοχή ή συμβουλή ούτε ενός επαγγελματία μουσικού ή συνθέτη.

Εφόσον είναι γνωστό ότι οι μουσικοί βάζουν κάτω τις ιδέες τους σε παρτιτούρες, αυτές οι περίεργες μαύρες τελείες και γραμμές πρέπει να αποτελούν τη “γλώσσα της μουσικής”. Είναι επιτακτική ανάγκη οι μαθητές να μάθουν άπταιστα τη γλώσσα αυτή, αν θέλουν να αποκτήσουν σε κάποιο βαθμό μουσική ικανότητα· πράγματι, θα ήταν γελοίο να περιμένουμε ένα παιδί να τραγουδήσει ένα τραγούδι ή να παίξει κάποιο όργανο χωρίς να έχει ισχυρά θεμέλια στη μουσική σημειογραφία και θεωρία. Το να παίζει και να ακούει κανείς μουσική, πόσο μάλλον να συνθέτει ένα πρωτότυπο κομμάτι, θεωρούνται πολύ προχωρημένα θέματα και γενικώς έχουν μετατεθεί για το πανεπιστήμιο, και πιο συχνά για το μεταπτυχιακό.

Όσον αφορά τα σχολεία βασικής και μέσης εκπαίδευσης, η αποστολή τους είναι να εκπαιδεύσουν τους μαθητές ώστε να χρησιμοποιούν αυτή τη γλώσσα – να παίζουν πέρα – δώθε με τα σύμβολά της, σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σύνολο κανόνων: “Στην ώρα της μουσικής βγάζουμε τις κόλλες πενταγράμμου, ο δάσκαλος γράφει μερικές νότες στον πίνακα κι εμείς τις αντιγράφουμε ή τις μεταφέρουμε σε άλλο κλειδί. Πρέπει να είμαστε σίγουροι ότι γράφουμε τα κλειδιά στην αρχή του πενταγράμμου σωστά, κι ο δάσκαλός μας επιμένει πολύ ότι πρέπει να μαυρίζουμε εντελώς τις νότες με αξία τετάρτου. Μια φορά είχαμε μια άσκηση με μια χρωματική κλίμακα και την έκανα σωστά, αλλά ο δάσκαλος δε μου έβαλε καλό βαθμό γιατί είχα βάλει τα στελέχη να δείχνουν προς τη λάθος μεριά.”

Με όλη τους τη σοφία, οι εκπαιδευτικοί σύντομα αντιλαμβάνονται ότι ακόμα και σε πολύ μικρά παιδιά μπορεί να παρέχεται τέτοιου είδους μουσική εκπαίδευση. Στην πραγματικότητα, θεωρείται αρκετά επαίσχυντο αν το τριτάκι κάποιου δεν έχει απομνημονεύσει εξ ολοκλήρου τον κύκλο των πέμπτων. “Θα χρειαστεί να κάνω στο γιο μου ιδιαίτερα. Δεν κάθεται να διαβάσει μουσική με τίποτα. Λέει ότι είναι βαρετή. Κάθεται και χαζεύει έξω από το παράθυρο, ενώ ψιθυρίζει μελωδίες και φτιάχνει ανόητα τραγουδάκια.”

Στις μεγαλύτερες τάξεις η πίεση αυξάνεται. Εξάλλου οι μαθητές πρέπει να είναι έτοιμοι για τα διαγωνίσματα και τις εξετάσεις εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Οι μαθητές διδάσκονται Κλίμακες και Τρόπους, Μέτρο, Αρμονία και Αντίστιξη. “Είναι πολλά αυτά που πρέπει να μάθουν, όμως αργότερα στο πανεπιστήμιο όταν θα έχουν την ευκαιρία να τα ακούσουν αυτά τα πράγματα, θα εκτιμήσουν όλη τη σκληρή δουλειά που κατέβαλαν στο λύκειο”. Φυσικά, δεν είναι πολλοί οι φοιτητές που επικεντρώνονται στη μουσική, οπότε μόνο λίγοι θα καταφέρουν να ακούσουν τη μουσική που οι μαύρες τελείες αναπαριστούν. Παρόλα αυτά είναι σημαντικό κάθε μέλος της κοινωνίας να μπορεί να αναγνωρίζει μια αλλαγή τονικότητας ή μια φούγκα, ασχέτως αν δεν τις ακούσουν ποτέ. “Να σου πω την αλήθεια, οι περισσότεροι μαθητές δεν είναι πολύ καλοί στη μουσική. Βαριούνται στην τάξη, οι δεξιότητές τους είναι περιορισμένες, και οι εργασίες τους μετά βίας διαβάζονται. Οι περισσότεροι από αυτούς δε δίνουν δεκάρα για το πόσο σημαντική είναι η μουσική στις μέρες μας· θέλουν απλά να πάρουν όσο το δυνατόν λιγότερα μαθήματα μουσικής και να ξεμπερδεύουν. Υποθέτω ότι απλά υπάρχουν άνθρωποι που το έχουν και άλλοι που δεν το ‘χουν. Είχα όμως μια μαθήτρια κάποτε, ήταν φοβερή! Τα φύλλα της ήταν άψογα. Κάθε νότα στη θέση της, τέλεια καλλιγραφία, διέσεις, υφέσεις, σκέτη ομορφιά. Θα γίνει φοβερή μουσικός μια μέρα.”

Καθώς ξυπνάει λουσμένος στον κρύο ιδρώτα, ο μουσικός αντιλαμβάνεται, όλος ευγνωμοσύνη, ότι ήταν ένα τρελό όνειρο. “Μα, φυσικά!” καθησυχάζει τον εαυτό του, “Καμιά κοινωνία δε θα μείωνε ποτέ μια τόσο όμορφη και ουσιαστική μορφή τέχνης σε κάτι τόσο ανόητο και ασήμαντο· κανένας πολιτισμός δε θα μπορούσε να φανεί τόσο σκληρός στα παιδιά του ώστε να τους στερήσει ένα τόσο φυσικό, ικανοποιητικό μέσο ανθρώπινης έκφρασης. Τι παραλογισμός!”

Εντωμεταξύ, στην άλλη μεριά της πόλης ένας ζωγράφος ξυπνά από ένα παρόμοιο εφιάλτη…